I. — Exposé de la méthode
Lorsque l'équation du troisième degré a ses trois racines réelles, la formule de Cardan devient illusoire et ne peut pas servir au calcul numérique des racines de l'équation ; il est cependant possible, dans ce cas, d'exprimer les racines à l'aide de formules pouvant servir à leur calcul numérique.
Soit
x^ — px — q = 0
352 11ÉCRK.\TI0>'S MATHÉJUTIQUES
1 équation du troisième degré, dans laquelle je mets les signes en évidence. Je puis écrire l'équation sous la forme
x^ = px ~h q,
le radical ayant une double détermination et la valeur de x sous le radical ayant le même signe que le radical. Cette formule peut servir de formule d'approximation successive pour deux racines de l'équation du troisième degré.
Celle qui correspond au signe -+- du radical est évidemment supérieure à \/p ;
est une valeur de cette racine approchée par défaut ; une valeur approchée par excès ;
une valeur approchée par défaut.
Cette racine x' peut être exprimée à l'aide d'un nombre illimité de radicaux par la formule
La deuxième x" ne peut être exprimée que par défaut par la formule
Ces formules sont susceptibles d'une interprétation géométrique très simple.
Les racines de l'équation du troisième degré peuvent être considérées comme les abscisses des points communs à la parabole et à l'hyperbole :
Nous cherchons l'abscisse du point a.
La première valeur approchée
représente l'abscisse du point a,, la deuxième l'abscisse du point «g. la troisième l'abscisse du point 03, etc. On voit sur la figure comme sur la formule que ces valeurs vont constamment en se rapprochant de la racine exacte.
La troisième racine peut être obtenue d'une manière un peu différente. L'équation peut s'écrire
La troisième racine est négative et supérieure en valeur absolue P
Récréations mathématiques, IL a^S
BECRÉÀtlONS MATHEMATIQI
Fig. 167
est une première valeur approchée de cette racine ;
Fig. i58 une deuxième valeur plus approchée, etc.
Cette formule est également susceptible d'une interprétation géométrique.
La racine que nous cherchons est l'abscisse de l'un des points d'intersection de la parabole cubique et de la droite
y=px~{~ q.
La méthode d'approximation substitue a l'abscisse des points a les abscisses des points «i, a^, a^..., etc. II, — Calcul de lerreur commise dans le calcul des racines par la
métliode précédente après an certain nombre d'opérations.
Considérons d'abord la première racine exprimée par la formule
Désignons par t^, e^,.*-» -« les erreurs commises après i, 2, 3,..., n opérations, nous aurons
JL
p ou <
j'augmente évidemment le deuxième membre en remplaçant
\/p-4--^-par\//>.
J'aurai donc
NOTE HISTORIQLE 357
j'aurai de même
VP VP
OU
e,<„^. ou ^-L— L On trouvera de même
\2PV/P/
La méthode que je viens d'indiquer pour calculer une limite de l'erreur sera applicable toutes les fois que l'on aura
7 < 2p V^P ou q- < l\p\
Elle sera donc applicable dans une limite plus étendue que celle de la réalité des racines de l'équation du troisième degré, puisque,
pour la réalité des racines, il suffit que l'on ait
p — lOO,
H <C — X on «< , —
Cette méthode est donc assez commode pour le calcul des racines, lorsque q est petit par rapport à p.
On pourrait de même calculer une limite de l'erreur commise dans le calcul des deux autres racines ; mais comme la méthode que j'indique ne me parait avoir d'intérêt qu'au point de vue théorique, ce que j'ai dit suffit pour le but que je me propose.
Pages
Sophismes géométriques a
Paradoxes géométriques lo
Coloriage des cartes géographiques i4
Configuration physique d'une contrée 1 7
Jeux - 20
Trois en ligne . . - 20
Extension donnée au jeu de trois en ligne 3i
Carrelage ou parquetage 23
Carrelages anallagmatiques 89
Problème du cube colorié ^"^
Théorème d'Euler 44
Jeux de position , 48
Le Go-bang ou dames Japonaises l[S
Problème du garage 52
Problème du bateau , . 54
Lignes géodésiqucs 58
Problèmes avec des jetons disposés en ligne 59
Problèmes sur un échiquier avec des jetons ou des pions .... 63
Problèmes sur un échiquier avec des pièces de jeu 66
Problème de Guarini 67
Les rubans paradromiqucs 69
36o TABLE DES MATIERES
Pages
Paradoxe de Zenon . . . ; -ji
Achille et la Tortue 72
Paradoxe de Zenon sur le temps 73
Paradoxe de Trislara Shandy 7^
Mouvement angulaire 74
Du mouvement relatif 76
Lois du mouvement. 76
Equilibre 81
Bouteille magique 82
Expérience du double cône remontant le plan incline 85
IMouvement perpétuel 86
Modelé 89
Naviguer plus vile que le vent 91
Bateau mis en mouvement au moyen d'une corde gS
Loi de de Ilauksbee 96
La balle du Tennis 99
Théorie du vol des oiseaux 100
Curiosités physiques ici
