LIVRE III. — CHAPITRE I
droites soni dites homologues lorsque leurs extrémités sont respectivement des points homologues.)
204. Si d'un point quelconque S on mène aux sommets d'un polygone ABCD les droites SA, SB, SC, ... et qu'on prenne sur ces droites les points a, 6, c, ... tels qu'on ait
SA SB SC
S«~S6~~Sc '
les polygones ABCD, abcd seront semblables. (Si l'on prend sur les prolongements des droites SA, SB, SC, . . . , au delà du point S, les distances Sa, Sb, Se, ..., de manière qu'on ait
SA SB SC
Sa S b Se
les polygones ABCD et abcd seront encore semblables.)
Remarque. — Selon que les sommets a, 6, c, .. . sont situés sur les droites SA, SB, SC, ..., ou sur leurs prolongements, au delà du point S, les polygones sont semblables et semblablement placés, ou bien semblables et inversement placés.
Pour abréger, M. Chasles a donné à cette similitude de forme et de position le nom (ïhomothétie directe dans le premier cas et celui <¥homothétie inverse dans le second.
Le point S est un centre d'homothétie des deux polygones ABCD, ab'cd
SA
et, en désignant par h le rapport ^— ; X est le rapport d'homothétie du
premier polygone au second, et, par conséquent, % ou h' est le rapport
d'homothétie du second au premier.
Plus généralement : Si d'un point S on mène à différents points A, B, C, ..., disposés d'une manière quelconque, les droites SA, SB, SC, ..., et qu'on prenne sur ces droites ou sur leurs prolongements, au delà du points, des points #, b, c, ..., tels qu'on ait
SA SB SC
Sa" Sb " "Se" '
les deux systèmes de points sont dits homothétiques directs ou homothétiques inverses, suivant que les points A et «, B et b, C et c, ... sont d'un même côté du point S ou de part et d'autre de ce point.
Selon que les points A, B, C, ... du premier système sont isolés ou qu'ils forment des lignes continues, il en sera de môme évidemment des points a, b y e, ....
205. La figure homothétique directe ou inverse d'une ligne droite est une seconde ligne droite parallèle à la première. (Cette question comprend, comme cas particulier, la première partie de la question 50.)
206. Les lignes homothétiques d'une circonférence sont des circonférences, [Foir aussi la seconde partie de la question 50.)
207. Deux circonférences quelconques O, o sont homothétiques directes et homothétiques inverses.
Remarque. — Les tangentes communes extérieures de deux cercles O, o coupent la ligne des centres en un point S, qui est le centre d'homothétie directe des deux cercles, et leurs tangentes communes intérieures coupent la ligne des centres en un point S', qui est le centre d'homothétie inverse des deux cercles.
Lorsque deux cercles se touchent extérieurement, leur point de contact est leur centre de similitude inverse, et, s'ils se touchent intérieurement, leur point de contact est leur centre de similitude directe. Les centres de similitude de deux cercles concentriques se confondent avec le centre commun à ces cercles. (Rapprocher la seconde partie de cette remarque de la question 135.)
208. Quel est le lieu des points de rencontre des médianes des triangles qui ont le point O pour sommet commun et dont les deux autres sommets sont situés sur deux parallèles données xy, a/yi
209. Lieu des points de rencontre des médianes des triangles inscrits dans un segment du cercle donné (c'est-à-dire ayant pour base la corde du segment et pour sommet un point de Tare de ce segment).
210. On a un cercle et deux points A et B dans son plan; par le point A on mène une droite quelconque qui coupe la circonférence au point C, et l'on prolonge AC d'une longueur CD = AC, puis on joint le point C au point B et le point D au point E, milieu de AB, et les droites CB, DE se coupent en M : quel est le lieu des points M?
Remarque. — Ce lieu est indépendant de la position du point A.
211. Quel est le lieu des points M tels, que la distance MD de chacun d'eux à la base BC d'un triangle isoscèle ABC soit
LITRE III. — CHAPITIE I. 49
moyenne proportionnelle entre ses distances ME, MF, aux deux autres côtés AC, AB? (D'abord les angles DME et DMF
sont égaux; d'ailleurs l'égalité MD = MEx MF donne
MDMF ME~~~MD*'
donc les triangles DME et DMF sont semblables.
De plus, chacun de ces triangles est semblable au triangle BMC; donc, etc.)
212. Étant donnés deux cercles qui se coupent, par l'un des points d'intersection A [fig. 8), on mène une sécante quel-
Fig. 8.
conque xy> sur laquelle on porte une longueur AM égale à la somme des cordes AB, AC; quel est le lieu du point M? (Supposons d'abord que la sécante menée par le point A soit parallèle à 00' et qu'elle rencontre la circonférence au point Bi et la circonférence 0' au point Ci, la somme des cordes AB„ AC t sera le double de la distance 00', et, par conséquent, si l'on porte sur AB, une longueur AM,= 200', le point Mi sera un point du lieu cherché.
Ensuite, soit une sécante quelconque xy passant par le point A et coupant les circonférences aux points B et C, menons les rayons OD, 0' E respectivement perpendiculaires aux cordes AB, AC, et la droite O'F parallèle à xy, qui rencontre OD en F, la droite O'F sera égale à la demi-somme des cordes AB, AC, et si l'on porte sur AB une longueur AM = 2 O'F, le point M sera un second point du lieu.
Mais les triangles M M, A et FOO' sont semblables, et, par suite, l'angle M, M A est droit, etc.)
