RELATIVE

COMUISSAIRBS

MM. DupiN, PoNCELBT, GoMBBS, MoRiN , Clapbyron, rapporteur.

M. Bazin , dans une seconde partie de ses recherches expérimentales sur ]*hydraulique, aborde la question si difficile et encore si peu approfondie des mouvements ondulatoires qui se produisent dans ies liquides.

Dans un sujet si vaste et renfermant des questions d'un ordre si élevé, M. Bazin a dû restreindre son point de vue ; ses études ont porté seulement sur un cas relativement simple, celui d'ondes isolées se propageant dans des canaux rectilignes dont leau est stagnante ou s'écoule avec une vitesse uniforme , soit dans le sens où la vague se propage , soit dans le sens opposé.

Dans les deux premiers cas, l'onde a des dimensions restreintes en

VI RAPPORT

longueur: elle est produite par Tinjection subite et de courte durée d*une masse d*ean dans le canal.

Si, au contraire, Tinjection dure un temps considérable, la vague prendra en longueur des dimensions beaucoup plus grandes, qui seront en proportion de la durée de Tinjection; Tintumescence ainsi produite prend le nom de remoas, elle a l'apparence d'une tranche deau qui s'avancerait en glissant sur la surface du canal.

Comme dans le cas de la vague isolée, M. Bazin examine le cas où le phénomène se produit dans un canal renfermant de l'eau en repos, et celui où celle-ci s'écoule avec une vitesse uniforme dans le sens où se propage le remous , ou en sens contraire. Ce dernier cas fixe particulièrement l'attention de l'auteur, parce qu'il reproduit, sur une échelle restreinte, le phénomène imposant connu dans la partie maritime des grands fleuves sous différents noms : barre, mascaret, pororoca, et en fournit l'explication naturelle.

Cette partie de l'hydraulique avait été déjà abordée par quelques expérimentateurs, parmi lesquels il convient de citer en première ligne MM. Scott Russell et Bidone. Le premier a publié, en i8â5, des expériences très-intéressantes sur la propagation dans un canal rectilîgne d'une onde isolée, produite par l'injection subite d'une petite masse d'eau dans le liquide stagnant qui le remplit. Cette onde, qu'il nomme onde de translation, onde solitaire, jouit de propriétés remarquables : la saillie qu'elle produit à la surface de l'eau est d'une régularité parfaite; elle marche sans laisser en arrière de traces de son passage et sans que rien annonce en avant sa venue prochaine. Elle parcourt ainsi de grands espaces sans qu'on observe dans sa forme d'altération sensible quand la profondeur reste constante. Sa vitesse est celle qu'acquerrait un corps grave tombant d'une hauteur égale à la moitié de la distance du sommet de la vague au fond du canal.

Cette onde parait devoir les propriétés particulières qui la caractérisent à ce que le mouvement qui la produit s'étend aux parties les plus profondes du canal. Lorsque l'agitation est seulement superficielle , la loi de propagation est tout autre; ainsi, comme l'a remarqué M. le général Morin, lorsqu'un canot se meut dans un canal étroit et profond, il produit, dans certaines conditions de vitesse , une vague qui l'accompagne; si l'on vient à arrêter celui-ci, la vague quitte le canot et se propage en avant, d'abord avec sa vitesse originelle, qui est celle qu'avait le canot,

A L ACADÉMIE DES SCIENCES. vu

et par conséquent sans relation avec la profondeur du canal. Ce n est que plus tard , et lorsque l'agitation superficielle se sera étendue à toute la profondeur de leau, que la loi proposée par M. Scott Russell pourra se manifester.

Bidone publia, en 182/1, des expériences sur le remous qui^^e produit dans un canal à faible pente, rempli d'une eau courante, lorsqu'on l'arrête subitement par rabaissement d'une vanne : l'eau s'élève contre cet obstacle et perd sa vitesse. Ainsi réduite à l'état de repos, elle devient à son tour mi obstacle au mouvement de l'eau qui vient ensuite, et dont la vitesse subsiste encore ; celle-ci s'élève à son tour en perdant sa vitesse; rintumescence ainsi produite a une bauteur constante au-dessus du fond , et se propage dans le sens opposé au courant, avec une vitesse uniforme lorsque la profondeur du courant l'est elle-même. Bidone étudie les circonstances diverses du phénomène, et en représente la loi par une formule qui coïncide avec celle de M. Scott Russell lorsque la hauteur de l'intumescence est très-faible.

Les expériences de ces deux auteurs ont été faites dans des canaux de petites dimensions, qui s'éloignaient trop des conditions de la pratique pour qu'elles pussent lui offrir un guide certain.

Cette question du mouvement des vagues ne pouvait manquer d'appeler l'attention des géomètres , qui en ont fait l'objet de recherches suivies; malheureusement les forces de l'analyse moderne n'ont pas prévalu contre les difficultés de la question. Il convient cependant de rappeler ce qu'on lit à ce sujet dans la Mécanique analytique de Lagrange. Il se restreint au cas où le canal est peu profond et horizontal. Il suppose que le fluide, dans son mouvement, ne s'élève ni ne s'abaisse audessus ou au-dessous du niveau qu'infiniment peu , et qu'en outre les vitesses horizontales sont aussi très-petites. «Alors, dit-il, la vitesse de « propagation des ondes sera la même que celle qu'un corps grave ac- «querrait en descendant d'une hauteur égale à la moitié de la pro-' a fondeur d'eau dans le canal. » Si restreintes que soient les hypothèses dans lesquelles se place Lagrange, il convient donc de faii*e remonter à lui la découverte de la loi que Scott Russel a eu le mérite de vérifier dans des conditions de grandeur finie, quoique encore bien restreintes.

Cette revue sommaire des travaux antérieurs montre combien les expériences de M* Bazin offraient d'importance et d'opportunité. Pouvant disposer des rigoles d'alimentation et des bie& du canal de Bour-

VIII RAPPORT

gogne , il les a faites sur une échelle supérieure à ce qu avaiiçnt pu faire ses prédécesseurs, et qui se rapproche des conditions ordinaires de la pratique. Son canal dexpérience a a mètres de largeur, les parois sont formées de madriers jointifs, la section est rectangulaire. Le fond est réglé sur une pente de i -^ millimètre par mètre environ. Il opère sur des hauteurs deau variant entre o",68a et o",3o7 à Textrémitéla plus profonde, et qui, en raison de finclinaison du fond, se réduisent à o"*,6/ii et o'^.oâG à l'extrémité opposée. L*onde dont on étudie la marche se produit de la manière suivante. A une certaine distance du point où commencent les observations est une prise d'eau en communication avec le canal ; on y a établi un barrage percé de plusieurs ouvertures munies de clapets disposés de façon à pouvoir s'ouvrir et se fermer subitement. L'eau retenue à un niveau supérieur peut être injectée à volonté dans le canal et y produire l'intumescence dont on étudie le mouvement. L'agitation tumultueuse qui s'observe d'abord dans le voisinage de la prise d'eau se régularise bientôt, et se résout en une vague aux formes régulières, qui se propage avec une vitesse qui ^ varie avec les divers points d'observation. A mesure que la profondeur diminue, la hauteur de la vague s'accroît, et si l'on nomme H la profondeur de leau avant l'arrivée de la vague au point que l'on considère, et h la hauteur de la vague au-dessus du niveau général, la vitesse de propagation est donnée par la formule

\/i?(H-HA)

C'est la loi de M. Scott Russell.

On conçoit que cette hauteur croissante de la vague a une limite; il arrive un moment où elle se brise et s'écroule dans un tourbillon d'écume. Ce phénomène se produit lorsque la hauteur s'approche d'être égale h la profondeur du canal. Après que la vague a déferlé, ses débris donnent naissance à une série de vagues plus petites, qui se brisent à leur tour lorsque la profondeur vient à leur manquer.

Si, au lieu d'injecter l'eau dans le canal, on en retire subitement une certaine quantité en lui ouvrant, pendant un temps très-court une issue à travers le barrage placé à l'une de ses extrémités, il se produit nuie dépression qui se propage sur toute sa longueur; on remarque que cette espèce de vague négative n'a pas des formes aussi nettes et aussi régulières que l'onde saillante étudiée précédemment. F^'onde négative

A L'ACADÉMIE DES SCIENCES. ix

est suivie d autres ondulations qu'il n a pais été possible de faire disparaître, comme lavait aussi constaté M. Scott Russell; elle ne parait pas non plus pouvoir parcourir d'aussi grands espaces sans déformation sensible. La détermination des circonstances diverses du phénomène nest pas susceptible d'autant de précision; cependant la vitesse de propagation calculée par la formule

s'accorde fort bien avec l'expérience; la même loi. s'appliquerait donc à la vitesse de propagation de l'onde positive et de l'onde négative, puisqu'il suffit, pour passer de la première à la seconde, de changer fc en — fc.

Les mêmes expériences ont été répétées en deux points du canal de Bourgogne sur une plus grande échelle : d'abord dans le bief de partage. La cuvette du canal est en maçonnerie; sa section est un rectangle de 6'",5o de largeur; sa profondeur d'eau de a'^./io. Les ondes positives étaient produites par l'introduction subite d'un volume d'eau accumulé dans une rigole d'alimentation; les ondes négatives, en ouvrant pendant un instant les vannes de la première écluse du versant de l'Yonne. La même loi se vérifia.

I)n6 seconde série d'expériences eut lieu dans un des biefs du canal de Bourgogne, versant de la Saône. La section du canal était sensiblement un trapèze de i o mètres de largeur au plafond , avec talus inclinés , à a mètres de base sur i mètre de hauteur. On a pris pour hauteur H la profondeur moyenne obtenue en divisant la section par la largeur à la ligne d'eau; cette profondeur variait de l'^.Sy à i"',/l&. f^es ondes positives étaient obtenues en ouvrant les vannes de l'écluse d'amont pendant quelques instants, et les ondes négatives en ouvrant celles de l'écluse d'aval. Les vitesses déduites de la for^nule s'accordent avec celles de l'expérience, à l'exception toutefois de celles qui se rapportent à la propagation des ondes négatives dans la section k forme trapézoïdale; dans ce dernier cas, la formule donne des vitesses inférieures à celles qu'indique l'expérience. La section du canal parait donc avoir, dans ce cas, sur la vitesse de propagation, une influence encore* peu connue, et qui ferait désirer des expériences sur une plus grande échelle.

11 était encore intéressant de savoir si la même loi s'applique à la propagation de la vague dans un courant marchant dans le même sens ou

X RAPPORT

dans un sens opposé. Si toutes les molécules d*un courant, comprises dans une même section , étaient animées d*une même vitesse; il n'est pas douteux que, par rapporta un obsei^ateur animé de la vitesse du courant, leau serait en repos, et que la vitesse relative de la propagation de Tonde serait celle qui vient d'être déterminée, ou, ce qui revient au même , la vitesse absolue mesurée par rapport aux berges du canal serait

l/j{H-4-fc)±«

a étguii h vitesse du cours d'eau. Le signe h- se rapporterait au cas où Tonde se propagerait dans le sens du courant, le signe — au cas où elle marcherait dans le sens opposé. Mais il n'en est pas ainsi, et l'inégalité de vitesse, en différents pointe de la section du cours d'eau, peut altérer d'une manière très-sensible la loi établie pour un liquide en repos. Il était donc intéressant de consulter Texpérience sur ce point.

M. Bazin constate que, lorsqu'une onde positive remonte un courant, elle perd sa régularité de forme, et sa hauteur diminue plus rapidement que dans le cas où Teau est stagnante : ce phénomène est d'autant plus prononcé que le courant est plus rapide ; cependant la formule

se vérifie encore d'une manière satisfaisante; mais, pour de fisiibles vitesses de propagation , le calcul donne des valeurs un peu trop grandes; il les donne un peu trop faibles dans le cas des ondes négatives.

Pour les ondes marchant dans le sens du courant , Taccord de la formule avec Texpérience est très-satisfaisant pour les ondes positives , et un peu moins pour les ondes négatives.

Dans un deuxième chapitre, M. Bazin étudie les lois de la propagation d'un remous dans une eau en repos. Dans le chapitre précédent, l'injection d'eau , à Tune des extrémités du canal , avait lieu dans un temps très-court; di, au contraire, l'injection est permanente. Tonde s'allonge indéBniment et prend l'aspect d'une couche liquide qui s'avancerait progressivement sur la surface de l'eau en repos. Les expériences ont lieu dans les mêmes canaux qui ont servi à Tétude des mouvements de Tonde solitaire et dans les mêmes conditions de' profondeur variable.

Voici les circonstances principales du phénomène. En tète du remous se produit une vague dont la hauteur est supérieure de moitié environ à celle du plan d'eau qui la suit; en avant de la première onde on n'ob-

A LÂCADÉMIE DES SCIENCES. xi

serve aucun signe précurseur de son arrivée; en arrière, leau est animée d\ine certaine vitesse dans ie sens du mouvement de propagation.

Lorsque la profondeur est considérable , la première onde a une forme régulière et allongée; si la profondeur vient à diminuer, elle devient plus courte, plus aiguë au sommet, s'incline en avant, et o&e une tendance au déferlement, qui se produit enfin lorsque la profondeur cesse de dépasser la hauteur de la vague. La vitesse de propagation est encore donnée par la formule

h étant la hauteur au-dessus du plan d'eau primitif de la vague qui marche en tète du remous; néanmoins, quand le déferlement a lieu , la formule donne des vitesses trop faibles.

On peut se rendre compte du déferlement de la manière suivante : à mesure que la profondeur diminue , là vitesse de propagation diminue elle-même; elle finit par devenir insuffisante pour que, le débit restant constant, la masse d*eau affluente trouve place derrière elle; Tonde surélevée qui marche en tète du remous se déforme, sa base s'amoindrit, sa crête devient plus aiguë et s'élève : or nous avons vu qu'une onde ne peut se maintenir qu'autant que sa hauteur est inférieure à la profondeur de l'eau dans laquelle elle se propage; elle se brise donc enfin, et se résout en une baiTe d'écume poussée en avant par la masse d'eau qui la suit.

M. Bazin montre ensuite que ce phénomène devient imminent lorsque la vitesse U du courant, capable de fournir le débit q sur l'unité de largeur et sur la profondeur H du canal , dépasse la vitesse d'un corps pesant tombant d'une hauteur égale à cette profondeur.

U reste à déterminer la vitesse de propagation V que prend le remous pour un débit 9, dans un canal renfermant de l'eau stagnante d'une profondeur H. Cette vitesse étant

il s'agit d'exprimer h, hauteur de la vague qui marche en tête du remous , en fonction du débit : il arrive h l'équation du troisième degré

en prenant -f pour le rsipport entre la hauteur de la première vague et

rf-

XII RAPPORT

la hauteur du plan d*eau qui la suit, que lui donne Texpérience avec une exactitude suffisante.

Il montre enfin par des calculs numériques que lorsque TTrû ^^

inférieur à 0,70, Téquation du troisième degré peut être remplacée par la formule très-simple

Dans le chapitre III, M. Bazin traite le cas du remous qui se produit dans un canal dont on arrête Técoulement par rabaissement subit d*une vanne. L*eau s*2lève contre l'obstacle, perd sa vitesse de translation et forme obstacle au mouvement de Teau affluente, qui s*élève à son tour, et ainsi de suite. L'intumescence produite par Teau devenue stagnante se propage vers lamont avec une vitesse uniforme, en conservant son niveau. M. Bazin, après avoir décrit les expériences de Bidone sur ce sujet, développe les résultats des expériences faites par M. Darcy et par lui sur une beaucoup plus grande échelle. Il remarque que le remous , en s avançant vers Tamont, présente une onde à surface arrondie, dont la hauteur dépasse le plan d'eau qui s'établit en arrière , lorsque l'agitation qui succède à cette première onde s'est calmée.

Il constate d'abord que la formule de M. Scott Russell se vérifie encore dans ce cas, en prenant pour hauteur h celle de l'onde plus élevée qui précède les autres à la naissance du remous. Mais pou(* arriver à la valeur numérique de la formule

il faut connaitre h; or h est dans un rapport que donne l'expérience avec l'élévation du plan d'eau stagnante qui s'établit après le passage du remous et qui elle-même dépend de la vitesse U du courant. On arrive ainsi, pour la détermination de la vitesse de propagation, à une équation du troisième degré, dont la racine réelle est donnée approximativement par la formule trèsrsimple

V=— JU+y/p

Il est à remarquer que cette valeur de V peut se déduire de la forjmuie du chapitre précédent en retranchant U du, second membre, ce qui indique que les phénomènes étudiés dans ces deux chapitres sont régis

A L ACADÉMIE DES SCIENCES. xiii

par la même ioi, et peuvent être ramenés iun à l'autre, en imprimant un mouvement relatif à f observateur.

M. Bazin aborde ensuite un cas plus compliqué, celui où ie courant dont on interrompt le cours a lieu sur un fond légèrement incliné ; le fait principal qu'il observe est que dans ce cas la surface de Veau , après le passage du reinous, nest pas parfaitement horizontale, mais affecte upe courbure tournant sa concavité vers le haut.

Le quatrième chapitre traite le cas où , dans un courant établi , on en projette un second; cestle cas dun fleuve dans lequel remonte la marée, du qui se gonfle par suite de laccroissement subit du débit d'un affluent. M. Darcy en a fait, en iSSy , Tobjet de plusieurs séries d'expériences, complétées en iSSg par M. Bazin. La prise d*eau supérieure entretient dans la rigole un courant déterminé, réglé par un barrage situé à liSo mètres en aval. Une deuxième prise deau voisine de. ce dernier verse dans le premier courant un second dont on règle le débit à volonté et que nous nommons le courant d^ aval, par opposition au premier, que nous nommons le coarant d'amont Soit Q le débit de celui-ci, Q' le débit de celui-là. Si Q' est très-petit par rapport à Q, le courant daval sera emporté par le courant d*amont, il ne s'en formera pas moins un remous se propageant vers lamont, mais formé par les eaux mêmes du courant d'amont; une partie q du débit Q sera employée à produire ce remous. Si q s'accroît successivement jusqu'è devenir Q, le courant d'amont est complètement arrêté, l'eau devient stagnante dans toute la partie parcourue par le remous , et les eaux seules du courant d'aval s'écoulent par-dessus le déversoir. Si Q' continue de s'accroître, une portion ^ de ce débit remontera vers l'amont, le surplus Q' ■— 9' s'écoulera seul par le déversoir.

Les nombreux tableaux du chapitre IV reproduisent tous les détails des phénomènes compliqués qui se produisent dans ces conditions pour des débits différents du courant d'amont ou du courant d'aval et pour différentes profondeurs du canal.

On constate d'abord que , sauf le cas où l'onde déferle ou remonte le courant avec une vitesse très-faible, les formules établies plus haut se vérifient d'une manière satisfaisante. Elles contiennent, comme on sait, la hauteur h de Tonde qui marche en tête du remous. Dans le cas où l'on aurait à prévoir la vitesse de propagation que produirait un courant secondaire venant à l'encontro du courant principal , il faut expri-

XIV RAPPORT

mer h en fonction du débit q de cet affluent. La solution est donnée par une équation du troisième degré , dont la racine applicable à la question est exprimée avec une approximation suffisante par la formule

U étant la vitesse du courant principal et U la vitesse qui, pour une profondeur H, débiterait le volume q.

On sait que Tonde commence à déferler lorsque sa hauteur s approche d'être égale à la profondeur du canal. M. Bazin en déduit que ce

phénomène devient imminent lorsque U -«- U' dépasse t/a^H.

Un dernier chapitre est consacré à Tétude du mascaret. Ce phénomène, déjà si remarquable dans la Gironde et dans la Seine, atteint, comme on sait, les proportions les plus imposantes à fembouchure du Gange et du fleuve des Amazones. M. Bazin en décrit les circonstances priiicipales, et rappelle les explications proposées par différents auteurs ; il «adopte sur ce point lopinion de Brémontier, développée depuis par notre ingénieux confrère M. Babinet, et à laquelle tous les hydrauliciens paraissent aujourd'hui ralliés. Mais M. Bazin va plus loin, les lois quil a établies sur la propagation des remous lui permettent danalyser tous les détails du phénomène et de donner des chiffres qui en précisent les circonstances. Il prend pour exemple un fleuve formant, à partir de la mer, un canal régulier de 2 mètres de profondeur; les eaux s écoulent avec une vitesse de 1 mètre dans la mer au moment de la marée, qui s'élève de a "",60 par heure, soit de o'",2 0 par chaque intervaUe de cinq minutes. Il suppose seulement que cet exhaussement, au lieu d'être continu, se fait brusquement par tranche de o",qo. La première va donner lieu à une onde qui se propagera avec la vitesse

y/jx 2,2 — 1 = 3",64

L'eau du fleuve s'écoulant sur une section accrue de o",2 0, la vitesse se réduit, et le débit primitif de 2 mètres par seconde, diminué du débit nouveau qui a lieu sous l'influence de cette vitesse réduite , doit être égal précisément à l'accroissement du volume du remous qui est égal à sa vitesse 3°,64 multipliée par la hauteur du remous o",2o. On trouve ainsi que la vitesse de 1 mètre se réduit à o"*,58. A l'arrivée d'une seconde tranche de o"*,2 0 elle ne sera plus que de o"i 7 , mab la vitesse de propagation de la nouvelle onde s'élèvera à 4",27 , à cause de la pro-

A L'ACADÉMIE DES SCIENCES. xv

fondeur accrue et de la diminution de la vitesse du courant. Après un nouvel intervalle de cinq minutes, une nouvelle onde remonte avec une vitesse de 4",88. L'eau du fleuve à sa suite a entièrement perdu sa vitesse primitive ; elle commence à remonter vers Tamont, et Télévation progressive du niveau commence à se faire aux dépens des eaux affluant de la mer. On voit comment les ondes qui se succèdent vont en s accélérant : les premières seront donc successivement atteintes par celles qui les suivent ; la rencontre des deux premières aura li^u à 7,400 mètres de Tembouchure; leur hautem* sera de o",4o et leur vitesse

mais à ce moment la troisième onde ne sera qu'à 600 mètres en arrière, elle rejoindra en quelques minutes la tête du flot dont la hauteur s'élèvera à 0^,60 et la vitesse à

On voit comment l'arrivée successive de petites ondes élémentaires produit, au bout d'un certain temps, une onde unique résultant de leur réunion, qui peut s'élever à une hauteur considérable. Tant qu'elle se propage dans une profondeur suflisante , elle conserve sa figure allongée et ne déferle pas; mais si elle rencontre un haut fond et que sa hauteur s'approche d'égaler la profondeur du chenal, elle s'écroule en une masse écumeuse et donne alors naissance au mascaret proprement dit.

La nature ne présente jamais la régularité des données sur lesquelles nous venons de raisonner ; cependant elle s'en rapproche quelquefois assez pour qu'on puisse trouver dans les faits naturels un contrôle suffisant de la théorie : c'est ce à quoi parvient M. Bazin, à l'aide d'expériences sur le mascaret de la Seine, extraites d'un travail fait en iStïS par M. Poirée^ et en i&56 par M. Partiot. L'état des eaux du fleuve était à peu près le même à ces deux époques, mais les travaux d'endiguemerit exécutés dans cet intervalle apnt accru de plusieurs mètres la profondeur du chenal , M. Bazin constate que la vitesse du flot V s'est accrue dans les proportions qu'indique la formule

v=y/^ânT)-u

On voit que la vitesse du flot, qui augmente avec la profondeur du chenal, diminue quand la vitesse du courant descendant augmente. Si