AXIOMES

1. Les grandeurs égales à une même grandeur sont égales entre elles (2).

2. Si à des grandeurs égales on ajoute des grandeurs égales, les sommes seront égales (').

3. Si de grandeurs égales on retranche des grandeurs égales, les restes seront égaux (■*).

A. Si à des grandeurs inégales on ajoute des grandeurs égales, les sommes seront inégales (dans le même sens) (').

5. Si de grandeurs inégales on retranche des grandeurs égales, les restes seront inégaux (dans le même sens) (").

(*) Nous traduisons ainsi les mots xoival ivvoiat (notions communes), titre sous lequel Euclide réunit des énoncés de natures fort différentes et qui ne doit pas être pris dans le sens que l'on attache, dans nos Traités modernes, au mot axiome. Les sept premiers énonces expriment des vérités relatives à toute espèce de grandeurs, aussi bien qu'aux grandeurs géométriques; les énoncés 8 et 9 sont de simples définitions; les trois derniers seuls sont des axiomes géométriques proprement dits. Nous ne saurions admettre l'opinion de Peyrard, qui, d'après certains manuscrits, range ces trois derniers énoncés parmi les demandes. On voit aisément que ce sont là des propositions d'un tout autre caractère, et ij est bien plus conforme à l'esprit d'Euclide d'en faire, avec Barrow, R. Simson et Lorenz, les fondements expérimentaux de la science géométrique.

C) A = B, A = C; donc B = C.

(») A = B, A'= B'; donc A + A' = B + B'.

(*) A = B, A' = B'; donc A — A' = B — B'.

(*) A > B, A' = B'; donc A -+- A' > B -H B'.

(«) A > B, A' = B'; donc A — A' > B — b''.

DES ÉLÉMENTS d'EUCLIDB. iS

6. Les grandeurs qui sont doubles d'une même grandeur sont égales entre elles (' ).

7. Les grandeurs qui sont les moitiés d'une même grandeur sont égales entre elles (^).

8. Les grandeurs que l'on peut faire coïncider l'une avec l'autre sont égales entre elles (').