Soit d'abord pris pour exemple le lieu
a^yt ^ ^,2 ^2 ^2 ^2 = o,
les deux points critiques sont [ jc = + «, j = o] et
[x = — a^ y = o], où -^ devient infini.
La courbe d'équilibre entra ces deux points est caractérisée par l'équation
(a„a)2-t-p2 = (ao-+-a)2-+.p2 ^,^, ao=o;
( >39 ) c'est donc celle des conjuguées de l'ellipse qui la touche en ses sommets situés sur Taxe des y. Ainsi, sî le point [xo, jKo] appartient fi cette conjuguée, le périmètre de la région de convergence passera à la fois par les deux sommets placés sur Taxe des x.
Pour que le point d'arrêt soit [ j: = + a^y = o], il faudra que a^ et Pq satisfassent à l'inégalité
(ao-a)«-f-p2<(ao-ha)2+pJ,
c'est-à-dire que olq soit positif, ou que le point [^o> J^o] appartienne à une branche de conjuguée tangente à l'ellipse en un point du premier ou du quatrième quadrant.
Quelque part que le point [.ro,yo] soit placé sur le lieu, le point [j^,J^] fourni par Téquation y=z \a série (supposée convergente) ne pourra jamais traverser l'arc des X pour passer d'une des branches sur l'autre, de la courbe réelle ou de la conjuguée 0=00, car autrement la série pourrait fournir deux valeurs de j- pour une même valeur de x.
Cette remarque sera souvent utilisable. Dans tous les cas analogues, le point d'arrêt sera toujours un point de rebroussement pour le périmètre de la région de convergence.
Le point d'arrêt restant fixé au point [^ = -t- ûr,j^= o], c'est-à-dire ao restant positif, supposons qu'on veuille savoir si le point mobile [^,J^] pourra passer sur la courbe réelle ou sur la conjuguée c = oc : il faudra pour cela remarquer que, pour que le point [^,^] reste dans l'intérieur de la région de convergence, le module de
{x Xo)y ou
(a-ao)*^-(P-Po)^ devra rester moindre que celui de (a — Xo), ou
( '6o ) maïs que, si le point [x,^^] doit se trouver sur la courbe réelle ou sur la conjuguée c*=qo, p, alors, sera nul, ce qui réduira la condition précédente à
ou
Les racines de Téquation à zéro de ce trinôme sont
ao-h(a — «o) et «o — (a — a^),
de sorte que, pour que le trinôme soit négatif, il faudra que a varie entre
ao-i-(«— «o) et tto— (a— oto);
si aLo=ia = h^ le maximum sera a et le minimum a — 2A 5 et si oLo= a-hk^ le minimum sera a et le maximum a 4- 2/i.
Ainsi le point [x, y], représenté par l'équation ^ = la série, ne pourra jamais passer de la courbe réelle sur la conjuguée c = 00 ou réciproquement.
Fig. 28.
Il pourra passer sur la courbe réelle si ao <C a, et sur la conjuguée c = 00 si ao]> a {fig- 28).
Si ao était égal à a, le périmètre de la région de con-
( «61 ) vergence n'aurait que le point A de commun soit avec la courbe réelle, soit avec la conjuguée c = qo.
On pourrait aisément construire le périmètre de la région de convergence pour une position donnée du point [xo, yo ]î et déterminer la portion de chaque conjuguée dont les ordonnées pourraient être fournies par la série.
