METHODE DE M. GUNTHER

Cette méthode se distingue peu, au fond, de la méthode arithmétique dont nous venons de parler; nous allons l'expliquer sur un échiquier de vingt-cinq cases, que nous représenterons ainsi qu'il suit :

Cz ^4 ^5 /g gl

dk Cr^ bo J: /s

^5 do C-! bs ^9

Chaque case est représentée par un élément composé d'une lettre et d'un indice; les éléments ayant la même lettre sont situés sur une parallèle à l'une des diagonales de l'échiquier, et correspondent à l'une des directions de la marche du fou; les éléments ayant le même indice sont situés sur une parallèle à l'autre diagonale de Téchiquier, et correspondent à l'autre direction de la marche d'un fou. Supposons donc que l'on écrive, dans un ordre quelconque, tous les termes formés de cinq élé-

Le problème des huit reines. 71

ments, mais de telle sorte que ces termes ne puissent contenir deux éléments appartenant à une même ligne ou à une même colonne, nous aurons représenté de cette façon les 120 solutions du problème des cinq tours. Cela fait, supprimons parmi ces solutions toutes celles dans lesquelles deux éléments contiennent la même lettre ou le même indice, il ne restera plus que les dispositions qui conviennent au problème des cinq reines.

Il n'est pas nécessaire d'écrire toutes les solutions du problème des cinq tours, que l'on pourrait former au moyen des solutions du problème des quatre tours, ainsi que nous l'avons expliqué plus haut. On trouve de grandes simplifications dans l'application de cette méthode, en se servant des ressources d'une importante théorie d'algèbre, connue sous le nom àQ thé or îe des déterminants ; cependant, malgré toute l'habileté montrée par MM. Gûnther et Glaisher dans cette question, le problème des neuf reines ou des dix reines, sur les échiquiers de 81 et de 100 cases, semble presque inabordable par cette méthode.