C. R., iKjS, 1" Semestre. (T. CXXVI, N

( 498 ) cette intégrale par approximations successives, on a, en partant de v„ = o,

dxdx

tons les j s'annnlant pour .r = a et pour x^h. On voit immédiatement que les j' à indices impairs forment une suite croissante, et que les v à indices pairs forment une suite décroissante; d'autre part, tout terme de la première suite est inférieur à un terme quelconque de la seconde. Les y à indices impairs auront donc une limite u, et il en sera de même des y à indices pairs qui auront une limite v. Il peut très bien arriver que ces limites soient différentes ( ' ). J'ai ajouté que, sites y d'indices pairs et les y d'indices impairs tendent uniformément dans Vintervalle (a, />) vers leurs limites v et u, celles-ci sont des fonctions de a- satisfaisant aux deux équations simultanées

et s'annulent toutes deux pour x = a e\. pour x = b. On a donc ici des approximations successives divergentes qui conduisent à d'autres fonctions que l'intégrale cherchée de l'équation (t).

» Je me propose de montrer que l'hvpolhèse soulignée plus haut sur la convergence uniforme est bien effectivement réalisée, ce qui complétera le résultat précédent. Prenons à cet effet l'équation très simple

où/(.r) désigne une fonction continue àe x et positive dans l'intervalle {a, b), et considérons l'intégrale j de cette équation s'annulant pour x—a el X — b. Au lieu de lui donner la forme élémentaire classique, écrivons-la avec M. Burkhardt (ffM//e/m de la Société mathématique, 1894), sous la

(') J'en ai donné un exemple {Comptes rendus, avril 1S94) et Traité d'Analyse, t. 111, p. 147.

( 499 ) forme

où la fonction G,, sorte de fonction de Green relative à l'intervalle (a, h), est définie par les égalités

G,(-^,l)= ]r^ pour;<.r,

G,(^, E)=' ^^ pour;>.r.

» On voit facilement que si x désigne un nombre fixe entre a et b, on peut trouver un nombre positif y. dépendant uniquement de a, b et a, tel que l'on ait

quels que soient x et l dans l'intervalle Ça, b). Il en résulte que l'on a

» De cette remarque va résulter la démonstration de la proposition que nous avons en vue; on a, en effet,

'^^^^'';^^"^-^^ =./(-r, r„,) -/(a., r„,). et, par conséquent, on conclut de la remarque précédente

ce qui'montre clairement que, pour une même parité de n, la fonction r„(.r) tend uniformcment dans l'intervalle («, b) vers sa limite. Les deux limites u et V sont des fonctions de x satisfaisant aux équations (2). Comme je l'ai rappelé, 11 peut être différent de «'; la fonction j de ic, s'annulant pour a: = a et j' = b, et satisfaisant à l'équation

(Lr- •' ^ " '

est intermédiaire entre u et r, c'est-à-dire que l'on a

)) Ainsi, pour prendre un exemple, l'équation

da;-

( 5oo )

admet une inlégrale unique s'annulant pour a- = a et x =z l>; si l'intervalle (a, b) est assez grand, cette intégrale ne coïncide pas avec les fonctions u et f, données par les approximations successives, et celles-ci satisfont aux

équations

dx- ' djr-

)> 2. Dans beaucoup d'autres cas, l'emploi des approximations successives pour obtenir certaines intégrales d'une équation différentielle peut conduire à des résultats curieux; il y aurait là, ce semble, un sujet de recherches qui présenterait quelque intérêt. Pour indiquer encore une classe très simple d'équations, envisageons l'équalion

en faisant sur /les mêmes hypothèses que plus haut. Il pourra arriver ici qu'il y ait dans un intervalle {a, è) plusieurs intégrales (continues, bien entendu, ainsi que leurs dérivées) s'annulant en a et b, ou qu'il n'y en ait pas. Que donnent alors les approximations successives? Il est possible qu'elles ne convergent vers aucune limite, ou bien qu'elles tendent vers une solution ou une autre, suivant la fonction y^^ que l' on prend comme première approximation. Ainsi l'équation

d'y dx-

admettra dans l'intervalle (a, i) deux solutions s'annulant aux extrémités de l'intervalle, si celui-ci n'est pas trop étendu, et n'en admettra pas dans le cas contraire. En faisant des approximations successives, on obtient des résultats différents suivant la nature de la fonction initiale j'o. »

MEMOIRES PRESENTES

MM. R. SoREL et A. Soret adressent, du Havre, par l'entremise de M. Mascart, une « Note sur un cas d'éléphantiasis avec troubles nerveux, guéri après applications de rayons X ».

(Renvoi à la Section de Médecine et Chirurgie.)

( Soi )

CORRESPONDANCE

M. le Secrétaire perpétuel signale, parmi les pièces imprimées de la Correspondance, un Mémoire de M. Frederico Amodeo, de Naples, intitulé: « Curve ^-gonali di 5''*'™^ specie ». (Présenté par M. Haton de la Goupillière.)

ASTRONOMIE. — Sur les masses des planâtes. Note de M. E. Roger, présentée par M. Jordan.

'< Des trois lois récemment communiquées à l'Académie par ^NI. Anceaux, la première est seule rigoureusement exncte; la seconde n'est qu'approchée, et la troisième est une conséquence des deux autres.

» Attribuons aux planètes Neptune, Uranus, Saturne et Jupiter les indices o, i, 2, 3. Désignons par M^, M,, M.>, i leurs masses respectives, par -0, ;,, z-.,, I l'unité divisée par les carrés des demi-grands axes de leurs orbites; les trois lois dont il s'agit se traduiront par les équations

La troisième équation est, comme on voit, la somme des deux autres.

» M. Anceaux estime que la raison d'être de ['harmonie qu'il a signalée pourrait être recherchée soit dans les conditions de stabilité du système, soit dans les circonstances qui ont présidé à la formation des planètes; il ajoute que, s'il était possible de la rattacher à cette dernière cause, cette étude ne manquerait pas sans doute d'apporter quelque lumière dans la Cosmogonie du monde solaire.

» La théorie que j'ai exposée dans mes Recherches sur le système du monde, et dont j'ai communiqué à l'Académie les éléments essentiels, tournit presque intuitivement une explication des lois énoncées par M. Anceaux, en même temps qu'elle suggère une loi plus générale. J'indiquerai brièvement les principes sur lesquels se fonde cette explication.

» Les potentiels qui déterminent, à des époques périodiques, la formation des planètes et celle des satellites varient à la fois dans leur énergie propre et dans la durée de leur action. Les variations de la première espèce ont introduit, dans l'expression des dislances des planètes au Soleil,

certaines inégalités périodiques; de plus, elles ont influé sur la masse de chaque planète. Les variations de la seconde espèce ont exercé aussi une action sur ces masses. Par suile de cette double influence, les masses des

planètes doivent dépendre de deux exponentielles c'" et r - [ plus exac-

tement, c'^ etc -'^J, et l'on peut, en admettant que l'état physique du Soleil ne soit pas sensiblement modifié dans l'intervalle de temps que l'on considère, écrire

M = a-c"' -hyc \

équations où z et y sont des fonctions de m qu'il est permis, entre certaines limites d'approximation, de remplacer par des constantes.

» Cela posé, deux cas essentiellement différents se présentent, selon

que l'un ou l'autre des rapports i; - est nul ou tout au moins négligeable.

Dans le premier cas :

« Les logarithmes hyperboliques des masses forment une progression arithmétique, dont la raison est V iirnté.

» Dans le second cas :

» Les logarithmes hyperboliques des masses forment une progression arithmétique, dont la raison est — 7 •

» La première de ces lois se vérifie pour les grosses planètes. Toutefois il existe, en ce qui concerne Uranus, une anomalie analogue à celle que présente, en un point voisin du centre de l'anneau, la distribution des planètes du groupe de Cérès. Ces anomalies s'expliquent l'une et l'autre 'par les mêmes considérations, le potentiel qui donne naissance à une planète influant à la fois sur la distance à laquelle se consolide le noyau de cette planète et sur sa masse, de telle sorte qu'cà un accroissement de cette distance correspond une diminution de la masse, la compensation s'élablis-

sant conformément au principe de l'invariabilité du travail réalisé. La distance d'Uranus au Soleil dépasse d'un douzième celle que lui assignerait la fornuile empirique L + ^ — o,3 cos-^ = const. (').

» La seconde loi se-vérifie pour les petites planètes, en admettant une

(') Comptes rendus, t. GXIV, p. 945.

lacune entre Véiuis et Mercure, circonstance qui confirme l'existence de cette lacune, à la place marquée par l'indice 8.

» Le Tableau suivant permet de juger du degré d'approximation de ces deux lois. Le passage de l'une à l'autre s'effectue dans la région qui s'étend entre Mars e( Jupiter.

M. log M. lug théorique.