ha.t

On sait, d'autre part, que la vitesse F est donnée par la formule V = K -^Z 2 g h; qu'en outre, une colonne d'air froid H, en passant de 0° à t°, prend une hauteur //"( l-\-ctt),

et une densité : en réduisant cette nouvelle hauteur à

la densité «T, elle deviendra H(l-i-cLt) ^ "^'^ ■ = -r- = ^ ^ ;

donc, si l'on en retranche la colonne de gaz brûlé H, on aura

h = -ff = — ( 1-4- CL ^ — A; ) et par suite :

V^K 1/ 2 g- IL (t-i-cLt- A) (3).

Éliminant «Tel F des relations (l), (2) et (3), il viendra

OU, en faisant disparaître le radicai,

De la température qui correspond au maximum de puissance d'un foyer quelconque.

§ 19. Telle est I équation finale dont nous allons déduire d'abord cette conséquence remarquable que, pour un foyer de grandeur et de nature déterminées, ^a combustion est arrivée à son maximum de vitesse, quand les gaz brûlés s'échappent à ïa température moyenne d'environ 300°.

En effet, si l'on différencie par rapport à ?/ et à t, on aura :

2?/(l-v-a0- — -1-2ay2(l-»-ctO— ^ ^K^B^gHa = 0; dt

dy . , ■, y , or, pour que — soit nui , c est-a-dire pour qu on puisse avoir

un maximum, il faut nécessairement qu'on satisfasse à la condition

?y2(l -4-ctn— A K^B^gH=0.

Cette équation renferme les deux variables ^ et ^; mais comme on a simultanément l'équation (4), il vient, en éliminant y :

2a — (l-Haz) = 0,ou/ = .

La deuxième dérivée —, exprimée en fonction de t seu-

iement, reste négative pour toute valeur positive de t comprise entre 0 et 00; donc / — — ^ correspond réellement à un maximum de tj, qui sera donné par

La relation ( 2 ) donne en même temps :

~ l-t-cti~~2A """2'

c'est-à-dire que ie foyer atteint son maximum de puissance

quand les gaz brûlés s'échappent avec une densité égale à la

moitié de celle de l'air extérieur.

Pour avoir une valeur numérique de t, il suffit de faire une

hypothèse sur A; si l'air sort demi-brûlé, on aura: A =

flff^ = 1,04, et par suite,

S'il est complètement brûlé , A = rrrrl = 1,079, et

Ainsi , on peut conclure en général qu'au delà comme en deçà de 300°, on est dans des circonstances moins favorables pour que i'air froid vienne frapper le combustible avec une grande vitesse.

Loi de l'afFaiblisseinent de cette puissance quand la température varie,

§ 20. Mais conserver une température constante aux gaz brûlés, c'est chose impossible dans un four à chaux : la température y augmente bien au delà de la chaleur rouge, et arrive à 600, peut-être même à 800 degrés. Il est donc d'un haut intérêt de connaître combien le foyer perd alors de sa puissance.

Pour cela , reprenons l'équation ( 4 )

appelons P la valeur maximum de y trouvée précédemment, c'est-à-dire posons : P = — ^ V ^ g H ; il viendra : 4 P' = 2 Br g H, et par suite ,

( 1 -H a < )2 — 4 P2 A ( 1 -h a « — A ) = 0. Cette équation , considérée géoroétriquement, représente une

courbe symétrique par rapport à l'axe des t, et rencontrant ceE axe à une distance de l'origine des coordonnées marquée par

Afin de simplifier les calculs, rapportons l'origine des coordonnées à ce point d'intersection , et pour cela posons :

notre équation générale deviendra alors ou', faisant — = A*,

d'où l'on tire enfin :

Ainsi donc, connaissant le maximum de la puissance d'un foyer, cette formule donnera immédiatement les variations correspondantes à une valeur quelconque de x; mais afin de généraliser la question , on peut prendre P pour unité, et considérer seulement les valeurs relatives de 7j. C'est de cette manière que nous avons calculé le tableau suivant, en supposant toutefois que l'air reste constamment demi-bmlé; de

sorteque A^ = — = — ^^^ = 27 7,3,etî/=:33,3

Valeur de X.

/lOO

Valeurs relatives dey.

Pour faire saisir d'un seul coup d'œil la loi de ces variations, nous avons représenté graphiquement (fig. 1") les valeurs de X et de î/ ; et nous avons fait passer ime courbe continue par les extrémités des ordonnées.

On reconnaît alors que lu puissiince du foyer augmente îrès-rapidement, à mesure que les gaz bi ùiës s'échappent à une température moyenne plus voisine de x — 277", ou de t =z 27 7-4- 1 1 = 28 8°; mais qu'au delà de ce terme, elle diminue au contraire très-lentement, et qu'il ne faut pas moins de 700" de température pour que i'afTaiblissement soit de -~ du maximum. Telle est donc à peu près la marclie qu'on suit dans un four à chaux. Ce qu'il importait en outre de constater, c'est que, par l'effet des hautes températures, la durée de contact d'un poids donné de gaz avec le calcaire augmente plutôt qu'elle ne diminue (§13).

Limites de la même puissance quand on fait varier la nature et la grandeur

du foyer.

521. La valeur maximum P = — y' 2^'// contient des indéterminées qui varient suivant la nature et la grandeur du foyer; cherchons ce qu'elle devient, et d'abord, si elle est susceptible de quelque limite.

B peut être remplacé par ^ .w Z)" = 0,7854 x D' ; 1/2^ par y/ i9,G2 = 4,43 ; donc déjà

p= 1,739 X aV ///)' (5).,

Ensuite , si l'on borne à l'hypothèse de l'air complètement brûlé, les valeurs précédemment indiquées pour K ne seront modifiées que dans leur coefficient numérique, et deviendront :

Pour des parois en terre cuite. A'i = 1,982 1 / ;

Idem en tôle A'2 = 3,126

Idem en fonte A3 = 4,435

Reportant successivement A',, et a la place de K dans l'équation f 5 ) , on aura

Pi — 3,447 /

P'2 — 5,430 Vd^ :

L ^ \0 D -jT

If H

Cela posé, si le caliial d'écoulement contient quelques circuits, ou portions inclinées , sa longueur L ne sera pas égale à sa hauteur H; néanmoins l'influence des circuits diminuera à mesure que H augmentera ; et enfin quand H deviendra infini,

on aura - = 1 , en même temps que — , — ,. — 0 ; de sorte que les radicaux disparaîtront , et qu'il restera :

Pi = 3,447 Vd^ ;

p3 = 7,702 Vn^.

Telles sont donc les limites vers lesquelles on converge. Mais , pour mieux fixer les idées , posons D=l ; rappelons que P, en général, exprime le poids de gaz qui s'échappe par seconde, et que l'' de charbon fournit IS*", 62 d'air complètement brûlé : nous aurons pour le maximum de combustible consommé dans une heure, par exemple,

Avec des parois en terre cuite. . x 3600 =9I1'',0 ;

Idem en tôle. x 3600 = 1436,7 ;

/t/em en fonte x 3600 = 2035,6.

Pour passer ensuite de ces nombres à ceux qui conviennent pour tout autre diamètre, il suffira de les muhipher par la racine carrée de la 5* puissance de ce diamètre. Il faut remarquer

cependant que la conversion plus ou moins complète de l'oxîgène de l'air en acide carbonique a une grande influence sur tes limites que nous venons de calculer; car, en opérant de la même manière dans Thypothèse de i'air demi-brùlé, on ne trouve que 481^,6, 759,9, 1078,0; nombres qui difïèrent beaucoup des précédents.

De la loi suivant laquelle on converge vers ces limites.

§ 22. Examinons en dernier lieu si l'on converge rapidement vers ces mêmes valeurs, ou autrement dit, si la grande hauteur ties cheminées a réellement toute l'efficacité qu'on lui suppose assez souvent.

Reprenons, pour cela, les Formules qui donnent Pt, P2 et P3; faisons abstraction des circuits que pourrait présenter le canal d'écoulement, en posant ^= 1; exprimons ensuite la

hauteur en fonction de diamètre, c'«st-à-dii e posons H =■ H' il viendra alors évidemment :

Pi—pix =rrrr:

Pi=p3y. ■

Chacune de ces formules se compose de deux parties ; f une qui ne dépend que du diamètre, et l'autre que de H' : on peut donc regarder la première comme un facteur constant, et s'arrêter à la seconde, qui donnera des valeurs relatives de PtjPi et P3, quand on fera varier //'. C'est ainsi qu'a été calculé tableau suivant.

î Valeurs de //,.

Valeurs relatives de

V'a leurs relatives de

0,/ilO

Valeurs relatives de /',.

Nous donnons en même temps (fig. 2) ia représentation graphique de ces valeurs, afin qu'on suive plus aisément leur îoi de variation.

Ainsi donc la nature des parois influe singulièrement sur la hauteur qu'il convient de leur donner. Quand elles sont en terre cuite, c'est-à-dire dans celui des trois cas précédents qui a le plus d'analogie avec les fours à chaux , on voit qu'à 8 diamètres de hauteur, par exemple, on atteint les de l'effet maximum ; qu'à 1 6 diamètres on ne gagne qu'une simple différence de -p^; qu'enfin pour doubler cette différence il ne faudrait pas moins de 100 diamètres. Quelle que soit l'influence de la vitesse du tirage sur la combustion , elle ne peut être un motif suffisant pour élever les parois à une aussi grande hauteur ; au besoin , il vaudrait mieux y suppléer par l'accroissement du diamètre lui-même, qui se trouve à la puissance -j dans le facteur constant au moyen duquel on passe des valeurs relatives aux valeurs absolues de Pi, et P3

De la direction de l'axe du four.

§ 23. Jusqu'à présent nous n'avons pas tenu compte des modifications qu'éprouverait le courant de gaz brûlés, si, au lieu d'être sensiblement constante dans toute la hauteur du canal, la température baissait suivant une progression rapide;

1 Si l'on voulait tenir compte des difTe'renccs entre L et H , il faudrait , à la rigueur , construire une courlic pour chaque cas particulier ; mais les trois

vl si ce canal, au lieu d'ctre cylindricjue vertical , était incline , rétréci supérieurement , ou évasé dans l'intervalle des orifices extrêmes. Tel est le sujet qui va nous occuper; mais n'ayant <l'autre application en vue que celle des fours à chaux, nous ne chercherons point k généraliser les conséquences.

Et d'abord, le four ne pouvant avoir qu'une faible hauteur de charge, la direction verticale est la plus convenable pour son axe. En effet, la pression génératrice du tirage dépend de la différence de niveau entre les orifices extrêmes , et non pas de leur distance réelle. Si l'axe était incliné, il en résulterait une diminution de tirage d'autant plus grande que le rapport fj, employé dans les formules précédentes, s'écarterait davantage de l'unité. On y remédierait, sans doute, en construisant une cheminée, comme dans les fours à réverbère, à l'extrémité de la partie inclinée; mais il faut remarquer d'autre part que les tassements, inévitables dans une masse calcaire soumise à la calcination , obstrueraient le passage de la flamme vers la paroi inférieure, et l'agrandiraient au contraire vers la paroi supérieure. De là un chauffage inégal dans une même section perpendiculaire au courant.

Des fours à parois cylindriques.

§ 24. Cela posé, quand le canal d'écoulement est tout à fait libre, les gaz ne perdent d'autre chaleur que celle qui est nécessaire pour échauffer les parois , et , comme ils sont mauvais conducteurs du calorique, ils ne se refroidissent que par

précédentes suffisent de'jà pour donner une idée des modifications à introduire , dans l'hypothèse des parois en terre cuite. Elles s'appliquent alors :

La première, comme auparavant , au cas des parois verticales ;

La deuxième , au cas où l'excès de L sur H serait e'gal à 6 fois le diamètre ;

car alors L=^^-+- G />, et par suite 1/ é^-1-JL:^ = l/ 1 -f- 1^ ;

La troisième , au cas oïi le même excès serait égal à 16 fois le diamètre i

car alors i=jy-M6Z>, etl/^-H — =l/ 1 -h?^.

Its conciles les pîus extérieures, de sorte que la température reste à peu près constante, surtout si le canal a un grand diamètre et si les parois sont en maçonnerie compacte. Mais dans un four rempli de pierres calcaires, il n'en est plus de même : les points de contact avec les gaz sont multipliés indé- Tmiment, et rendent la progression du refroidissement trèsrapide. Les parois étant alors cylindriques dans toute leur hauteur, nous allons faire voir qu'il en résulte un superflu toujours croissant de section d'écoulement, superflu nuisible à l'uniformité du chauflage.

En quelque point du four qu'on les considère, les gaz chauds n'en sont pas moins soumis à la pression barométrique ordinaire. Pour faire équilibre à cette pression, il faut qu'ils se contractent à mesure qu'ils se refroidissent, de manière à conserver une élasticité constante. S'ils pouvaient encore s'écouler à pleine section, il faudrait donc que leur vitesse diminuât de plus en plus, depuis la base jusqu'à l'orifice supérieur; or, c'est ce qu'il est impossible d'admettre. En eflet, toutes les tranches horizontales et inégalement chaudes dans lesquelles on peut concevoir le courant décomposé sont, pour leur vitesse, subordonnées les unes aux autres. Les plus voisines de la base, c'est-à-dire les plus chaudes, celles qui, prises isolément, jouiraient de la plus grande force ascensionnelle , tendent naturellement à s'échapper dans la direction qui leur oppose le moins de résistance, et par conséquent dans la même que les tranches superposées, quel que soit d'ailleurs l'espace iibre environnant; car l'air atmosphérique contenu dans cet espace ne saurait être déplacé et mis en mouvement sans une perte de force vive, perte qui n'aura pas lieu au même degré, à beaucoup près, dans la direction tracée par des tranches de gaz déjà douées d'une certaine force ascensioimelle. L'écoulement étant ainsi limité comme par des parois fixes, la vitesse sera un peu retardée d'un côté, un peu accélérée de l'autre, et deviendra définitivement uniforme dans toute la hauteur du four. Les sections nécessaires pour un même poids

i\e gaz aux températures t et t' , par exemple, seront donc proportionnelles aux volumes correspondants de gaz, et si B représente la base du four, t la température initiale, il ne faudra, pour l'autre température t', que

B' = Bx