C. K., iSyS. I" Semestre. (T. CX.XVI, N° 18.) '^O
mesure est-elle conforme à ce que donnerait l'emploi de la théorie mathématique de l'élasticité? Une réponse catégorique à cette question ne saurait être donnée, la théorie de l'élasticité conduisant, le plus souvent, à des problèmes d'analyse inextricables. Mais on peut observer que la section transversale d'un barrage est toujours intermédiaire enti'e un triangle et un rectangle. Il paraît donc naturel d'examiner ces deux cas simples. Il est à supposer que les résultats qu'ils donnent seront des résultats extrêmes entre lesquels se trouvera comprise la réalité.
» Il est très facile de s'assurer que, pour un barrage à section triangulaire, la théorie mathématique de l'élasticité donne, exactement, le même résultat que l'emploi de la règle du trapèze.
» Celle-ci se trouA^e ainsi légitimée duns ce cas dont on peul, d'ailleurs, se rapprocher beaucoup dans la pratique.
» Envisageons le cas opposé d'une section rectangulaire, c'est-à-dire d'un mur d'épaisseur uniforme e. Rapportons-la à deux axes de coordonnées : l'un Ox dirigé suivant le couronnement du mur et de l'amont vers l'aval, l'autre Oy dirigé de haut en bas suivant le parement d'amont. Appelons k le poids spécifique de la maçonnerie rapporté au poids spécifique de l'eau pris pour unité. Désignons, comme je l'ai fait dans ma Communication du 5 août 189.5, par /2,, t, respectivement, les composantes normale et tangentielle de la pression élastique exercée sur un élément vertical de l'amont vers l'aval et par n, t les composantes similaires de la pression exercée de haut en bas sur un élément horizontal ('). Les trois forces n, n,, l doivent remplir les conditions suivantes :
» I** Satisfaire aux trois équations à dérivées partielles
an, dt àt dn
-r-^ + ^=o, T- + -y dx dy dx dy
il est facile de montrer que, dans les problèmes d'élasticité à deux dimensions, ces trois équations tiennent lieu de celles qui régissent les déplacements élastiques, et cela indépendamment des valeurs attribuées aux coef-
(') On sait que l esL le nièine pour deux, éléments rectangulaires quelconques.
( Ï237 ) ficients d'élasticité; c'est la dernière qui permet d'écarter l'hvpothèse dite loi du trapèze;
» 2° Donner sur le parement d'amont, soit pour x = o,
rif -'y, f = o; '> 3° Donner sur le parement d'aval, soit pour .r = s,
» 4° Donner sur le couronnement, soit pour y = o,
n Si l'on écrit les expressions très simples qui suivent :
(3) „, = (,iy(, + 2Î)y.
on vérifiera facilement qu'elles remplissent toutes les conditions voulues, sauf la dernière. Pour y := o, on n'a pas ^ = o, mais
Donc la solution serait rigoureuse si, sur le couronnement, on appliquait des forces tangentielles selon la loi (A). Or, si ces forces ne sont pas nulles sur tout le couronnement, elles s'annulent en quatre de ses points; de plus, elles sont en équilibre et leurs valeurs extrêmes sont comprises entre
/,= — et /2=^'
lOO 00
c'est-à-dire que la plus grande vaut la pression d'une colonne d'eau ayant pour hauteur ^ de l'épaisseur du mur. De pareilles forces, d'ailleurs en équilibre, ne peuvent pas influer d'une façon sensible sur la flexion du barrage et, par suite, la solution simple ci-dessus peut être considérée comme une approximation tout à fait satisfaisante.
» Comparons donc la pression verticale n qu'elle donne à celle n^ que fournirait la résistance des matériaux ou la règle du trapèze. Celle-ci
( 1238 ) donnerait
(i bis) n^^^ ky -{^
c'est-à-dire les deux premiers termes de l'expression (i) de n donnée ci-dessus. Ce qu'il importe de comparer, ce sont les maxima de n et de n^ dans une assise quelconque de profondeur y.
» L'expression (i bis) linéaire donne le maximum de «^ sur le parement d'aval, soit pour a; = e, de sorte que
» Or, sur le parement d'aval, la valeur que donne (i) et que nous appellerons n" est
» Sa valeur est moindre que celle (a) fournie par la résistance des matériaux, ce qui est rassurant dans l'emploi de celle-ci. La différence serait une pression d'eau égale à celle que donnerait le } de la profondeur de l'assise considérée. De même, le minimum de n^ se Irouve sur le parement d'amont, soit
n^.^.^= ky — —■ M La formule (i) donne pour cette valeur, que nous appellerons n',
» Elle donne donc, pour le joint à l'amont, un ierr«g"e supérieur à celui qu'indique la résistance de matériaux, ce qui est encore rassurant dans l'emploi de celle-ci. Mais n' et n" ne sont pas nécessairement les valeurs extrêmes de la pression n; celle-ci peut comporter un maximum ou un minimum en dehors des valeurs n' et n" aux deux extrémités de chaque joint. Pour savoir s'il en est ainsi, prenons la dérivée de n par rapport à x; nous aurons, d'après (i),
E du .r- X r 2 r'
Y ax s- E 0 £-
■ ( 1239 ) » Les maximum et minimum sont donc donnés par l'équation
d'où
» Pour que ces deux valeurs donnent des points du barrage, il faut que la plus grande soit inférieure à i et la plus petite positive, ce qui exige que
« Dès que ^ dépasse la valeur i / z^ les valeurs n' et n" sont les valeurs
extrêmes de n, et, comme elles sont l'une et l'autre plus favorables que celles fournies par la règle du trapèze, on voit déjà qu'à des profondeurs un peu grandes l'emploi de celte règle ne peut pas offrir d'inconvénients au point de vue de la sécurité.
i> D'autre part, si, pour — <i\/ -' on porte la valeur (4) dans l'expression (i) de n pour avoir les valeurs extrêmes de n, on s'assure facilement qu'elles ne sortent des limites de celles de n^ que près du couronnement, ce qui est sans inconvénient.
» On peut généraliser la solution en supposant qu'au sommet du mur agissent des forces ayant une résultante donnée. Si l'on appelle N et T les composantes de cette force, et M son moment par rapport au point milieu du couronnement, on n'aura qu'à ajouter aux expressions (i),(2), (3) de n, t, n, respectivement les quantités n', /', n\ avant pour expressions
qui ne sont autres que ce que donne ici le problème de M. de Saint- Venant et aussi ce que donnerait la règle du trapèze.
» En résumé, pour le triangle, la résistance des matériaux donne les mêmes valeurs que la théorie mathématique de l'élasticité; pour le rectangle, elle donne des valeurs plus défavorables, par suite plus avantageuses au point de vue de la sécurité : donc, dans les deux cas, on peut la maintenir. S'ensuit-il que la même conclusion s'appliquerait aux cas réels comme étant intermédiaires entre ceux dont il vient d'être parlé? Cela est vraisemblable, sans être certain, et il n'en reste pas moins intéressant d'examiner d'autres cas. Nous avons traité la section trapèze par un procédé analogue à celui employé pour le rectangle. Enfin il y a lieu de s'occuper des effets calorifiques. Nous nous réservons de revenir sur ces sujets. »
MÉTALLURGIE. — Recherches sur l'état où se trouvent le silicium et le chrome dans les produits sidérurgiques. Note de MM. A. Carnot et Goutal.
H Nous avons exposé dans un précédent Travail (') les résultats de nos recherches sur l'état des éléments qui se trouvent avec le fer et le carbone dans les produits de la sidérurgie, en prenant pour exemples les fontes et les aciers spéciaux, où ils entrent pour une proportion suffisante. Nous avons reconnu que plusieurs de ces éléments, le manganèse, le nickel, le cuivre, le titane, l'arsenic, s'y trouvent à l'état libre ou simplement dissous, tandis que d'autres y sont à l'état de combinaisons véritables, bien définies et dont nous avons pu fixer la formule; c'est ce qui arrive notamment pour le soufre, le phosphore, le tungstène, le molybdène.
» Nous avons aussi trouvé que le silicium et le chrome y sont combinés avec le fer, le manganèse et le carbone; mais la complexité de ces combinaisons nécessitait de nouvelles études, que nous avons poursuiA'ies depuis cette époque.
)) 1° Silicium. — Dans notre première Communication, nous avions signalé que les /errosiliciums très peu manganèses renferment un siliciure de fer, dont la composition répond à la formule SiFe (33,33 de silicium;
(') Compta; rendus, séances des 19 et 9,0 juillet 1'
66,67 de fer) et qui possède des propriétés assez remarquables : il résiste à l'action des acides dilués, à l'abri du contact de l'air; mais il est, au contraire, vivement attaqué par les solutions alcalines, même fort étendues, en fournissant un dégagement d'hydrogène et une dissolution de silicate.
» Nous avions aussi remarqué l'existence, à côté de ce siliciure de fer, d'autres combinaisons du silicium, que nous pouvons définir aujourd'hui avec plus de précision.
» A. En opérant sur du ferrosilicium pauvre en manganèse, que l'on soumet pendant quinze jours, à froid, à l'action de l'acide sulturique très étendu (5 pour 100 de SO*H-), on obtient un résidu complexe, formé principalement de carbone, de siliciures divers et d'hydroxyde de silicium (qui provient lui-même, sans doute, d'une décomposition de certains siliciures).
» En reprenant ce résidu par une solution de potasse étendue et chaude, on fait disparaître l'hydroxyde de silicium et le protosiliciure de fer SiFe; il reste des hydroxydes de fer et de manganèse, qu'on dissout par l'acide sulfurique étendu, seul ou avec quelques gouttes d'eau oxygénée. On lave, on sèche et l'on calcine légèrement, enfin on sépare du résidu une partie atlirable à l'aimant. L'analyse de cette partie magnétique montre qu'elle possède la composition d'un siliciure bimétallique SiFe^ (20 de silicium, 80 de fer), car nous avons trouvé, dans deux expériences distinctes :
Silicium '9>75 19186
Fer 79,93 79,87
» Le même composé avait été obtenu par M. Moissan, au four électrique.
» Ainsi, tandis que le siliciure monométallique SiFe se produit dans les hauts fourneaux, mais ne paraît pas avoir été obtenu au four électrique, le siliciure bimétallique SiFe" se produit dans l'un et l'autre cas.
» Mais il est à remarquer que ses propriétés ne sont pas des deux côtés entièrement les mêmes : celui du four électrique est inattaquable aux acides; celui des hauts fourneaux, obtenu à moins haute température au milieu d'une masse métallique, s'attaque, au contraire, assez facilement par les acides chauds, même dilués.
» B. En procédant d'une manière analogue sur des produits riches en manganèse et en silicium (silicospiegels à 20 pour 1 00 de Mn), on isole, avec
du carbone libre, un siliciure double de fer et de manganèse, qui, dans une série d'essais différents, a présenté les compositions suivantes :
Fer 68,25 68,60 68,80 69,16 71,22
Manganèse i5,io i4)70 16, 3o 16,80 i4,58
Silicium i5,4o i5,8o i4;'o i4>o^ i4iOo
» La composition de ces divers composés est assez bien exprimée par la formule générale Si]\P, M représentant la somme des deux métaux : fer et manganèse.
» La présence d'une proportion importante de manganèse semble donc entraîner une modification très marquée dans la composition du siliciure métallique.
» C. La pulvérisation d'un certain nombre d'échantillons de ferromanganèses, dont la masse n'était pas sensiblement magnétique, nous a fait reconnaître qu'ils contenaient néanmoins des parties altirables à l'aimant. Ces parties étaient relativement pauvres en manganèse, mais beaucoup plus riches en silicium et en fer que l'ensemble du métal. Ainsi, trois échantillons de ferromanganèses avaient donné à l'analyse :
Fer 4o,3o 42,60 68,83
Manganèse 5i,6o 5i,i5 27,10
Silicium... o,.55 i ,o4 0,9.5
» En promenant le barreau aimanté dans la poudre du métal, nous avons pu en extraire près de 3 pour 100 de parcelles attirables, où nous avons trouvé :
Fer 88,20 84,02 89,80
Manganèse 7,20 9,45 2,90
Silicium 3,00 6,44 6,5o
» Ces parcelles, soumises successivement à l'aclion d'un acide très étendu, puis à celle d'une lessive de potasse et à celle d'un acide très dilué, ont laissé un résidu, qui n'est autre que le siliciure de fer bimétallique SiFe", précédemment étudié dans les ferrosiliciums peu manganèses.
» On peut donc conclure de ces différents essais que les produits sidérurgiques contiennent deux combinaisons du fer et du silicium, correspondant aux deux formules SiFe et SiFe-; ils peuvent aussi, lorsqu'ils sont assez riches en manganèse, renfermer un siliciure de la forme SiM', dans lequel entre une assez forte proportion de manganèse.
M 2° Chrome. — Nos premières recherches avaient porlé spécialement sur les aciers chromés, à cause de la difficulté d'attaque des ferrochromes par les acides. Plus récemment, nous avons réussi à faire cette attaque.
» A. Nous avons emplové deux ferrochromes, où l'analyse nous avait
donné :
