IM
Soit A le point de l'objet dont partent les rayons. BK, l'nrc du cercle qui formerait la convexité du verre, s'il faisait un tour sur son rayon BC. AIM esi un de ces rayons qii; partent du point A, que je suppose entrer dans le verre, tout proche du point B, en sorte que les trois lignes AI, AD, AB, et les deux petites DI et BI, soient considérées comme égales entre elles. Du point C, centre de la convexité BIK, -soit menée une perpendiculaire CM, sur le rayon AIM, et un autre CN, sur le rayon rompu If. Ces deux petites lignes seront les sinus des angles d'incidence et de réfraction ; et les angles droits en M et en N ayant la même hypoténuse IC, qui est le rayon de la convexité du verre : CM «era le sinus de l'angle d'incidence, et CN, celui de réfraction ; et par conséquent CM sera à CN, comme 3 à 2. Soient maintenant tirées du point /", oîi le rayon rompu I /", rencontre l'axe A /", la ligne /" IP, et du point H, la petite HG : Et du centre c de l'autre convexité du verre EHK, les perpendiculaires c P, sur le prolongement du rayon rompu par la première réfraction, et c Q sur F Q qui doit être le rayon rompu de la seconde réfraction, en sortant du verre au point H pour entrer dans l'air, c P sera donc à c Q, comme 2 à 3, par des raisons semblables à celles que j'ai dites pour la première réfraction. Cela supposé et suffisamment prouve par ce que j'ai dit des réfractions dans le dernier éclaircissement, il est question de trouver sur l'axe A /', le point de concours F, des rayons qui partent du point A de l'objet, c'est-à-dire la distance BF, après avoir trouvé, celle de B /'.
Pour cela soient nommées les indéterminées; savoir la distance de l'objet AB = cl. Le rayon du cercle BIK ; savoir, BC = r. Le sinus de l'angle d'incidence, ou CM = s, et CN
2s = — — , et l'inconnue B /" = a;- Je nommerai les autres hgnes
quand j'aurai le point f. Cesl atin d'éviter la contusion des lettres.
Pour trouver l inconnue B f^:^ x.
Le rayon AI, étant toit proche de l'axe, on aura AC, {d-\-r) est à AD ou AB, (d) comme CM, (s) est DI = — ^-—
sd 2*
Et B fix) est à f C (a;— r) comme DI, (-: — )estàCN (-j-)
%S3C sd.'T—^sdr D'où l'on tire l'équation — - — = - , \ — qui se réduit à
3rfr celle ci, B fou x = -j — — . On voit par cette valeur de x, que
si d était égal à 2 r, les rayons seraient parallèles; que s'il était plus grand que 2 r, les rayons se couperaient au-dessous du verre, comme dans la figure, et que s'il était plus petit le point /*se trouverait au delà du point A, et que les rayons seraient encore diver cnls après la réfraction, parce que dans ce cas la valeur de x serait négative. On voit que si d était infinie, le foyer de la première convexité sérail distant de trois fois le ^ayon; 2 r devenant zéi'O, par rapport à d. Que si r était infinie, c'est-à-dire, que le verre fût plan, le point de concours /■ se trouverait au-dessus du point A, et éloigné de lui
de -^ la valeur de x devenant négative. On voit enfin que ù^
ces trois grandeurs, x,d et r, deux étLut données, on a aisé-
ment la troisième par 1 équation x = —. — — ;- . Supposé , par
exemple, que le rayon r de la convexité du verre, et la distance B /■ de l'image, soient donnés, on trouvera aisément la dislance d de l'objet, A B. 1° en multipliant cliafie membre de l'équation par d — 2 r, 2° en retranchant de pSi'L et d'autre ddr, et ajoutant 2 r ic; 3° en divisant para; — ir; et l'on
2r,'K trouvera d= —^ — , de laquelle équation on peut tirer les
mêmes conséquences que de la première. Je ne dis ceci que pour faire sentir la fécondité et l'utilité des résolutions générales de l'algèbre. Il est question maintenant d'examiner l'effet des secondes réfractions que souffrent les rayons en sortant du verre, lesquelles donnent le point F de concours après les deux réfractions.
Trouver V inconnue EF = *
Pour cola soit nommée l'épaisseur du v^rre BE = g, E^ 3u G /"ou H /■--=: y. Le rayon de la convexité EHK, qui :ist T. u. 33
Eô = a. Le sinuis de l'angle d'incidence du rayon rompu par la première réfraction, sortant du verre au point H, ce sinus est c P = t. Ei par conséquent le sinus de l'angle de la seeoQdë
réfraction cQ =-4- t- Enfin FG, ou FH, ou FE = z.
Le rayon f H étant tout proche de l'axe, l'on aura ces proportions fc iy-\-a) est à /" E (y) comme c P (/) est à GH
-^, et c Q (-7-) est à GH ( — j^), comme F c («-^a) est
à FE (Z'.
Multipliant donc les extrêmes et les moyens de cette proportion, on aura l'équation —:T-tz = ^' . , dont chaque
membre étant divisé par t, et multiplié par 2, et par y-\-a, 01 aura 3y%-\- 3 az = 'iyz-\-^ ay : de laquelle ôiant de part et d'autre 3 yz, l'on aura 3 az = 'iay — yz; et enfin en la divisant par % a — z, on aura y = -^ — - — . Or y ouEf est égal à « — e, ou B /■ — BE. L'on aura donc l'équation x — e
= -^ , dans laquelle mettant pour x sa valeur—; — —,
Mr 3dr — ed-\-'ier 3a% ,, ,^.
«D aura-r — r e ou- . — -~ = — . Et en multi-
rf— 2r d—ir 'ia—z
pliant chaque membre par d — 2r, et par 2a — 2, l'on aura celleci: 6 ard — 2aerf-f-4 aer — 3 drz—'i erz-\-edz=.3 adz — 6 ar2;,dans laquelle changeant de côté les trois termes où se trouve l'inconnue 2, on aura 3 adz — 3 drz — edz — 6 arz-\-'^ erz=^ ard — % aed-\-k aer ; et par conséquent l'on aura l'inconnue
. 6arrf — 'iaed'\-iare ^„
3ad-\-Srd—ed+ier—i3ar Si on néglige l'épaisseur du verre on effacera tous les termes où e = 0 se trouve, et l'on aura,
ad-\-rd—'Àar
Si la distance de l'objet est infinie, ou que les rayons qui tombent sur le verre, soient censés parallèles, comme lorsque les objets sont éloignés, en effaçant tous les termes où d ne se trouve points la seconde valeur de z se réduira à celle-ci T,
ECLAIRCISSEMENTS. STd
z = ; et si les deux convexités sont égales, on aura
z= r. Riais si la distance d n'est pas assez grande pour rendre parallèles les rayons, on aura z = , qui est la proposition que j'ai supposée dans l'arlicle 21 du dernier éclaircissement.
Dans la figure et dans les raisonnements qu'on a faits pour résoudre le problème, on a supposé que le verre était convexe des deux côtés; mais les formules ne laissent pas d'eu donner la solution générale, en observant seulement d'y changer quelques signes et d'en retrancher quelques termes, ce que chaque cas particulier détermine.
Si on suppose, par exemple, que le verre soit concave da
côté de l'objet et convexe de l'autre, et qu'on se veuille servir
de la seconde valeur de %, il n'y a qu'à y changer le signe des
termes où se trouve r, parce que dans ce cas le rayon de la
convexité BIK est négatif, ou pris dans un sens contraire à
celui sur lequel on a fait les calculs qui ont donné la formule,
,, — 2fflrd 2ard
et 1 on aura z = —3 p— — ou —, -, — - —
ad—rd-\-iar rd—ad—tar.
Mais si on retourne ce même verre, ce sera le signe des
termes où le rayon a se trouve qu'il faudra changer dans la
formule. Si enfin le verre est concave des deux côtés, il faudra
changer les signes où les rayons r et a se trouvent seuls, et
ne rien changer dans les termes où ils sont tous deux ; car
le produit de — r par — a, donne -|- a r. Ainsi on aura
2ffrd z = — -j — -1 — -— ^ Et cette valeur sera toujours négative, et
le point de concours F, du même côté que les rayons tombent sur le verre.
Si l'on suppose que le verre soit plan du côté tourné vers l'objet, et convexe de l'autre; alors le rayon r devenant infini, il faudra retrancher comme nul, de la seconde valeur de z, le terme ad où r ne se trouve point. Et par la même raison le terme rd, si on retourne le verre. On voit assez ce qu'il faut faire si le verre était plan d'un côté, et concave de l'autre.
Enfin si l'on suppose que les rayons tombent sur le verre, convergents (c'est-à-dire, en s'approchant les uns des autres),
obO DE LA RECHERCHE DE LA VÉRITÉ.
alors la distance AB (d) sera négative, et le point A, où dans ce cas tendent les rayons, sera du même côté que le point F. Ainsi en changeant dans la seconde vale'-r de z, ou dans celles des cas particuliers qu'on vient de marquer, le signe des termes oîi d se trouve, l'on aura la valeur qu'on cherche.
Il est clair que si z est donnée avec une des deux autres, ces équations feront connaître la troisième en la dégageant des autres, comme on a déjà fait.
On voit donc bien que les deux premières formules ou valeurs de 2, donnent la solution générale de tous les différents cas possibles du problème, en supposant que la réfraction de la lumière, qui de l'air entre dans le verre, soit comme 3 à 2. Mais si l'on veut une formule dont la réfraction même soit indéterminée, comme m an, en sorte qu'on puisse prendre mein pour tels nombres qu'on voudra; il n'y a qu'à nommer les
Il 2
sinus CN et c Q des angles de réfraction • — s, au lieu de -^s
et i, au lieu — t dans les proportions qu'on a faites pour
résoudre le problème : et, en achevant le calcul, on trouvera
en mettant p pour m — n
,„ mnard — nvaed-\-nnare
EF ou z = ; — '- — ; OU en né-
vipad -\-myrd — pped -j-Tifire —mnar
gligeant l'épaisseur e du verre, z =
pad-hprd — nar.
Il est évident que ce seul problème résolu généralement, contient, pour ainsi dire, la science entière de la dioptrique, qui consiste à déterminer la figure des veri'es, pour réunir, rendre parallèles, convergents, divergents les rayons qui partent des objets; et en les faisant passer par plusieurs verres, augmenter ou diminuer leurs images comme on le souhaite. Car en regardant le point E, auquel est l'image de l'objet A, comme le point A lui-même, et mettant sur le même axe un verre convexe au-dessous du point F, ou un verre concave audessus, en sorte que le foyer du convexe et le foyer négatif du concave soient au même point F, les rayons sortiront parallèles de ces seconds verres, ce qui est nécessaire, afin que ceux qui ont bonne vue voient distinctement les objets. Mais parce eue l'objet paraît x'enversé, lorsque les raycjs ont passé par les.
deux verres convexes, si on en met un troisième convexe, les rayons se réuniront sur l'axe; et regardant encore ce nouveau foyer comme le point A de l'objet, si on ajoute un quatrième de même convexité que le troisième, en sorte que ce point A soit au foyer de ces deux derniers verres, les rayons en sortiront parallèles, et l'image de l'objet sera redressée et de beaucoup augmentée.
Je n'entre point dans le détail de tout ceci, et je n'ai même donné que quelques corollaires généraux qu'on peut tirer de la seconde formule, pour en faire de nouvelles, convenables à divers problèmes. Mon but n'a été que de faire sentir la vérité de ce que j'ai dit vers la fin du cinquième chapitre de la méthode de l'ulililé de l'algèbre et de l'analyse. On peut voir un plus grand détail de corroUaires, tirés de la sokition générale du problème qu a donnée M. Guisnée dans les mémoires de l'Académie de l'année 1704, où ce savant géomètre ne se contente pas de le résoudre seulement dans la supposition que les verres soient taillés par des plans ou des arcs de cercle, mais en général par deux courbes quelconques de même ou de différente nature.
en
