DES SOLITAIRES DES DIVERS ORDRES
La question des solitaires des divers ordres repose sur la règle suivante : Faire franchir à une boule n cases consécutives, et enlever une boule dans chacune des cases franchies. Telle sera la règle du coup dans le jeu du solitaire du n'è"'''^ ordre.
On peut établir la théorie de ce jeu comme celle du solitaire ordinaire ou de premier ordre. En admettant les quatre extensions de la règle restreinte, on obtient comme conséquences les théorèmes suivants :
Théorème XI. — On peut toujours faire franchir à une boule quelconque n 4- i cases consécutives, dans un sens quelconque, soit sur une ligne, soit sur une colonne.
La démonstration est semblable à celle du théorème III.
Théorème XII. — On peut toujours faire franchir à d3ux boules d'une même case n cases consécutives.
En effet, soient A et B, deux cases séparées par n cases consécutives a^, a^, ..., a;i,; on jouera un coup additif de A en B; puis un coup soustractif de A en B.
Théorème XIII. — On peut transporter deux boules d'une case quelconqueà une autre quelconque.
140 Cinquième récréation.
En effet, il suffit de démontrer que Ton peut transporter deux boules d'une case A sur la case contiguë B; mais, par le théorème XI, on peut faire franchir îî + i cases consécutives à deux boules de la case A dans le sens AB; par le théorème XII, en opérant en sens inverse, on ramène les deux boules sur la case B.
Théorème XIV. — On peut ajouter ou enlever deux boules en même temps sur n cases quelconques.
En effet, d'après le théorème précédent, on peut supposer que les n cases sont consécutives; on fera alors deux coups soustractifs sur les n cases, par aller et retour.
En appliquant ces divers théorèmes, on peut énoncer ainsi qu'il suit les théorèmes concernant la position réduite :
Étant donné un carré quelconque de (n + i)" cases, on peut y former la position réduite d'une position quelconque du solitaire de r ordre n. Cette réduite comprendra 0 ou i boule dans chaque case du carré, et en outre un certain nombre déboules qui peuvent être placées n'importe oii, à la condition qu'elles marcheront toujours par groupes de deux; le nombre de ces groupes pourra être l'un des îiombres 0,1.2, ..., {n — i). La réduite peut donc affecter n {n + informes distinctes qui caractérisent autant de sj^stèmes de positions congruentes, tels quon ne peut passer de Vun à Vautre, quel que soit le nombj^e de coups que l'on joue.
On peut encore ajouter une nouvelle extension de la règle, qui consisterait à modifier simultanément d'une unité 72+ 2 cases consécutives, la modification pouvant être positive ou négative, individuellement pour chaque case. Dans ce cas, les boules qui
Le jeu du solitaire.
marchent par groupes de deux peuvent être supprimées, et le nombre des systèmes distincts se réduit à ( «H- i)*.
Quant au nombre des systèmes réductibles à une seule boule, il est toujours égala («H- 2)'.
Ces théorèmes ont été donnés par M. Hermary, à propos des questions que je lui avais indiquées sur les solitaires des divers ordres.
