CHAPITRE I". Règles générales des probabilités , page 3o

Définition de la probabilité d'un événement. Différence que l'on peut mettre entre les mots chance et probabilité. Mesure de la probabilité. Objet du calcul des probabilités. Démonstration des premières règles de ce calcul; exemples de leur application (**), n"' i à i3

Formules relatives à la répétition des événements dans une série d'épreuves. Solution du problème des partis. Solution d'un autre problème , fondée sur le dé- • veloppement d'un polynôme élevé à une puissance donnée. Note sur un cas de chances variables pendant les épreuves. Probabilité d'amener m boules blanches et n boules noires , en tirant à la fois m -f- « boules , d'une urne qui contient des boules noires et des boules blanches, en proportion connue , u"" i4 à 19

(*) Le nom de l'auteur anglais, cité à la secoude page est mal écrit; il faut lire Bafes au lieu i Blayes.

',**) Par inadvertance, l'ordre des numéros va de u à i3, et il n'y a pas de n» 12,

jj TABLE DES MATIERES.

Règle générale pour déterminer la probabililë des événements composes , quand les chances des événements simples varient d'une manière quelconque pendant les épreuves, n" 20

Application du calcul des probabilités à la détermination des avantages attachés à l'arrivée des choses éventuelles. Calcul des diverses chances de la ci-devant loterie royale de France. Préjugés, contraires et également mal fondés, des joueurs sur la sortie des numéros. Ce qu'on entend par Yespérance mathématique et par Yespérance morale. Explication d'une difficulté relative à la règle de l'espérance malhénjatique, n°' 2i à aS

Quand il existe une chance inconnue , qui favorise l'arrivée de l'un des deux événements contraires E et F, sans qu'on sache lequel, cette circonstance augmente toujours la probabilité de la similitude des événements dans deux ou un plus grand nombre d'épreuves, n° 26

CHAPITRE II, Suites des règles générales; probabilités des causes et des événements futurs , déduites de fobsen>ation dcà événements passés. Page 79

Signitication que l'on attache au mot cause et au mot hasard , dans le calcul des probabilités. Règle pour déterminer les probabilités des diverses causés possibles d'un événement observé. Remarque sur l'application de cette règle à des événements successifs. Règle pour déterminer, d'après les événements observés, les probabilités d'autres événements qui dépendent des mêmes causes; ce qui ne suppose, toutefois, aucune influence de l'arrivée des événements passés, sur celle des événements futurs. Application de ces deux règles à des exemples particuliers, n" 27 à 33

Extension de ces mêmes règles aux cas où l'on a, sur les événements, quelques notions antérieures aux observations; exemple propre à montrer la nécessité d'y avoir égard , n°' 34 et 35

Formules relatives à la probabilité des témoignages. Cas où il s'agit seulement de savoir si un fait est vrai ou faux, quand il est attesté ou nié par un ou plusieurs témoins. Cas où plus de deux événements ont pu avoir lieu, et où l'arrivée d'un évéïiL-ment déterminé est attestée par un témoin. Théorème relatif à la probajiilité d'un événement, dont la connaissance nous parvient par une chaîne traditionnelle de témoignages , ' n°' 36 à 4o

Lors([u'un très grand nombre d'événements sont possibles, et qu'ils ont tous, à priori , des probabilités égales et extrêmement faibles , on fait voir que l'arrivée de l'un de ces événements , parmi ceux qui présentent quelque chose de remarquable, doit être attribuée très probablement à une cause particulière C, autre que le hasard, et analogue, par exemple, à la volonté humaine. Si les événements remarquables étaient, avant l'observation, beaucoup plus probables que les autres, la probabilité de l'iatçrvenlion d'une cause C est beaucoup affai-

TABLE DES MÀTIÈREà. aj

i blie , et elle peut l'être assez pour qu'il soit inutile d'y avoir aucun égard ,

n" 4* et 42

Transformation en intégrales définies , des formules relatives aux probabilités des causes et des événements futurs, lorsque le nombre des causes possibles est infini. On peut ne pas considérer les causes communes aux événements passés et aux événements futurs , et regarder , les uns et les autres , comme des événements composés, dépendants d'un même événement simple G, dont la chance inconnue est susceptible d'une infinité de valeurs, n°' 4^ ^ 4^

Application de ces intégrales au problème où l'événement G, étant arrivé /» fois, dans m-{r,n jépreuvres, et l'événement contraire H, les n autres fois, on demande la probabilité ([u'ils arriveront respectivement m' fois et 11 fois dans m'-j-n épreuves futures. Cas où l'on sait, à priori , ([ue la chance inconnue de d s'écarte fort peu d'une fraction donnée, u°' 40 a 4"

Énoncé du théorème de Jacques Beinouilli, sur la répétition des événements, dans un très grand nombre d'épreuves , en raison de leurs chances respectives, connues ou inconnues, mais supposées constantes. Application .1 un exemple tiré de V Ariihméiique morale , de Bnflon. Indication de la démonstration du théorème, fondée sui' la formule du,binome, n" 49 ^ ^'

Énoncés de trois propositions générales, qui seront démontrées dans le chapitre IV, et qui se rapportent à la répétition des événements dont les chances varient d'une manière quelconquà pendant les épreuves. On en déduit la loi générale des grands nombres, déjà vérifiée dans le préambule. Cette loi est comprise dans deux équations qui sont la base de toutes les applications importantes du calcul des probabilités, • n"' 52 à 54

Application de la première équation à des exemples. Différence essentielle entre les usages de la chance constante et ceux de la chance moyenne des événements, déduites, l'une et l'autre, de l'observation. Proportion constante des naissances masculines et féminines. Rapports qui doivent exister entre les similitudes et les dissimilitudes de sexe, des premiers nés d'un même mariage, n°' 55 à 59

On indique, comme application de la seconde équation, le calcul des erreurs moyennes des observations, celui de la vie moyenne à différents âges , celui de l'influence des vents sur les hauteurs des marées, u°' 00 a 0?.

Digression sur le principe de la causalité.. Héfiitafiou de l'opinion de Hume sur le simple concours de la cause et de V effet. On fait voir que l'existence d'une cause

, capable de produire nécessairement un phénomène , peut avoir une très grande

} probabilité, quoique celui-ci n'ait été observé qu'un petit nombre de fois,

n°' 63 et 64

Probabilité de l'existence ou de la non-existence, d'une cause permanente de certains phénomènes, qui se combine avec des causes variables et avec le hasard, et ne produit pas constamment ces phénomènes. Ce qu'on doit entendre au jeu, par les mois bonheur et malheur, ^° "^

iv TABLE DES MATIÈRES.

CHAPITRE III. Calcul des probabilités qui dépendent de très grands nombres. ( Cas des chances constantes pendant les épreuves. )

Page 172

Nécessité de recourir aux luélliocles d'approximation, pour calculer les valeurs des produits d'un très grand nombre de facteurs inégaux. Méthode de Laplace pour réduire en séries convergentes, les fonctions de grands nombres, exprimées préalablement par d-es intégrales définies. Application de cette méthode au produit I .2.3. . ./i des nombres naturels. Formule de Wallis, n"* 66 à 68

Probabilité des arrivées m fois et n fois, des deux événements contraires E et F, dans un très giand nombre m + n d'épreuves. Diminution de cette probabalité, lorsque les chances constantes de E et F, au lieu d'être données à priori , ont été conclues d'un autre grand nombre d'observations. Exemple d'un cas particulier où les chances de ces deux événements varient pendant les épreuves,

Transformation d'une partie de la formule du binôme , en une autre formule convertible en une intégrale définie. Application de la méthode de Laplace à cette intégrale. Formules qui déterminent la probabilité que dans le nombre m -\- n d'épreuves, l'événement E arrivera au moins m fois, et l'événement contraire F au plus n fois. Probabilité que ces nombres /n et 71 seront compris entre des limites, à très peu près proportionnelles aux chances respectives des deux événements. Probabilités que l'un de ces nombres n'atteindra pas l'une ou l'autre de ces deux limites, n°'73à79

Les formules précédentes conduisent au théorème de Jacques Bernouilli , énoncé dans le n" 49- Cas où la chance de l'un des deux événements E et F est très faible. Probabilités d'une différence des nombres m et n, comprise entre des limites données, soit quand les chances de E et F sont égales, soil quand elles sont inégales. Part du hasard dans le très grand nombre m-\-n des épreuves,

Probabilité de limites comprenant la chance inconnue de l'événement E, d'après le nombre de fois que cet événement est arrivé dans un très grand nombre d'épreuves. Probabilité infiniment petite que cette chance soit précisément égale à une fraction donnée. On conclut de cette dernière probabilité, celle d'une événement futur, composé de E et de l'événement contraire F. Application à différents exemples, de la formule à laquelle on est conduit. Probabilité que l'événement E qui est arrivé m fois dans m -}- n épreuves , aura lieu m' fois dans un autre très grand nombre m' -\-n' d'épreuves; expression de cette probabilité correspondante à

une différence donnée entre les rapports — -r— et — t;t — ? î comparaison des

chantes de deux événements différents , qui sont arrivés des nombres de fois connus dans des nombres d'épreuves aussi donnés. Application numérique des

TABLE DES MATIÈRES. y

formules précédentes à l'exemple cité dans le n° 5o , et tiré des œuvres de Buffon, n"83à8q

Solution d'un problème susceptible d'une application importante. Conséquences qui en résultent relativement aux élections des députés, par un très grand nombre d'électeurs, distribués en un nombre considérable de collèges dont chacun fait une nomination , nos ^^ ^ ^3

CHAPITRE IV. Suite du calcul des probabilités dépendantes de très grands nombres. (Cas des chances variables d'une niauière quelconque, comprenant celui des chances constantes). Page 246

Transformation de la règle du n° 20, en une formule exprimée par une intégrale définie. Usage de cette formule, dans le cas d'un très grand nombre d'épreuves. Détermination de la probabilité que dans ce nombre m-^-n d'épreuves, l'événement E arrivera un nombre m de fois, compris entre des limites données. On en conclut, conformément à la première proposition générale énoncée dans le n» 53, que ce nombre m sera, à très peu près et très probablement, proportionnel à la moyenne des chances de E dans cette série d'épreuves, n°' ai à qô

Probabilité que la somme des valeurs d'une chose quelconque, qui auront lieu dans un nombre donné d'épreuves, tombera entre des limites données, soit quand le nombre des valeurs possibles sera limité, soit quand il deviendra infini. L'expression de cette probabilité en intégrales définies, s'obtiendra sous forme finie , dans le cas particulier où toutes les valeurs possibles ont une chance égale et qui demeure constante pendant les épreuves. Vérification du résultat particulier et de la formule générale, dans le cas le plus simple où il n'j a qu'une seule épreuve, ^os g, à 100

En appliquant cette formule au cas d'un très grand nombre d'observations , ou démontre le théorème énoncé dans le n" 53, et suivant lequel, si ce nombre augmente encore de plus en plus, la moyenne des valeurs de la chose que l'on considère s'approchera de même d'une valeur constante k, avec laquelle elle coïnciderait, si ce même nombre pouvait devenir infini. Cette constante .spéciale dépend de la loi de probabilité de toute les valeurs possibles ; les limites , plus ou moins probables, d'une différence Centre cette constante et la moyenne des valeurs observées dans un très grand nombre d'observations , dépendent aussi d'une autre constante h , relative à cette même loi. Détermination de ces deu.\ quantités k et h, dans les hypothèses les plus simples sur la loi de probabilité. Examen du cas où, d'après cette loi, le nombre des valeurs possibles est li'^ité, n°= loi à io3

Démonstration de la seconde proposition générale, énoncée dans le n°52(*;; ce qui

(«) En appliquant, par esemple, cette proposition géniSrale à la thérapeutique, il en résulte, ce

'*i TABLE DES MATIÈRES.

complète la démonstration , à priori, de la loi universelle des grands nombres, regardée jusque-là comme un fait d'expérience, n° io4

Règle pour déduire du résultat des observations, les limites de la diffe'rence «^ qui ont une probabilité donnée, ou, réciproquement, la probabilité correspondante à une grandeur donnée de ces limites, n°* io5 et io6

Probabilité de limites données, de la différence des valeurs moyennes d'une même chose, fournies par deux séries différentes d'épreuves. Règle la plus avantageuse pour conclure de deux ou plusieurs séries d'observations, la valeur approchée de cette chose , dans le cas où les valeurs moyennes convergent effectivement vers sa valeur exacte, c'est-à-dire, dans le cas où, pour chaque série, la constante spéciale est cette véritable valeur, n" 107 et 108

Probabilité de limites données , d'ime différence entre les rapports

et — } ; , des nombres de fois m et m qu'un même événement E aura lieu

dans m -f- n et >n"-f- n' d'épreuves, à ces nombres d'épreuves, lorsque toutes les causes possibles de E sont les mêmes dans les deux séries d'observations, quoique les chances de cet événement varient d'une manière quelconque pendant chaque série, n" 109

Solution d'un problème relatif aux inclinaisons des orbites planétaires sur l'éclip— tique, et à leurs excentricités. Solution d'un problème semblable qui se rapporte aux inclinaisons des comètes. On en conclut;, avec une très grande probabilité, que la cause inconnue delà formation des comètes, n'a pas rendu inégalement probables leurs diverses inclinaisons sur l'écliptique, non plus que les deux sens, direct ou rétrograde, de leurs mouvements. lien résulte aussi que Tînclinaison moyenne de toutes les comètes existantes , diffère probablement fort peu de celle des comètes observées jusqu'à ce jour. Note relative à des corps incandescents et eu très grand nombre, que l'on observe dans le ciel à une e'poque déterminée de l'année (*), n"' 1 10 et 1 1 1

qui est conforme il'ailleurs au simple bon sens, que si un médicament a été employé avec succès dans un très grand nombre de cas semblables, de sorte que le nombre de cas où il n'a pas réussi soit très petit par rapport au nombre total de ces expériences, il est très probable qu'il réussira encore dans une nouvelle épreuve. La médécihene serait ni une science, ni un art, si elle n'était pas fondée sur de nombreuses observations, et sur le tact et Texpérience propres du médecin, qui lui font juger de Ja similitude des cas et apprécier les circonstances esceplionnelles

(*) Il parait que ce= corps , lors de leur apparition , sont très éloignés de la terre, et à une distance où la densité de Tatmosphèrc est toul-â-fait insensible i ce qui rend ditficilo d'attribuer, comme on le fait, leur incandescence à un frottement contre les molécules de l'air. Ne pourrait-on pas supposer que le fluide électrique à Tétai neutre , forme une sort© d'atmosphère , qui s'étend beaucoup au-delà de la masse d'air ; qui est soumise à l'attraction de la terre , quoique physiquement impondérable ; el qui suit , en conséquence, notre globe dans ses mouvements? Dans cette hypothèse , les corps dont il s'agit , et, en général, les aérholites, en entrant dans cette atmosphère impondérable, décomposeraient le fluide neutre , par leur action inégale sur les deux électricités , et ce serait en s'électrisant qu'il» S'échaufferaient et deviendraient incandescents.

TABLÉ DES MATIÈRES. vij-

Tableau des formules de probabilités les plus usuelles, qui ont été démontrées dans ce chapitre et dans le précédent. Remarque relative à l'application du calcul des probabilités à un système à'équations de condition, fournies par les observations, n°' 112 et n3

CHAPITRE V. Applications des règles générales des probabilités aux décisions des jurys et aux jugements des tribunaux , page 3 1 8

On détermine les probabilités qu'un accusé sera condamné ou acquitté, à une majorité déterminée, par des jurés dont chacun à une probabilité donnée (Je ne pas se tromper, et en ayant égard à la probabilité, aussi donnée, de la culpabilité, qui avait lieu avant le jugement. Par la règle de la probabilité des causes ou des hypothèses, ou détermine également les probabilités que l'accusé, ainsi condamné ou acquitté, est coupable ou innocent, n°' 1 14 à 117

Formules relatives au cas d'un nombre quelconque de jurés, qui ont tous la même chance de ne pas se tromper, et dont la décision aura lieu ou a eu lieu, soit ;"i une majorité donnée, soit à une majorité dont le minimum seul est donné. Ou fait voir que la probabilité qu'une condamnation sera prononcée, est toujours moindre que celle de la probabilité, avant le jugement, de la cupabilité. Les probabilités de la bonté d'un jugement ne dépend, toutes choses d'ailleurs égales , que de la majorité à laquelle il a été rendu , et nullement du nombre total des jures, lorsque leur chance de ne pas se tromper est donnée à priori, ce qui n'a plus lieu quand cette chance doit être déduite , à posteriori, de la connaissance de cette majorité, n°' 1 18 à 120

Application de ces formules au cas où le nombre des jurés est très grand, ce qui rend très peu probable , qu'une condamnation sera ou a été prononcée à une petite majorité, n° i2i

Théorème relatif à un jury composé d'un nombre quelconque de jurés, dont chacun à plusieurs chances distinctes et inégalement probables, de ne pas se tromper. Exemple du calcul de la chance moyenne, quand le nombre des chances possibles devient infini, et que leur loi de probabilité est donnée. Cette chance moyenne est la même pour tous les jurés, quand ils doivent être pris au hasard sur une même liste générale. Formules qui déterminent, dans ce cas, les probabilités qu'une condamnation sera prononcée, qu'un accuse condamné est coupable, que la chance d'erreur des jurés a été comprise entre des limites données, u"' 122 à 127

Application de ces formules à un jury composé d'un très grand nombre de jures, n<" 128 à i3i

L'usage de ces formules exige, dans tous les cas, que l'on fasse une hypothèse sur la loi de probabilité des chances d'erreur des jurés. Examen de l'hypothèse de Laplace. Conséquences qui en résulteraient et qui la rendent inadmissible. L'impossibilité de faire sur cette loi, aucune hypothèse convenablement motivée, rend

vîrj TABLE DES MATIÈRES.

également impossible de déterminer la probabilité de la bonté d'un jugement isolé, d'après la connaissance du nombre des jurés et de la majorité à laquelle il a e'té rendu. Nécessité de recourir aux résultats d'un très grand nombre de jugements, pour en conclure les deux éléments spéciaux que renferment les formules précédentes, savoir, la chance u de ne pas se tromper, commune à tous les jurés pris au hasard sur une même liste générale, et la probabilité k de la culpabilité des accusés, résultante des procédures antérieures aux débats devant les cours d'assises, n"' i3ï et i33

Probabilités que la différence entre le rapport, fourni par uue série d'expérience, du nombre des condamnés à celui des accusés et la valeur spéciale que ce rapport atteindrait si ces nombres devenaient infinis, est comprise entre des limites données, et que la différence entre le premier rapport et celui qui résultera d'une autre série d'expériences , tombera entre des limites également données, n° i34

On extrait des Comptes générauxde T adminislralion de la justice criminelle , les données de l'observation qui serviront à déterminer les valeurs numériques de II et A". Ces données sont divers rapports auxquels on applique, avant d'en faire usage , les formules de probabilités précédentes. Influence des changements successifs de la législation du jury en France , sur les grandeurs de ces rapports. Division des crimes en deux espèces distinctes. Obligation où l'on est de supposer, quant à présent, que les valeurs de u et k, très différentes pour ces deux sortes de crimes, sont à peu près les mêmes pour tous les départements, n<" ï35 à i38

Calcul de ces valeurs, soit pour la France entière , soit pour le département de la Seine en particulier. Probabilité que , d'après ces valeurs , un jugement de condamnation ou d'acquittement a été prononcé à l'unanimité, n°' iSg à i4'

Signification qu'on doit attacher aux mots coupable et innocent. On développe ce qui a été dit, à cet égard, dans le préambule de l'ouvrage, n° 142

Formules qui font connaître la mesure du danger, pour un accuse', d'être condamné, quoique non-condamnable, et pour la société , de l'acquittement d'un accusé qui aurait dû être condamné, n° i43

Calcul des valeurs numériques de ces mesures, et des probabilités de l'innocence et de la culpabilité des condamnés, à différentes époques où la législation n'a pas été la même, n°' i44 e' '4^

Indication d'un calcul semblable , qu'on ne peut effectuer faute de données nécessaires de l'observation, en ce qui concerne les jugements de police correctionnelle et ceux de la justice militaire, n° 146

Formules relatives à la bonté, plus ou moins probables, des jugements en matière civile, rendus en première instance et en appel, n°' i47 à 149

Faute de données de l'expérience, nécessaires pour déterminer les deux éléments distincts que ces formules renferment, on est obligé de supposer les chances d'erreur égales pour tous les juges des deux degrés successifs. On calcule cette chance.

TABLE DES MATIÈRES. ix

d'après le rapport, donné par l'expérience, du nombre des jugenienls cou firmes par les cours royales, à celui des jugements de première instance qui leur sont soumis annuellement. Le peu de variation de ce rapport, pendant trois années consécutives, est une preuve très remarquable de la loi {;énérale des grands nombres. On déduit de celte donnée de l'observation, les probabilités de la bonté des jugements de première instance et d'appel, soit quand ils s'accordent, soit quand ils sont contraires , n"' 1 5o et 1 5 1