Æ SA “E

Fig. 13. — Coupe méridienne du solide tétraédrique. Fig. 16. — Coupe méridienne du solide tétraédrique. Le méridien passe par deux sommets A et D. Le plan de la coupe est celui de la figure 13.

comprimées au début et il n'y a d’autre déformation qu'un raccourcissement général, mais cet équilibre est instable si la charge dépasse une certaine valeur critique. Il suffit alors du moindre défaut de centrage ou d'homogénéité pour que le prisme fléchisse subi-

(1) Voir par exemple : A. Fôpp, Résistance des matériaux et éléments de la théorie mathématique de l'élasticité, Gauthier-Villars, 1901, p. 335 et suiv,

tement et que son axe décrive une courbe dont'l'ordonnée » en chaque point est donnée par l'équation différentielle : | heat El "Pr (A)

Le = on — coefficient d’élasticité longitudinale ;

P — force comprimant le prisme ;

F = section du prisme ;

! = longueur du prisme ; A Î = variation de longueur ;

I — moment d'inertie de la section ;

Xi ADSCISSe.

On sait que l'intégrale générale de l'équation (A), très fréquente en physique, est de

la forme :

y = À sin ax + B cos ax;

où A et B sont des constantes données par les conditions initiales et

= VE El

L'équation (A) n’est valable que pour de petites déformations; en outre, E n’est une constante que pour les corps suivant la loi de Hooke.

Ces réserves faites, on peut dire cependant que la courbe de la ligne élastique dérive directement de la sinusoïde.

Ceci explique le choix que nous ferons plus loin de cette fonction, si répandue dans la nature, parce qu’elle permet de passer le plus insensiblement d'une limite négative à une limite positive et inversement. Ce passage « harmonieux » n'est pas limité à la fonction elle-même, mais à toutes ses dérivées qui ne diffèrent de la fonction que par un « décalage »

Dans le nouvel état de flexion du prisme chargé debout, il y a maintenant répartition égale de fibres tendues et de fibres comprimées de part et d’autre de la ligne médiane ou neutre, tandis qu’au début toutes les fibres étaient comprimées.

Cette égale répartition des fibres tendues et comprimées se retrouvera peut-être dans l'étude générale des plissements.

Supposons maintenant que la flèche du prisme élastique soit limitée dans sa course : c'est le cas illustré par les expériences de Daubrée (1) pour expliquer le plissement des chaînes de montagne. La lame de plomb ne peut plus former un seul arc et se plisse en un nombre impair de demi-ondulations qui ont une allure sinusoïdale ; elles résultent certainement de la même équation différentielle (A).

Nous avons repris cette expérience, mais en comprimant debout une lame d'acier qui donne la flexion élastique pure, celle qui nous importe pour le moment.

(1) A, DAURRÉE, Études synthétiques de Géologie expérimentale, Paris, 1879, p. 288 et suiv,

Creuse PE 1), Fe pe la ne sont os

F os ie. de compression; on passe AS d'une demi-ondulation à deux demi-

Ps

On remarque au cours de ces compressions, si l'encastrement ou l’appui des bouts ne sont pas francs, des détentes qui font sauter brusquement d’une courbe triple à une courbe double. Nous utiliserons plus loin ces particularités.

Passons comme étape intermédiaire au cas du « flambement » d’un anneau soumis à une pression centripète. Ici les théories mathématiques font, croyons-nous, défaut et nous devons nous laisser guider par les expériences et les analogies.

Au début, la compression le long de la circonférence axiale, résultant des forces

extérieures, sera uniforme dans les diverses fibres. Puis on atteindra une valeur critique, comme dans le cas du prisme droit, qui se traduira par une rupture de ce premier état d'équilibre et dans le passage à un ne état, où les fibres se grouperont alternativement, et de part et d'autre d'un axe neutre, en fibres tendues et comprimées.

L'expérience du tuyau de caoutchouc de Fairbairn, ou des tuyaux de fer de Ampferer, fait supposer que le cercle primitif se déformera en un nombre impair d'ondulations complètes, au minimum trois (fig. 12).

Par analogie avec ce qui se passe dans l'expérience des lames de Daubrée, on peut imaginer un plus grand nombre de sinuosités le long de l'ancienne circonférence, dans le cas d’une réaction centrale qui limite la flèche (fig. 15). En première approximation admettons que l'écart entre la ligne déformée et la circonférence primitive, c'est-à-dire la longueur AA’, varie comme le sinus d'un multiple de v (angle du rayon vecteur avec un rayon pris comme origine) :

dénivellation AA’ =asin ne.

Comme la déformation d'une circonférence et l'équation de la ligne sinueuse donnent probablement la clef de la déformation d'une écorce sphérique, nous allons nous arrêter un instant à la courbe que nous venons de définir. |

Il est intéressant en particulier de chercher comment varient avec le nombre des sinuosités et l’amplitude, d’une part, la surface enveloppée et, d'autre part, la longueur de la ligne sinueuse. Or, on trouve immédiatement que la surface enveloppée est égale à :

EC

S=; |, (R+a sin ng)?c de =.7r R° +-

c'est-à-dire qu'elle est supérieure à la surface du cercle primitif d'une quantité ‘ndépendante du nombre des sinuosités et qui est représentée par l'aire d'un demi-cercle dont le rayon serait égal à l'amplitude de déformation.

La longueur de la ligne sinueuse s'établit moins rapidement; son élément est :

d® = (R + à sin ns}de? + (na cos ne}? de?;

en posant ù a 4 :

DE R' {= Ssinnv,

il vient, pour la longueur totale de la ligne,

“a ar [7 em +TET ax.

er

Nous devons à l'obligeance de M. R. Garnier, chargé de conférences à la Faculté des Sciences de Paris, la solution très compliquée et savante de cette intégrale elliptique qui nécessite des transformations nombreuses et des calculs fort longs. Il y fait usage de « l'échange du paramètre et de l'argument » de la théorie des intégrales abéliennes. La solution peut se résumer de la facon suivante :

Hs Le 08n l= 4 na [r+sr(s)+ EG (Ci) \

F et G étant deux séries, procédant suivant les puissances positives de #7? et convergentes pour 7 assez grand.

Or, il est intéressant de constater que si le nombre des sinuosités augmente, la longueur de la ligne tend vers :

l = 4na,

c'est-à-dire qu'elle augmente, finalement, proportionnellement au nombre des sinuosités, tandis que la surface enveloppée en reste indépendante.

Nous avons vu plus haut comment le principe de la moindre action avait été avancé pour expliquer la déformation tétraédrique ; le même raisonnement appliqué à une circonférence conduirait à admettre que le cercle, obligé de mouler une surface interne qui se contracte, se déformerait suivant le polygone régulier qui présente la plus petite surface pour le plus grand contour, c’est-à-dire le triangle à angles vifs.

Or cette déformation est contredite par l'expérience, et le calcul que nous venons d'esquisser montre que la ligne sinueuse, soit par la variation d'amplitude, soit par celle du nombre des sinuosités, permet de changer dans les limites les plus étendues le rapport des nombres qui expriment la surface enveloppée et la longueur de la courbe enveloppante.

Cherchons maintenant à utiliser dans la déformation de la sphère l'écart a sin ne, que nous avons admis en première approximation; en faisant # un nombre entier, impair, il a des chances de nous donner l'opposition diamétrale.

L'expérience des globules nous conduit en outre à chercher une symétrie autour des quatre pôles équidistants à la surface de la sphère (1).

Après diverses tentatives, nous en sommes restés à la construction géométrique,

(1) Si l’un des pôles coïncide avec le pôle Sud, les trois autres sont répartis sur le parallèle 190 28° Nord : le sinus

, I de la latitude égale +.

vi Sd

nt à passer. Au point Find nous aurons quatre re Me dont nous | À faisons la somme algébrique.

1 Cette somme représente la cote définitive du point au-dessus ou au-dessous ns la 3 surface de la sphère. La même opération répétée pour tous les points de la sphère nous donne un solide (fig. 19, PI. IV) que nous avons représenté en courbes de niveau en | deux gammes de teintes pour les saillies et les dépressions, sur une mappemonde en | projection de Lambert, ceci afin de ne pas nous écarter du cas de la Terre où la défor- | mation à l'échelle de la sphère est trop petite pour être dessinée. " La figure 13 est une coupe méridienne de ce solide. M. Garnier nous a fait remarquer que cette surface pouvait être représentée d’une façon très simple, en ‘coordonnées rectangulaires, par l’équation :

7? — x? +- yYi+ sa

R = rayon de la sphère primitive;

X =0, Y =0, 7 —0 étant les plans de symétrie quaternaire du cube auquel le tétraèdre ù est mériédriquement isomorphe.

Nous avons d'autre Fee réalisé un tel solide géométrique exagéré sous forme d'un moulage en plâtre (fig. 21, PI. IV).

On voit par là que cette me imite fort bien la déformation tétraédrique des globules de paraffine. Il y a là probablement plus qu'une simple coïncidence.

En remplaçant un grand cercle par une ligne sinueuse on modifie sensiblement sa longueur ; par contre la variation de la surface enveloppée ne varie guère. Il doit en être de même de la sphère déformée qui prend par son bossellement une plus grande surface pour un même volume. Par simple exagération de la déformation ou par la variation du nombre des sinuosités, on fait varier SES des limites arbitraires le rapport de la surface au volume.

Il ne faut pas chercher dans cette construction une démonstration mathématique qui n'y est pas, mais simplement l'équivalent de la formule empirique qui permet de reproduire numériquement les résultats d’une expérience, et qui parfois, si elle est bien choisie, peut conduire à la solution théorique du phénomène étudié.

La concordance avec les faits expérimentaux nous paraît suffisante pour nous autoriser à faire un pas de plus sur le sol des analogies.

Jusqu'ici, en effet, nous n'avons tenu aucun compte de la réaction du noyau central. Nous n'avons pas à participer au débat entre fluidistes, viscosises et rigidistes

ee oi pas de trop pour ire ce ne qui est ne ce dif

Cette forte réaction du noyau doit agir pour limiter la flèche de la dépression et pour nous faire passer dans un deuxième état d'équilibre, où les ondulations de la surface sont plus nombreuses, cas analogue à celui de l'expérience de Daubrée DRE PI. 1) où une demi-ondulation entre deux nœuds est remplacée par trois demi-

ondulations. AR .

Essayons de reproduire la même construction géométrique que Pc : mais avec des grands cercles déformés à neuf sommets, c'est-à-dire à trois demiondulations dans une ancienne demi-ondulation (fig. 15).

On obtient cette fois-ci le solide du deuxième degré de la figure 20, Planche IV, Ex qu'il est intéressant de comparer avec le solide du premier degré de la figure 19, Planche IV. :

La symétrie tétraédrique y est conservée et l’on voit les quatre anciennes saillies se morceler en vingt-quatre sommets séparés par autant de fosses ; à l'emplacement des cotes primitives maxima apparaît une légère dépression dont la profondeur n'est que le quart des grandes fosses. De même, à la place du centre des quatre anciennes poches, nous trouvons une légère saillie.

La coupe méridienne de ce solide est donnée à la figure 16. Remarquons aussi que le relief s'est partiellement inversé, que les quatre cercles de cote zéro ne varient pas, mais que le long de leurs parcours le sens des versants s'est modifié.

Cetquidirappessurtout et ce qui. est Anretenir, (Cestique l'onenobrientmpassnr plissement, mais un bossellement.

On pourrait de même remplacer une demi-ondulation primitive par cinq demiondulations et trouver une nouvelle surface d'équilibre, mais nous arrêterons là ces constructions.

Une question qui se pose tout naturellement est celle-ci : pourquoi commencer la série des déformations du grand cercle avec trois sinuosités au minimum et ne pas faire la construction géométrique ci-dessus avec une seule sinuosité sur le pourtour de la circonférence, soit avec un écart donné par la fonction a sin 1°?

On voit sans peine que dans ce cas la somme des quatre déformations partielles est égale à zéro, quel que soit le point considéré. Donc la sphère n'est pas déformée.

(1) Thomson and Tait’s Treatise on natural Philosophy, Cambridge, 1883. On the secular cooling of the Earth. App. D, vol. 2, p. 468 et suiv. — G.-H. DarwIN, Phil. Trans., vol. 178 À, 1887, p. 242. (2) HERTZ, Equilibre d'une plaque flottante élastique. Gesammèlte Werke, Leipzig, 1894, t. I, p. 288

ou du côté d'u CHE sphérique est donnée par la formule fonc | cos c= cos a cos b + sin a sin b cos C, rs

dans Se oh | sa

fe à us a, b,c—= côtés du triangle Sue f A,B,C = : angles opposés ; ;

La déflexion sur un grand cercle, si nous faisons coïncider le maximum des avec

= le sommet du tétraèdre, est proportionnelle, d'après notre hypothèse, au cosinus de la *

distance angulaire mesurée sur ce grand cercle entre le sommet du tétraèdre et le point je considéré de la sphère, donc proportionnelle à cos €. |

Pour avoir la déflexion totale, il faut faire- par conséquent la somme des

Dquatre Cosinust

: COS € + COS C + COS €, + COS c,,

correspondant aux distances des quatre sommets au point arbitraire. On trouve de cette somme est égale à zéro quel que soit le point considéré.

Cette somme de quatre fonctions trigonométriques, « décalées » dans l’espace, qui s'annule en chaque point de la sphère, rappelle la propriété connue de la somme des ordonnées de frois sinusoïdes, décalées de 120°, qui est nulle quelle que soit labscisse.

Pourquoi enfin ne pas donner un nombre pair de sinuosités le long d’un grand: cercle? Nous avons vu dans l'expérience du ressort que l’on obtient un nombre pair de demi-ondulations entre deux nœuds, en encastrant les extrémités. Ce n’est donc pas le cas de la flexion libre de la sphère.

Ayant un peu dévié de notre sujet, nous en profitons pour signaler les expériences de C. V. Boys (1) sur des bulles de savon cylindriques «stables et instables » où l’on retrouve des conditions d'équilibre élastique encore mystérieuses, analogues aux nôtres.

Quel est l'ordre de grandeur des forces tangentielles qui compriment l'écorce terrestre? Ce problème a été étudié par R. Mallet (2) aidé pour la partie mathématique par Stokes. Il a cru trouver dans l’écrasement des roches sous l’action de ces forces la source de chaleur qui alimente les phénomènes volcaniques.

On sait que dans une surface sphérique la tension superficielle T, déterminée par une pression normale P à la surface de rayon R, est

Connaissant le poids des roches, il est facile de déterminer la compression tangentielle T qu'elles supporteront et de la comparer à leur tension de rupture. Mallet a montré que pour une coquille sphérique de porphyre, de la dimension de la Terre,

(1) C. V. Boys, Bulles de savon, trad. par Ch. Ed. Guillaume, Paris, 1892, p. 48 et suiv.

(2) RogertT Mazcer, Volcanic Energy (Phil. Trans. London, 1873, vol. 163, » P 147). T, VII, — Fasc. 10, Pierre Th. Dufour. 3

ans Le ns élastiques l'origine | in

: f remarquer tout d’abord qu'il repose sur des hypothèses sim fic:

| gnées de la réalité qui sont l'absence d'un noyau liquide supportant la structure de cette dernière en feuillets concentriques.

Personne ne niera l’écrasement ou plutôt les déformations permanentes Re |

ce qui fait justement l'objet de la géologie tectonique; mais ces déformations n'ont ET RR.

que de succéder à une première déformation GEST cine (Une sens de celle-ci. "4