SUR

Là PROBABILITÉ DES JUGEMENTS

Un problème relatif aux jeux de hasard, proposé à un austère janséniste par un homme du monde , a été l’origine du calcul des probabilités. 11 avait pour objet de déterminer la proportion suivant laquelle F enjeu doit être partagé entre les joueurs, lorsqu’ils conviennent de ne point achever la partie, et qu’il leur reste à prendre, pour la gagner, des nombres de points inégaux. Pascal en donna le premier la solution, mais pour le cas de deux joueurs seulement; il fut ensuite résolu par Fermât , dans le cas général d’un nombre quelconque de joueurs. Toutefois, les géomètres du xvii* siècle qui se sont occupés du calcul des probabilités, ne l'ont employé qu’à déterminer les chances de différents jeux de cette époque; et ce n’est que dans le siècle suivant qu’il a pris toute son extension , et qu’il est devenu une deS principales branches des mathématiques, soit par le nombre -et l’utilité de ses applications , soit par le genre d’analyse auquel il a donné naissance.

Parmi les applications (le ce calcul, une des plus importantes est

celle qui se rapporte à la probabilité des jugements, ou, en général, des décisions rendues à la pluralité des voix. Condorcet est le premier qui ait essayé de la déterminer. Le livre qu’il a écrit sur ce sujet (*}, avait été entrepris du vivant et à la demande du ministre Turgot, qui concevait tout l'avantage que les sciences morales et l’administration publique peuvent retirer du calcul des probabilités, dont les indications sont toujours précieuses, lors même que, faute de données suffisantes de l’observation, il ne peut conduire aux solutions complètes des questions. Cet ouvrage renferme un discours préliminaire fort étendu, où l’auteur expose, sans le secours des formules analytiques, les résultats qu’il a obtenus, et où sont développées avec soin les considérations propres à montrer l’utilité de ce genre de recherches.

Dans son Traite des probabilités , Laplace s’est aussi occupé du calcul des chances d’erreur à craindre dans le jugement rendu contre un accusé, à une majorité connue, par un tribunal ou un jury composé d’un nombre de personnes également connu. I,a solution qu'il a donnée de ce problème , l’un des plus délicats de la théorie des probabilités, est fondée sur le principe qui sert à déterminer les probabilités des causes diverses auxquelles on peut attribuer les faits observés; principe que Blayes a présenté d’abord sous une forme un peu différente, et dont Laplace a fait ensuite le plus heureux usage, dans ses mémoires et dans son tnaité, pour calculer la probabilité des événements futurs d’après l’observation des événements passés; mais, en ce qui concerne le problème de la probabilité des jugements, il est juste de dire que c’est a Condorcet qu’est due l’idée ingénieuse de foire dépendre la solution, du principe de Blayes, en considérant successivement la culpabilité et l'innocence de l’accusé, comme une cause inconnue du jugement prononcé, qui est alors le fait observé, duquel il s’agit de déduire la probabilité de cette cause. L’exactitude de ce principe se démontre en toute rigueur; sou application à la question qui nous occupe, ne peut non plus laisser aucun doute; mais pour cette application, Laplace bût une hypothèse qui n’est point incontestable i il

[*) Essai sur l’application de l' analyse à la probabilité des décisions rendues à la pluralité des voix . ^ .

suf LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS.

suppose que la probabilité qu’un juré ne se trompera pas est susceptible de tous les degrés également possibles, depuis la certitude, représentée par l’unité, jusqu’à l'indifférence, qui répond dans le cal- • cul à la fraction 4 , et se rapporte à une égale chance d’erreur et de vérité. L’illustre géomètre fonde son hypothèse sur ce que l’opinion d’un jure a sans doute plus de tendance vers la vérité que vers l’erreur; ce qu’on doit admettre effectivement en général. Mais il existe une infinité de lois différentes de probabilité des erreurs qui satisfont à cette condition , sans qu’on soit obligé de supposer que la chance qu’un juré ne se trompera pas, ne puisse jamais descendre au-dessous de J-, et qu au-dessus de cette limite, toutes ses valeurs soient également possibles. La supposition particulière de Laplace ne saurait donc être justifiée à priori. Soit à raison de cette hypothèse, soit à cause de leurs conséquences, m’ont paru inadmissibles, les solutions du problème de la probabilité des jugements que l’on trouve dans le Traité dos probabilités (*) et dans le premier supplément à ce grand ouvrage (**), et qui diffèrent l’une de l’autre, ont toujours laissé beaucoup de doutes dans mon esprit. C’est à l’illustre auteur que je les aurais soumis, si je me fusse occupé de ce problème pendant sa vie : l'autorité de son nom m’en eût fait un devoir, que son amitié, dont je me glorifierai toujours, m’aurait rendu facile à remplir. On concevra sans peine que ce n’est qu’après de longues réflexions, que je me suis décidé à envisager la question sous un autre point de vue; et l'on me permettra d'exposer , avant d’aller plus loin , les principales raisons qui m’ont déterminé à abandonner la dernière solution à laquelle Laplace s’était arrêté, et dont il avait inséré les résultats numériques dans l'Essai philosophique sur les Probabilités. •

La formule de Laplace, pour exprimer la probabilité de l’erreur d'un jugement, ne dépend que de la majorité à laquelle il a été prononcé, et du nombre total des juges; elle ne renferme rien qui soit relatif à leurs connaissances plus ou moins étendues dans la matière qui leur a été soumise. Il s'ensuivrait donc que la probabilité de l’çrreur d’une décision rendue par un jury, à la majorité de sept voix contre cinq, par exemple, serait la même, quelle que fût la classe de per-

• (*) Page /f6o. (**) Page 3a.

sonnes où les douae jures auraient été choisis; conséquence qui me paraîtrait déjà suffisante pour qu'ou fût fondé à ne point admettre la formule dont elle est déduite.

Cette même formule suppose qu’avant la décision du jury , il n’y avait aucune présomption que l'accnsé fût coupable; en sorte que la probabilité plus ou moins grande de sa culpabilité, devrait se conclure uniquement de la décision qui serait rendue contre lui. Mais cela est encore inadmissible : l’accusé, quand il arrive à la cour d’assises, a déjà été l'objet d’un arrêt de prévention et d’un arrêt d’accusation , qui établissent contre lui une probabilité plus grande que -j, qu’il est coupable; et certainement, personne n’hésiterait à parier, à jeu égal, plutôt pour sa culpabilité que pour son innocence. Or, les règles qui servent à remonter de la probabilité d’un événement observé à celle de sa cause , et qui sont la base de la théorie dont nc^ nous occupons , exigent que l’on ait égard à toute présomption antérieure à l’observation, lorsque l’on ne suppose pas, ou qu'on n’a pas démontré qu’il n’en existe aucune. Une telle présomption étant, au contraire, évidente dans les procédures criminelles, j’ai dû en tenir compte dans la solution du problème; et l’on verra, en effet, qu’en en faisant abstraction, il serait impossible d’accorder les conséquences du calcul avec les résultats constauts de l’observation. Cette présomption est semblable à celle qui a lieu efl matière civile, lorsque l’un des plaideurs appelle d’un premier jugement devant une cour supérieure : il y parait avec une présomption contraire à sa cause; et l'on se tromperait gravement, si l’on n’avait pas égard à cette circonstance, en calculant la probabilité de l'erreur à craindre dans l’arrêt définitif.

ÿnfin , Laplace s'est borné à considérer la probabilité de l’erreur d’un jugement rendu à une majorité connue ; cependant le danger que l’accusé court d’être condamné à tort par cette majorité, quand il est traduit devant le jury, ne dépend pas seulement de cette probabilité; il dépend aussi de la chance qu’une telle condamnation sera prononcée. Ainsi, en admettant pour un moment que la probabilité de l’erreur d’un jugement rendu à la majorité de sept voix contre cinq, soit exprimée par une fraction à très peu près égale à j, comme il résulterait de la formule de Laplace, il faut aussi observer que, d'après l'expérience, le nombre de condamnations par les jurys qui ont eu lieu chaque année 1

SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMEiNTS.

en France, à cette majorité, n’est que ~ du nombre total des accusés; le danger pour un accusé d'être mal jugé à la majorité dont il s'agit, aurait donc pour mesure le produit des deux fractions î et , • ou 5^; car, dans toutes les choses éventuelles, la crainte d'une perte ou l’espoir d’un gain a pour expression le produit de la valeur de la chose que l'on craint ou que l’on espère, multipliée par la probabilité qu’elle aura lieu. Cette considération réduirait déjà à un sur cinquante la proportion des accusés nôn coupables qui seraient condamnés annuellement à la plus petite majorité des jurys; ce serait sans doute encore beaucoup trop, si tous ces accusés étaient réellement innocents; mais c’est ici qu’il convient d’expliquer le sens véritable que Fon doit attacher, dans cette théorie, aux mots coupable et innocent , et que La- • place et Condorcet leur out effectivement attribué.

On ne saurait jamais arriver à la preuve mathématique de la culpabilité d’un accusé; son aveu même ne peut être regardé que comme une probabilité très approchante de la certitude; le juré le plus éclairé et le plus humain ne prononce donc une condamnation que sur une forte probabilité, souvent moindre, néanmoins, que celle qui résulterait de l’aveu du coupable. Il y a entre lui et le juge en matière civile, une différence essentielle : lorsqu'un juge, après l'examen approfondi d’un procès, n’a pu reconnaître, vu la difficulté de la question, qu'une faible probabilité en faveur de l’une des deux parties, cela su (lit pour qu'il condamne la partie adverse; au lieu qu’un juré ne doit prononcer un vote de condamnation que quand, à ses yeux, la probabilité que l'accusé est coupable atteint une certaine limite, et surpasse de beaucoup la probabilité de son innocence. Puisque toute chance d’erreur ne peut être évitée, quoi qu’on fasse, dans les jugements criminels, à quoi doit-elle être réduite, pour assurera l’innocence la plus grande garantie possible? C’est une question à laquelle il est difficile de répondre d'une manière générale. Selon Condorcet, la chance d'être condamné injustement pourrait être équivalente à celle d’un danger que nous jugeons assez petite pour ne pas même chercher à nous y soustraire dans les habitudes de la vie; car, dit-il, la société a bien le droit, pour sa sûreté, d’exposer un de ses membres à un danger dont la chance lui est, pour ainsi dire, indifférente; mais cette considération est beaucoup trop subtile dans une question aussi grave. Laplace donne une

définition , bien plus propre à éclairer la question, de la chance d’erreur qu’on est forcé d admettre dans les jugements en matière crimi- • nclle. Selon lui, celte probabilité doit être telle qu'il y ait plus de danger pour la sûreté publique, à l’acquittement d’un coupable, que de crainte de la condamnation d’un innocent; comme il le dit expressément, c’est cette question, plutôt que la culpabilité même de l’accusé, que chaque juré est appelé à décider, à sa manière, d’après ses lumières et son opinion; en sorte que l'erreur de k>n vote, soit qu'il condamne, soit qu’il absolve, peut provenir de deux causes différentes ou de ce qu’il apprécie mal les preuves contraires ou favorables à l’accusé, ou de ce qu’il fixe trop haut ou trop bas la limite de la probabilité né- , ccssaire à la condamnation. Non-seulement cette limite n'est pas la même pour toutes les personnes appelées à juger, mais elle change aussi avec la nature des accusations, et dépend même des circonstances où l’on se trouve : à l’armce, en présence de l’ennemi, et pour un crime d'espionnage, elle sera sans doute beaucoup moins élevée que dans les cas (frdi liai res. Elle s'abaisse, et le nombre des condamnations augmente, pour un genre de crimes qui devient plus fréquent et plus à craindre pour la société. *

Les décisions des jurys se rapportent donc à l'opportunitc des condamnations ou des acquittements : on rendrait le langage plus exact en substituant le mot condamnable , qui est toute la vérité, au mot coupable, qui avait besoin d’explication, et que nous continuerons d’employer pour nous conformer à l’usage. Ainsi, lorsque nous trouverons, que sur un très grand nombre de jugements, il y a une certaine proportion de condamnations erronées, il ne faudra pas entendre que cette proportiou soit celle des condamnés innocents; ce sera la proportion des condamnés qui l’ont été à une trop faible probabilité, non pas pour établir qu’il sont plutôt coupables qu'innocents, mais pour que leur condamnation fut necessaire à la sûreté publique. Déterminer parmi ces condamnés, le nombre de ceux qui réellement n’étaient pas coupables, ce n’est pas l’objet de nos calculs; toutefois il y a lieu de croire que ce nombre est heureusement très peu considérable, du moins en dehors des procès politiques : on en peut juger, dans les cas ordi liai i cs, par le nombre très petit de condamnations prononcées par les jurys, contre lesquelles l’opinion publique se soit élevée; par le petit

nombre de grâces complètes qui ont été accordées ; qf par le nombre, aussi très petit, de cas où les cours d’assises ont -usé du droit que la loi leur donue, de casser la condamnation prononcée par un jury, et de renvoyer le prévenu devant d’autres jures, lorsqu'elles jugent que le débat oral a détruit l’accusation, et que le condamné n’est pas coupable.

Les résultats relatifs aux chances d'erreur des jugements criminels , auxquels Laplace est parvenu, ont paru exorbitants, et en désaccord avec les idées générales; ce qui serait contraire aux paroles de l’auteur, que la théorie clés probabilités n’est , au Jond, que le bon sens réduit en calcuL Us ont été mal interprétés ; et l’on s’est trop bâté d’en conclure que l’analyse mathématique n’est point applicable à ce genre de questions, ni généralement aux choses qu’on appelle morales. C’est un pré- ‘ jugé que j’ai vu h regret partagé par de bons esprits; et, pour le détruire , je crois utile de rappeler ici quelques considérations générales, qui seront propres d’ailleurs, par la comparaison avec d’autres questions où personne ne conteste que l’emploi du calcul soit légitime et nécessaire, à bien faire connaître l’objet du problème que je inc suis proposé spécialement dans cet ouvrage.

Les choses de toutes natures sont soumises à une loi universelle qu'on peut appeler la loi des grands nombres. Elle consiste en ce que, si l’ou observe des nombres très considérables, d’événements d’une même nature, dépendants de causes constantes et de causes qui varient irrégulièrement, tantôt dans un sens, tantôt dans l’autre, c'està-dire sans que leur variation soit progressive dans aucun sens déterminé, on trouvera, entre ces nombres, des rapports à très peu près constants. Pour chaque nature de choses, ces rapports auront une valeur spéciale dont il s'écarteront de moins en moins, à mesure que la série des événements observés augmentera davantage, et qu’ils atteindraient rigoureusement s’il était possible de prolonger cette série à l’infini. Selon que les amplitudes de variations des causes irrégulières seront plus ou moins graudes, il faudra des nombres aussi plus ou moins grands d’événements pour que leurs rapports parviennent sensiblement à la permanence; l’observation même fera connaître, dans abaque question, si la série des expériences a été suffisamment prolongée ; et d’après les nombres des faits constatés, et la grandeur des écarts

qui resteront encore entre leurs rapports, le calcul fournira des règles certaines pour déterminer la probabilité que la valeur spéciale vers laquelle ces rapports convergent est comprise entre des limites aussi resserre es - qu’on voudra. Si l’on fait de nouvelles expériences, et si l'on trouve que ces mêmes rapports s’écartent notablement de leur valeur finale, déterminée par les observations précédentes, on en pourra conclure que les causes dont les faits observés dépendent, ont éprouvé une variation progressive, ou même quelque changement brusque, dans 1 intervalle des deux séries d’expériences. Toutefois, sans le secoursdu calculées probabilités, on risquerait beaucoup 8e se méprendre sur la nécessité de cette conclusion; mais ce calcul ne laisse rien de vague a cet egard, et nous fournit aussi les régies nécessaires pour déter- • miner la chance d’un changement dans les causes, indiqué par la comparaison des faits observes à différentes époques.

Cette loi des grands nombres s’observe dans les événements que nous attribuons a un aveugle hasard, faute d’en connaître les causes, ou parce quelles sont trop compliquées. Ainsi , dans les jeux où les circonstances qu, déterminent l’arrivée d’une carte ou d’un dé, varient à 1 infini et ne peuvent être soumises à aucun calcul, les différents coups se présentent cependant suivant des rapports constants, lorsque la série des epreuves a été long-temps prolongée. De plus, lorsqu’on aura pu calculer d’apres les règles d’un jeu, les probabilités respectives des coups qui peuvent arriver, on vérifiera qu’elles sont égales à ces rapports constants, conformément au théorème connu de Jacques Bernouilli. Mais dans la plupart des questions d’éventualité, la détermination a priori des chances des divers événements est impossible et ce sont, au contraire, les résultats observés qui les font connaître : on ne saurai!, par exemple, calculer d’avance la probabilité de la perte d’un vaisseau dans un voyage de long cours; on y supplée donc par la comparaison du nombre des sinistres à celui des voyages : quand celui-ci est 1res grand, le rapport de l’un à l’autre est à peu près constant , du moins dans chaque mer et pour chaque nation en particuliersa valeur peut être prise pour la probabilité des sinistres futurs; et cest sur celle conséquence naturelle de la loi des grands nombres, que sont fondées les assurances maritimes. Si l'assureur n’opérait que sur un nombre peu considérable d’affaires, ce serait un simple pari, qui

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