LIVRE I. -— CHAPITRE V

génies, menées de ce point à la circonférence, aient une longueur donnée; un point tel, que les tangentes, menées de ce point à la circonférence, fassent entre elles un angle donné.

113. Décrire, avec un rayon donné, une circonférence, tangente à une droite donnée et passant par un point donné; tangente à une droite et à une circonférence données.

lli. Décrire une circonférence, tangente à une circonférence donnée et à une droite donnée, en un point de cette droite; tangente à une circonférence donnée et à une seconde circonférence donnée, en un point de cette circonférence; tangente à une droite donnée et à une circonférence donnée, en un point de celte circonférence.

115. Étant données deux circonférences 0, 0' et une droite xy, trouver sur xy un point tel, que les tangentes, menées de ce point aux deux circonférences, soient également inclinées sur la droite xy.

116. Étant donné un triangle ABC, désignons par le centre du cercle inscrit; par 0', 0", 0"'les centres des cercles exinscrits; par D, D', D", D"' les points de contact de ces cercles avec le côté BC et avec ses prolongements au delà des sommets C et B; par E, E', E", E"' et par F, F', F", F" les points de contact de ces mêmes cercles avec les côtés AC, AB et leurs prolongements, et enfin désignons par a, b, c les côtés BC, AC, AB; par ip la somme de ces côtés ou le périmètre du triangle, on aura les relations suivantes :

i° Chacune des six tangentes AE', AF', BD", BF", CD W , CE" est égale au demi-périmètre p du triangle ABC. (Considérons, par exemple, les tangentes BD" et BF W . On voit d'abord que ces deux droites sont égales, comme étant des tangentes menées à la circonférence 0" du point extérieur B; ainsi Ton a

BD"=rBF".

D'ailleurs

BD" -f- BF" — a -f CD" -+- b -f- A F"

= a -+- CE" + 6 -f- ÀE"

~ip\

donc chacune des tangentes BD" et BF" est égale à p.)

a c Chacune des dislances d'un sommet, B par exemple, aux points de contact D, D', D" est égale au demi-périmètre p, diminué de l'un des côtés du triangle. (Car on a

BD 4- CE" -4- AE' -- p t d'où BD = p - b ; BD'^BF'=: AF-c = p-c; BD" -CD'"- a—p- a.)

Remarque I. — D'après les égalités précédentes, il est facile d'obtenir les distances entre deux des points de contact D, D', D", D" en fonction des côtés du triangle ABC. (On a

DD'-- BD - BD'- - r - b et D'D" BD"- BD' - c; DD'^BD" — BV=b D'D*^BD' t-BD'"^£;

DD" = BD -r BD" -- c [D* D* BD" -+- BD'" -=*-*-*.)

Remarque IL — On a l'égalité

BD'^p — c; d'ailleurs

CD -h BF -+- AF = p, d'où CD = /> — c;

donc BD' = CD, et par conséquent les points de contact D, D' sent équidistants du milieu du côté BC.

Il en est de môme des points de contact D" et D" ; car

BD W .= /? — a=:-CD\

Remarque III. — En se fondant sur la Remarque I, on peut construire le triangle ABC, connaissant l'un de ses côtés , b par exemple , et les rayons r et r" des cercles et 0". (Car b n'est autre que la distance DD', et si aux points D, D" on élève sur DD", et d'un même côté de cette droite, les perpendiculaires DO, D"0", respectivement égales aux rayons donnés r et >•*, on connaîtra les centres et 0" ; alors, en menant aux cercles 0, 0" leur seconde tangente commune extérieure ainsi que leurs tangentes communes intérieures, on détermine deux triangles ABC, A'BC'qui satisfont à la question ; mais on peut reconnaître que ces deux triangles sont égaux.)

La Remarque I donne aussi le moyen de construire le triangle ABC, connaissant la somme c -f- b et les rayons r", r™ des cercles 0", O w , ou bien connaissant la différence c — b et les rayons r, r 1 des cercles 0, 0'.