CHAPITRE I

§ I et II. — Sur les polygones réguliers.

339. On peut juxtaposer sur un plan des triangles équilatéraux égaux, ou des carrés égaux, ou des hexagones réguliers égaux, sans laisser d'intervalles entre ces polygones : démontrer que ces polygones réguliers sont les seuls qui jouissent de cette propriété.

340. On peut de même recouvrir un plan en juxtaposant des octogones réguliers avec des carrés, des dodécagones réguliers avec des triangles équilatéraux, des pentagones réguliers avec des losanges dont l'angle aigu est égal à * de droit.

341. Connaissant la différence entre la diagonale et le côté d'un carré, construire ce carré. (On aura un système semblable à celui qu'on cherche, en construisant un carré quelconque et sa diagonale; on en déduira le côté du carré demandé, en observant que les côtés de deux carrés sont entre eux comme leurs diagonales ou comme les différences entre ces diagonales et les mêmes côtés.)

342. En construisant un carré extérieur sur chaque côté d'un hexagone régulier et en joignant les sommets consécutifs des carrés voisins, on forme un dodécagone régulier.

343. Construire un décagone régulier dont on connaît le côté.

92 QUESTIONS PROPOSÉBS.

3M. Si Ton joint de trois en trois les sommets du décagone régulier inscrit, jusqu'à ce qu'on soit revenu au point de départ, on forme un polygone concave qui est le décagone régulier étoile : démontrer que son côté est égal au côté du décagone régulier inscrit, augmenté du rayon.

345. Démontrer que les diagonales d'un pentagone régulier se divisent mutuellement en moyenne et extrême raison.

346. Le carré du côté du pentagone régulier inscrit est égal au carré du côté du décagon erégulier inscrit, plus le carré du rayon. (En prenant le rayon pour unité et désignant par C» le côté du pentagone régulier inscrit, par C. le côté du décagone régulier inscrit, on sait qu'on a

C & --= \y/i -2)/5 et C,.^ " 1 ^^ , et il est facile de vérifier qu'on a aussi

Remarque. — Ce théorème peut s'énoncer ainsi : Le côté du pentagone régulier inscrit est égal à V hypoténuse d'un triangle rectangle qui Fi , aurait pour côtés de V angle droit le rayon et le

côté du décagone régulier inscrit.

On peut démontrer ce théorème géométriquement de la manière suivante :

Soient AB, BC [fig. 14) deux côtés consécue tifs du décagone régulier inscrit et par conséquent ÂG le côté du pentagone régulier inscrit, et prolongeons BG de manière que BD soit égal au rayon OB ; les angles, au sommet des deux triangles isoscèles OAC, BOD sont égaux, et, de plus, OA = OB; donc ces triangles sont égaux, et Ton a