LIVRE I. — CHAPITRE III. l

nulle et l'autre est égale à AB; donc la longueur de la constante est AB et la question revient à démontrer l'égal i té

DE -h DF - AB.

De même, si dans la seconde question on suppose le point D situé sur le milieu de BC, les points E et F se confondent avec le sommet A, d'où Ton conclut que la constante est égale à ik [h désignant la hauteur du triangle issue du sommet A) et Ton n'a plus qu'à démontrer l'égalité

DE + DF = ih.

65. La somme des distances d'un point quelconque de la base d'un triangle isoscèle aux deux autres côtés est constante. Et, si le point est pris sur l'un ou l'autre des prolongements de la base, la différence des distances de ce point aux mêmes côtés est aussi constante. (Dans ces deux cas la constante est la perpendiculaire A, abaissée de l'une des extrémités de la base sur le côté opposé.)

C6. Étant donné un rectangle ABCD et ses diagonales #ACj, x'BDy , qui se coupent au point 0, si d'un point quelconque E pris sur le périmètre de ce rectangle on abaisse des perpendiculaires EF, EG sur les diagonales, la somme de ces perpendiculaires sera égale à la distance h de l'un quelconque des sommets A, B, C, D à la diagonale qui ne passe pas par ce sommet. Et, si d'un point quelconque E', pris sur les prolongements des côtés du rectangle, on abaisse des perpendiculaires E'F', E'G' sur les diagonales, la différence de ces perpendiculaires sera aussi égale à la distance A. (Ces propositions résultent de ce que les quatre triangles OAB, OBC, OCD, ODA sont isoscèles.)

Remarque. — Si d'un point H, pris entre les côtés de l'angle y'Oj, par exemple, et non situé sur le côté DC, on abaisse des perpendiculaires sur xy et sur x'/, la somme de ces perpendiculaires est plus grande ou plus petite que/i. Alors, de cette proposition et de la première partie de la question 66 il résulte que le périmètre du rectangle ABCD est le lieu géométrique de tous les points tels, que la somme de leurs disances aux droites xy et x'y' soit égale à la longueur h.

De môme, les prolongements des côtés du rectangle ABCD forment ensemble le lieu des points tels, que la différence de leurs distances aux droites xy et x'y soit égale à la longueur h .

l4 QUB8TIOK8 PROPOSÉES.

67. Si d'un point quelconque D, pris dans l'intérieur d'un triangle équilatéral ABC, on abaisse des perpendiculaires DE, DF, DG sur les trois côtés AB, AC, BC, la somme de ces perpendiculaires est constante. (Il est facile de voir que la constante est égale à Tune des hauteurs, A du triangle.)

Remarque. — Si le point D était extérieur au triangle ABC et compris, par exemple, entre les côtés prolongés de l'angle BAC, on aurait

DE t- DF — DG ^ /*.

68. Étant donné un triangle ABC, trouver sur le côté BC un point tel, que la somme de ses distances aux deux autres côtés soit un minimum.

69. Trouver dans l'intérieur d'un triangle un point tel, que la somme de ses distances aux trois côtés du triangle soit un minimum.

70. Dans tout quadrilatère, le point de rencontre des droites qui joignent les milieux des côtés opposés est situé sur le milieu de la droite qui joint les milieux des diagonales.

71. Par un point donné A, mener une droite également distante de deux autres points donnés B et C.

72. Par un point donné, mener une droite qui fasse des angles égaux avec deux droites données.

73. Par un point, situé dans un angle donné, mener entre les côtés de l'angle une droite qui soit divisée par le point endeux parties égales.

7 r >. D'un point donné hors d'un cercle mener une sécante telle, que sa partie extérieure soit égale à la partie comprise dans le cercle.

75. Entre les côtés d'un angle, mener une droite de Iongueur'donnée et parallèle à une droite donnée.

76. Étant données deux circonférences, mener d'un point de l'une à un point de l'autre une droite d'une longueur donnée et parallèle à une droite donnée.

Remarque. — La solution serait la même si l'on remplaçait l'une descirconférences par une droite ou par une ligne quelconque.

LITRE 1. — CHAMT1E III.

Fig. i.

77. Etant donnés deux parallèles xy, x'y J , un point et une droite MN, mener entre les deux parallèles une sécante parallèle à MN et dont les extrémités soient équidistantes du point 0.

78. Étant données deux parallèles xy, x'y 1 [fig. i) et deux points À et B, situés hors des parallèles et de côtés différents, quelle est la plus petite ligne brisée ACDB allant de À en B et dont le côté CD, compris entre les deux parallèles, ait une direction donnée? (La longueur de la droite CD est connue et il s'agît de trouver le minimum de la somme ÀC-+-DB; or, si l'on mène BE parallèle et égale à CD et qu'on joigne CE, la ligne brisée ACE est égale à ÀC -f- DB; ainsi la question revient à trouver la longueur minimum de la ligne ACE dont les extrémités A et E sont connues et dont le point C doit être situé sur xy, etc.)

l6 QUESTIONS PROPOSfiBS.