CHAPITRE P'. Règles générales des pmbabîUtés , page 3o

Définition de la probabilité d'un événement. Différence que l'on peut mettre entre les mots chance et probabilité. Mesure de la probabilité. Objet du calcul des probabilités. Démonstration des premières règles de ce calcul; exemples de leur application (**) , n"* i à 1 3 ,

Formules i;elativef à la répétition des événements dans une séri^^Képreuves. Solution du problème des partis. Solution d'un autre problème , fonidée sur le développement d'un polynôme élevé à une puissance donnée. Note sur un cas de chances variables pendant les épreuves. Probabilité d'amener m boules blanches et n boules noires , en tirant à la fois m -f- n boules , d'une urne qui, contient des boules noires et des boules blanches , en proportion connue , n®' i4 à 19

(«) lie nom d« ranteur angUli, cité à U Meonde ptg» est mal écrit; il iaiil lire JB^ei, an lieu de (**) Far laadrcrtaiiee, Tordre des niuiiéroe ta de 1 1 à i3, et il n^ a paa de b« la.

ij TABLE DES MATIÈRES.

Règle générale pour déierminer la probabilité des événeineoU composés , quand les chances des événements simples varient d'une manière quelconque pendant les épreuve^ , n" 20

Application du calcul des prol^abilités à la.déteruiinatioa des avanta^Bs atUcbés à l'arrivée des choses éventuelles. Calcul des diverses chances de la ci-devant loterie royale de France. Préjugés, contraires et également mal fondés, de» joueurs sur la sortie des numéros. Ce qu'on entend par V espérance maihé^ matique et par Yespérance morale. Explication d'une difficulté relative à la règle de l'espérance mathématique, n^ ai à a5

Quand il existe une chance inconnue , qui favorise Panivée de l'un des deux événements contraires £ et F, sans qu'on sache lequel, cette circonstance augmente toujours la probabilité de la similitude des événements dans d«az - on un plot grand nombre d'épreuves, n** a6

CHAPITRE H. Suites des règles générales; probabilités des causes et des ésfénements futurs j déduites de Fobsen^ation des événements passés, page 79

Signification que l'on attache au mot cause et au mot hasard, dans le calcul des probabilités. Règle pour détemoiner les probabilités des diverses causes possibles d'un événement observé. REomuique sur Tapplicalion de cette règle à des événements successifs. Règle pour déterminer, d'après les événements observés, les probabîUtéS'd'autres événements ^«t 4}épeiidentde6 i4lmes causes ; ce qui ne suppose, toutefois^ aucune influence de l'arrivée des événentents- passés, sur celle des événements futurs. Application de ces deux règles à des exemples particuliers, n®* 27 à 33

Extension de ces mêmes fègles .aux caa où Ton a, sur le^événeiQents^ qq^lqiiet notions antérieures aux observations; exemple propre à montrer la nécessité d'y avoir égard, n* 34 et 35

Formules relatives à la probabilité des témoignages. Cas où il s'agit seulement de savoir si un fait est vrai ou faux, quand il est attesté ou nié par un ou plusieurs témoins. Cas où plus de deux événements ont pu avoir lieu, et où l'arrivée d^un événement d^Jirminé est attestée par un témoin. Théorème relatif à la probabilité d*nn événement, dont la connaissance nous parvient par une chaîne traditionnetle de témoignages , n*' 36 à 40

Lorsqu'un très grand nombre d'événements sont possibles, ef qu'ils ont tous, à priori, des probabilités égales et extrêmement faibles , on fait voir que l'arrivée de l'un de ces événements , parmi ceux qui présentent quelque chose de remar^ quable, doit être attribuée très probablement i une cause particulière G, autre que le hasard, et analogue, par exemple , à la volonté humaine. Si les événements remarquables étaient, avant l'observation, beaucoup plus probables que les autres, la probabilité de l'interrentiou d'une cause G e^t beaucoup affiû-

TABLE DES BIATIÈRES. vj

blie I et elle peut Tétre assez pour qu'il soit inutile d'y aToir aucun ^gard ,

Ti-ansformation en intégrales définies , des formules relatives aux probabilités des causes et des événements futurs, lorsque le nombre des causes possibles est infini. On peut ne pas considérer les causes communes aux événements passés et aux événements futurs , et regarder , les uns et les autres , comme des évéaeinents coinpoeés, dépendants d'un même événement simple G, dont la chance inconnue est susceptible d'une infinité de valeurs , n** 4^ à 45

Application de ces intégrales au problème où Tévénement G étant arrivé m fois, dans m-|-n épreuves, et l'événement contraire B, les n autres fois, on demande la probabilité qu'ils arriveront respectivement nf fois et n fois dans m''^n* épreuves futures. Cas où l'on sait, à priori, que la chance inconnue de G sVcarte fort peu d'une fraction donnée , n®' 4^ ^ 4^

Énoncé du théorème de Jacques Bernouilli, sur la répétition des événements, dans un très grand nombre d'épreuves , en raison de leurs chances respectives, connues ou inconnues, mais supposées constantes. Application à un exemple tiré de V Arithmétique morale, de Bufion. Indication de la démonstration du théorème^ fondée sur la formule du binôme, n~ 49 ^ ^^

Énoncés de trois propositions générales, qui seront démontrées dans le chapitre 1^ , et qui se rapportent à la répétition des événements dont les chances varient d'une manière quelconque pendant les épreuves. On en déduit la loi générale des grands nombres, déjà vérifiée dans le préambule. Cette loi est comprise dans deux équations qui sont la base de toutes les applications importantes du calcul des probabilités, n^ Sa à 54

Application de la première équation à des exemples. Différence essentielle entre les usages de la chance constante et ceux de là chance moyeniib des événements, déduites, l'une et l'autre, de Tobservation. Proportion constante des naissances masculines et féminines. Rapports qui doivent exister entre les similitudes et les dissimilitudes de sexe, des premiers nés d'un même mariage, n*' 55 à 5g

On indique j comme application de la seconde équation, le calcul des erreurs moyennes des observations, celui de la vie moyenne à difiérents âges , celui de l'influence des vents sur les hauteurs des marées | n^6o k&k

Digression sur le principe de la causalité. Réfutation de l'opinion de Hume sur le simple concours de la cause et de Vejffet. On fait voir que l'existence d'Une cause capable de produire nécessairement un phénomène, peut avoir une très grande probabilité, quoique celui-ci n'ait été observé qu'un petit nombre de fois,

n** 63 et 64

i^robabilité de l'existence ou de la non-existence, d'une cause permanente de certains pbénonënes, qui se combine avec des eau^ea variables et avec le hasard , et ne produit pas constamment ces phénomènes. Ce qu'on doit entendre au jeu, par les mots bonheur et malheur^ ki^ 65

iv TABLE DES MATIERES.

CHAPITRE m. Calcul des probabilités qui dépendent de très grands nombres. ( Cas des chances constantes pendant les épreuves. )

Page 17a

Nécessité de recourir aux méthodes d'approximation» pour calculer les valeurs des produits d'un très grand nombre de facteurs inégaux. Méthode de Laplace pour réduire en séries convergentes, les fonctions de grands nombres, exprimées préalablement j>ar des intégrales définies. Application de cette méthode au produit 1 .2.3» . ./t des nombres naturels. Formule de Wallis, n^' 66 à 68

Probabilité des arrivées m fois et n fois, des deux événements contraires £ et F, dans un très grand nombre m + n d'épreuves. Diminution de cette probabalité,

^ lorsque les chances constantes de £ et F, au lieu d'être données à priori, ont été conclues d'un autre grand nombre d'observations. Eiemple d'un cas parti • culier où les chances.de ces deux événements varient pendant les épreuves,

Transformation d'une partie de la formule du binôme , en une autre formule convertible en une intégrale définie. Application de la méthode de Laplace à cette intégrale. Formules qui déterminent la probabilité que dans le nombre m -i'-n d'épreuves, révénement E arrivera an moins m fois, et l'événement contraire F' au plus n fois. Probabilité que ces nombres m et n seront compris entre des limites, à très peu près proportionnelles aux chances respectives des. deux événements. Probabilités que l'un de ces nombres n'atteindra pas Tune ou l'autre de ces deux limites, n*^ 78 à 79

Les formules précédentes conduisent au théorème de Jacques Bernouilli , énoncé dans le n® 49* ^^ ^^ ^ chance de l'un des deux événements E et F est très faible. Probabilités d'une différence des nombres m et n, comprise enjtre des limites données, çoit quand les chances de £ et F sont égales, soit quand elles sont inégales. Part du hasard dans le très grand nombre m + n des épreuveis»

Probabilité de limites comprenant la chance inconnue de l'événement £, d'après le nombrede fois que cet événement estarrivé dans un très grand nombre d'épreuves. Probabilité infiniment petite que cette chance soit précisément égale à une fraction donnée. On conclut de cette dernière probabilité , celle d'une événement futur, composé de E et de l'événement contraire F. Application à différents exemples, de la formule à laquelle on, est conduit. Probabilité que l'événement E qui est arrivé m fois dans m + n épreuves , aura lieu m' fois dans un autre très grand nombre m' -)- n' d'épreuves ; expression de cette probabilité correspondante à

une différence donnée entre les rapports — , — et — ;— ; — -, ; comparaison des

chances de deux événements différents , qui sont arrivés des nombres de fois connus dans des nombres d'épreuves aussi donnés. Application numérique des-

TABLE DES MATIÈRES. v

formules preoëdentes à reiemple cité dans le n* 5o, el tiré des œuvres de Buflfon, n**€3à89

Solution d'un problème susceptible d'une application importante. Conséquences ^ui en résultent relativement aux élections des députés, par un très grand nombre d'électeurs, distribués en un nombre considérable de collèges dont chacun fait une nomination , n®* 90 â 93

CHAPITRE ly . Suite du calcul des probabilités dépendantes de très grands nombres. (Cas des chances variables d'une roanière quelconque, comprenant celui des chances constantes. ) Page ^Ifi

Transformation de la règle du n* 20, en une formule exprimée par une intégrale d^ finie. Usage de cette formule , dans le cas d'un très grand nombre d'épreuves. Détermination de la probabilité que dans ce nombre m -f- n d'épreuves , Tévé* nement E arrivera un nombre m de fois^ compris entre des limites données. On en conclut, conformément à la première proposition générale énoncée dans le n* 5a, que ce nombre m sera, à très peu près et très probablement, pi^^portionnel à la moyenne àeB chances de E dans cette série d'épreuves, n*' 94 à 96

Probabilité que la somme des valeurs d'une chose quelconque, qui auront lieu dans un nombre donné d'épreuves, tombera entre des limites donikes, soit quand le nombre des valeurs possibles sera limité, soit quand il deviendra infini. L'expression de cette probabilité en intégrales définies, s'obtiendra sous forme finie, dans le cas particulier où toutes les valeurs possibles ont une chance égale et qui demeure constante pendant les épreuves. Vérification du résultat pârdculier et de la formule générale; dans le cas le plus simple ou il n'y a qu'une seule épreuve, n^ 97 à lop

En appliquant cette formule au cas d'un très {[rand nombre d'observations , ou démontre le théorème énoncé dans le n** 53, et suivant lequel , si ce nombi*e augmente encore de plus en plus, la moyenne des valeurs de la chose que l'on considère s'approchera de même d'une valeur constante A, avec laquelle elle coïnciderait, si ce même nombre pouvait devenir infini. Cette constante spéciale dépend de la loi de probabilité de toute les valeurs possibles; les limites, plus ou moins probables , d'une différence Centre cette constante et la moyenne des valeurs observées dans un très grand nombre d'observations, dépendent aussi d'une autre constante h^ relative à cette même loi. Détermination^ ces deux quantités k et &, dans les hypothèses les plus simples sur la loi de probabilité. Examen du cas ou, d'après cette loi, le nombre des valeurs possibles est limité, n"" 101 à io3

Démonstration de la seconde proposition générale, énoncée dans le n^Saf**); ce qui

(*) £■ «ppUquabt, p«r asemple, cetia propoiitîon génémle à la ikérmpemtique , il en rétulu^ c«

▼i TABLE DES MATIÈRES.

complète la drfmonfttratîon , à priori , de la loi universelle des grands nombras, regardée jusque-là comme un iait d'expérience, n"" io4

Règle pour déduire du ffésulut des observations, les limites de k différence ^ qui oui une probabilité donnéei ou, réciproquementi la prot>abilité correspondante à uuegtfaiidear d4MiHé6de césliniiles, n"' io5 et io6

Probalnlité de limites données, de la différence des valeurs moyennes d'une même chose, fournies par deux séries différentes d'épreuves. Règle la plus avantageuse pour conclure de deux ou plusieurs séries d'observations, la valeur approchée de cette chose , dans le cas où les valeurs uloyennes conveigânt effectivement vers sa valeur exacte, c'est-à-dire, dans le cas où, pour chaque série, la cons» tante spéciale est cette véritable valeur, n"* 107 et 1 08

Probabilité de limites données , d'ime différence entre les rapports

ni

et -7—; — -7 , des nombres de fois m et m' qu'un même événement E aura lieu ffi -f- fi •

dans m + n et m' + ''^ d'épreuves, à ces nombres d'épreuves, lorsque toutes les causes possibles de E sont les mêmes dans les deux séries 4'o^crvations, quoique les chances de cet événement varient d'une manière quelconque pendant ohaquç série, n' 10g

Solution 4'un problème relatif aux inclinaisons des orbites planétaires sur l'écliptique, et à leuirs excentricités. Solution d'un problème semblable* qui se rapporte aux inclinaisons des comètes. On en conclut^ avec une* très grande probabilité, que la cause inconnue delà formation des comètes, n'a pas rendu inégalement probables leurs diverses inclinaisons sur Tédiptique, non plus.que les deux sais, direct ou rétrograde, de leurs mouvements. lien résulte aussi . que Finclinaison moyenne de toutes les comètes existantes , difière probablement fort peu de celle des com^sobservées jusqu'à ce jour. Note relative à des corps incandescents et en très grand nombre, que l'on observe dans le ciel à une époque déterminée de l'année (^) , n®* 1 10 et x 1 1

^ui est conforme d^aineura au simple bon sens, que si un médicament a été employé arec succét dans nn très grand nombre de cas senfblables, de sorte que le nombre de cas où il n^a pas réussi soit très petit par rappoit an nombre total de ces expériences, il est très probable qu'il réussira encore dans une nouTalle épreuve. La médecine ne serait ni une science, ni un art, si elle n^était pas fondée sur de nombreusa^bserrations, et sur le tact et Texpérience propres du médecin, qui lui font juger de la similitude TOs cas et apprécier les circonstances exceptionnelles.

(*) Il parait que ces corps , lors de leur apparition , sont très éloignés de la terre , et à une distance où la densité de Tatmospbère est tout-à-fiiit insensible ; ce qtii rend difficile d'attribuer, comme on le hit, leur incandescence à un frottement contre les moléeules de l'air. Ne pourrait-on pas supposer que le fluide tieetriqne à Tétat neutre, forme une sorte dVtmospbère, qui sVtend beaucoup au-delà de la niasse d'air; qui est soumise à Tattraction de la terre, quoique physiquement impondérable ; et qui suit , en conléqnence, notre globe dans ses mouvementa? Dana cette hypothèse , les corps dont il s*agit , et, en général, les aérhoUtes, en entrant dans cette atmosphère impondérable, décomposeraient le fluide neutre , par leur action inégale sur lés deux électricités , et ce serait en ft^électrisant qu'ils ^'échauflîeraient et dcTiendraient incandescents.

TABLE DES MATIÈRES. vij

Tableau des rormnles de probabilitét lei plus usuelles » qui ont 4ié d^moutrées dansc&chapitmetJaas le précédent. Remavque velatiwà FapplicaliMda calcul des probabilités à un système d'équaiimfs de eondiêion, feuniies par les observa* lions, n** met ii3

CHAPITRE V. Applications des règles générales des probabilités aux décisions des jurjrs et aux jugements des tribunaux ^ page 3i8

On détermine, les probabilités qu'un accusé sera condamné ou acquitté, à une majoirité déterminée, par des jurés dont chacun à une probabilité donnée de ne pas se tromper, et en ayant égaird à la probabilité, aussi donnée, de la culpabilité, qui ayait lieu ayant le jugement. Par la règle de la probabilité des causes on des hypothèses, on détermine également les probabilités que l'accusé, ainsi condamné ou acquitté, est coupable ou innocent, n** 1 14 à 117

Formules relatives au cas d'un nombre quelconque de jurés, qui ont tous la même chance de ne pas se tromper, et dont la décision aura lieu ou a eu lieu, soit à une majorité donnée, soit à une majorité dont le mmimunt seul est donné. On fait Toir que la probabilité qu'une condanuuktion sera prononcée , est toujours moindre que celle de la probabilité, avant le jugement, de la cupabiUté. Les probabilités de la bonté d'un jqgementne dépend, toutes choses d'ailleurs égales , que de la majorité à laquelle il a été rendu , et nullement du nombre total des jurés, lorsque leur chance de ne pas se tromper est donnée àpriim, ce qui n'a plus lieu quand celte chance doit être déduite , à patteriori, de la connaissance de cette majorité, n®' 1 18 à lato

Application de ces formules au cas où le nombre des jnrés est très grand, ce qui rend très peu probable , qu'une condamnation sera ou a été prononcée k une petite majorité, u^ iai

Théorème relatif à un jury composé d'un nombre quelconque de jurés, dont chacun a plusieurs chances distinctes et inégalement probables, de ne pas se tromper. Exemple du calcul de hi chance moyenne, quand le nombre des chances possibles devient infini, et que leur loi de probabilité est donnée.* Cette chance moyenne est la même pour tous les jurés, quand ib doivent être pris aahasa(rd sur une n&éme liste générale. Formules qui déterminent, dans ce cas ,^ les prohabilités qu'une condamnation sera prononcée, qu'un accusé condamné esteoU' pable, que la chance d'erreur des jurés a été comprise entre des limites don* nées, n** laaà 1^7

Application de ces formules à un jury composé d'un très grand nombre -de jurés, n*'ia8ài3f

L'usage de ces formules exige, dans tous les cas, que l'on fasse une hypothèse sur la loi de probabilité des chances d'erreur des jurés. Examen de l'hypothèse de Laplace. Conséquences qui en résulteraient et qui la rendent inadmissible. L'impossibilité de faire sur cette loi^ aucune hypothèse convenablenaen t motivée^ rend

Tiij TABLE DES MATIÈRES.

^gal^oient impossible de dëtenniDer la probabilité de la bonté d'an jugement '■ isole', d'après la connaissance du nombre des jurés et de la majorité à laquelle il a été rendu. Nécessité de recourir aux résultats d'un très grand nombre de jugements, pour en conclure les deux éléments spéciaux que renferment les formules précédentes, savoir, la chance u de ne pas se tromper, commune à tous les jurés pris au hasard sur une même liste générale, ^t la probabilité k de la culpabilité des accusés , résultante des procédures antérieures aux débats de* Yant les cours d'assises, n^ i3a et i33

Probabilités que la différence entre le rapport, fourni par une série d'expérience, ■ du nombre des condamnés à celui des accusés et la valeur spéciale que ce rapport atteindrait si ces nombres devenaient infinis, est comprise entre des limites • données, et que la différence entre le premier rapport et celui qui résultera d'une autre série d'expériences, tombera entre des limites également données, n* i34

On extrait des Comptes généraux de F administration de la justice criminelle, les données de l'observation qui secviront à déterminer les valeurs numériques de u et k. Ces données sont divers rapports auiquels on applique, avant d'en faire usage , les formules de probabilités précédentes. Influence des changements successifs de la législation du jury en France, sur les grandeurs de ces rapports. Division des crimes en deux espèces distinctes. Obligation où l'on

' est de supposer, quant à présent, que les valeurs de u et A:, très différentes pour ces deux sortes de crimes, sont à peu près les mêmes pour tous les départements, n®* i35 à i38

Calcul de ces valeurs, s'oit pour la France entière , soit pour le département de li^ Seine en particulier. Probabilité que , d'après ces valeurs , un jugement de condamnation ou d'acquittement a été prononcé à l'unanimité, n^ >39 à \^i

Signification qu'on d^it attacher aux mots coupable et innocent. On développe ce qui a été dit, à cet égard, dans le préambule de l'ouvrage, 11^14^

Formules qui font connaître la mesure du danger, pour un accusé, d'être condamné, quoique non-condamnable, et pour la société ,. de l'acquittement d'un accusé qui aurait dû être condamné, n® i43

Calcul des valeurs numériques de ces mesures, et des probabilités de l'innocence

- et de la culpabilité des condamnés , à différentes époques où la l^islation n'a pas été la même, n*** i44 et i45

Indication d'un calcul semblable, qu'on ne peut effectuer faute de données nécessaires de l'observation, en ce qui concerne les jugements de police correction^ neUe et ceux de la justice militaire, n® iSfi

Formules relatives à la bonté, plus ou moins probables, des jugements en matière civile, rendus en première instance et en appel, n^ '47 ^ '49

fauté de données de l'expérience, nécessaires pour déterminer les deux éléments distincts que ces formules renferment, on est obligé de supposer les chances d'erreur égales pour tous les juges des deux degrés snocessib. On calcule cette chance.

TABLE DES MATIÈRES. ix

d'après le rapport, donné par Texpërience, du nombre des jugements confirmés par les cours royales, à celui des jugements de première instance qui leur sont soumis annuellement. Le peu de variation de ce rapport, pendant trois années cons<^cutives, est une preuve très remarquable de la loi générale des grands nombres. On déduit de cette donnée de TobserTation, les probabilités de la bonté des jugements de première instance et d'appel, soit quand ils s'accordent, soit quaiid ils sont contraires, n** t5o et iSi