INTRODUCTION

La plupart des travaux dont la théorie de l'élasticité a été l'objet se bornent à étudier des corps dont les déformations sont extrêmement petites, soit que leurs divers points matériels demeurent immobiles, soit qu'un mouvement de très faible amplitude les anime.

La limite qui restreint ainsi les problèmes étudiés ne constitue pas une entrave gênante lorsqu'on se propose seulement d'analyser les modifications des corps très peu déformables auxquels on réserve le nom de solides élastiques; mais elle rend inutilisables les résultats obtenus par le théoricien, lorsque celui-ci se propose d'étudier ces corps mous ou pâteux qui forment la transition entre les fluides et les solides; il est alors indispensable de formuler des lois applicables aux milieux qui ont subi des déformations finies.

G. Kirchhoff*(') et M. J. Boussinesq (^) nous ont fait connaître les

(*) G. KiRCiinoFP, Ucher die Gleichurigen des Gleichgewichtes eines elastisc/ien Kôrpcrs hci nicht u/tendlich kleincn Ferschiebungen seirier Theile {Sitzungsberichtc der mathematisch naturwixxenschaftlichen Classe der Akademie der fFùsenschaften, Bd.IX, S. 762. Vienne i852). Cet écrit n*a pas été réimprimé dans les Abhandlungen de G. Kirchhoff.

(«) J. Boussinesq, Théorie des Ondes liquides périodiques, ^oKe III (Mémoires présentés par divers savants à l'Institut do France, t. XX).

lois qui président à l'équilibre de semblables milieux, du moins lorsque leurs éléments sont simplement soumis à des actions newtoniennes. Il était intéressant d'étendre leur analyse au cas beaucoup plus général et insoupçonné avant nos recherches sur la Mécanique des fluides (*), où les masses élémentaires qui composent le milieu sont soumises à des actions non newtoniennes ; le présent Mémoire apporte ce complément aux recherches de nos illustres prédécesseurs et met en évidence, dans le cas où les actions ne sont pas newtoniennes, l'existence de couples élémentaires auxquels les actions newtoniennes ne sauraient donner naissance.

Les lois du mouvement de milieux affectés de déformations finies se tireraient des lois qui président h leur équilibre au moyen du principe de d'Alembert, si les milieux étudiés n'étaient affectés d'aucune viscosité; mais les corps mous et pâteux, qui offrent à cette analyse ses plus intéressantes applications, sont, en même temps, dans la plupart des cas, des corps très visqueux; il serait illusoire d'en étudier les mouvements si l'on devait faire abstraction de leur viscosité.

Nous sommes donc naturellement conduits h préciser les lois auxquelles obéit la viscosité au sein de milieux élastiques.

Ce problème n'a tenté jusqu'ici, à notre connaissance, que les efforts d'un seul analyste, M. Oskar Emil Meyer (^). Mais les recherches de M. Meyer se sont bornées aux mouvements très petits d'un corps isotrope à la fois élastique et visqueux; en outre elles reposent sur certaines hypothèses moléculaires que nous nous gardons toujours d'invoquer. Il y avait donc lieu de créer les formules qui régissent les actions de viscosité au sein de milieux élastiques affectés de déformations finies. C'est l'un des principaux objets du présent Mémoire.

Ces formules nous ont permis d'obtenir certains résultats; en particulier, elles nous ont permis d'étendre à tous les milieux élastiques visqueux, qu'ils soient vitreux ou cristallisés, une proposition que

(«) Le potentiel thtrmodjrntimique et la pression hydrostatique {Annales de l'École Normale, V série, t. X, 1893, p. i83).

(«) O.-E. MBrER, Zur Théorie der inneren Reibung {Borchardt's Journal fur die reine und angewaidte Afathematik, Bd. LXXVUI, 1874, p. i3o).

nous avions déjà démontrée pour les fluides visqueux : Les seules ondes qui puissent persister en un milieu visqueux sont des ondes sans propagation, qui séparent sans cesse les deux mêmes portions du milieu.

D'ailleurs, l'emploi de méthodes semblables à celles dont nous avions fait usage dans l'étude des fluides nous a permis de donner, de la propagation des ondes au sein des milieux élastiques non visqueux, une analyse qui ne laisse place à aucun cas d'exception.

Les milieux que nous avons étudiés ont toujours été supposés dénués d'hystérésis; la possibilité des déformations permanentes a donc été exclue, ce qui restreint la généralité de notre analyse et la portée expérimentale des résultats obtenus. Mais les formules cinématiques qui nous ont permis d'étudier la viscosité des milieux élastiques nous permettront également d'étendre à de tels milieux les principes de notre théorie des déformations permanentes.