CHAPITRE DEUXIÈME

L'application des méthodes précédentes à des groupes naturels de modules non premiers donne souvent des carrés partiellement magiques ; mais la magie complète ne peut être obtenue que dans quelques cas. En effet, un groupe fondamental de module impair composé étant donné, une ligne quelconque, inclinée sur les deux axes de ce groupe, ne rencontre plus toujours n points différents.

Si les paramètres a et 6 d'une direction ^ z^ ax -h b sont premiers avec le module n du groupe, cette direction passe par n points distincts appartenant chacun à des lignes et à des colonnes différentes ; elle sera magique.

Si un seul des deux paramètres a par exemple est premier avec n et que l'autre ne l'est pas, les ordonnées des divers nombres rencontrés par la direction considérée ne sont pas toutes différentes ; cependant leurs abscisses le seront, do sorte que cette direction passe bien aussi par n points différents ; mais on ne peut pas affirmer qu'elle sera magique ; et, en fait, quelques-unes seulement des lignes qu'elle détermine présenteront la magie cherchée.

Si a et 6 ont un facteur commun 8 avec le module n, c'est-à-dire si n = 8p, la direction ax -h by ne rencontrera plus que p points différents, de sorte que la formation du carré magique avec cette direction devient impossible.

On comprend ainsi pourquoi un carré magique de module non premier n'est pas aussi aisé à constituer que les autres. Un groupe quelconque ne donne pas tous les types de carres précédemment décrits. On devra tout d'abord écarter tous ceux, obliques ou cavaliers, dont le degré n'est pas premier avec le module ; car en procédant à leur construction, on serait amené à placer un nombre dans une case déjà occupée.

Une condition essentielle pour la possibilité du carré est que le déterminant {ab' — ba') des deux directions principales soit différent de zéro (si ce déterminant était nul, les deux directions ne seraient pas distinctes) et premier avec le module. Il faut de plus que, dans chacune des deux équations, les deux paramètres ne soient pas en même temps non premiers avec le module.

Pour certains groupes, ces conditions sont suffisantes.

En général, si les quatre paramètres, ainsi que leur déterminant, sont premiers avec le module, on obtient des carrés dont les lignes et les colonnes sont magiques ; mais ces conditions n'assurent pas la magie des deux diagonales. Il faut que les deux équations donnent aussi des diagonales magiques, et souvent les sommes ç -h tj et 7) — $ qui les déterminent, ont un de leurs paramètres non premier avec le module, ce qui, nous l'avons vu, peut altérer leur magie.

Soit comme exemple, le groupe naturel de module 9 ; la somme magique est 869.

Soient

^ = — X -{- 2y et 7) = ic — y

les équations des deux directions principales adoptées pour la constitution du carré ; leurs paramètres et leur déterminant sont premiers avec le module. Mais d'autre part on a

^ -H r) = j et r^ — ^ = 2x — Sy,

Donc la diagonale montante sera constituée par une colonne du groupe ; cette colonne est nécessairement la médiane, puisqu'elle est seule magique.

36 RISCRÉATIONS MATHÉMATIQUES

La diagonale descendante, qui est fonction du paramètre 3, varie suivant le nombre que l'on place à l'origine du carré.

En inscrivant successivement dans cette origine tous les nombres de la colonne médiane, on constate que seuls les nombres 5, 32 et 59 (espacés de trois en trois) rendent magique la diagonale considérée. Ainsi la direction [2x — 3j) n'est magique que pour certaines de ses lignes.

Soit comme second exemple, les deux directions

^ = — X -\- 2y 7) = 5aj — 2j

le déterminant ab' — ha' = — 8 ou, ce qui revient au même, égal à l'unité, puisqu'on peut, sans altérer nos quantités leur ajouter un multiple quelconque du module.

Les deux diagonales seront définies par

\ -{- T^ =z Ixx et Yj — ^ rr: 6a: — [\y .

Ici, la diagonale montante est constituée par les nombres de la ligne magique du groupe (pris avec un intervalle de 4)- On peut vérifier que les nombres 37, 4o et 43 seuls de cette ligne placés à l'origine du carré, assurent la magie de la diagonale descendante.

Soient encore les deux directions

^ = 5rr -f- Aj et t] = x -{- y de groupe naturel, on a

ah' — ha'=i ^ -h ^ = 6a: H- 5j T) — $ = — Ixx — 3j •= 5a: -h 6j.

Les nombres 20, 47 et 74 de la deuxième colonne, 23, 5o et 77 de la cinquième et 26, 53 et 80 de la huitième, placés dans la case origine rendent magiques les deux diagonales.

On remarquera que ces nombres présentent des intervalles de 3 en ligne et en colonne.

Les restrictions qui précèdent ne sont plus applicables lorsque le

groupe naturel subit une transformation convenable. Dans ce cas, à la condition seule que le déterminant des paramètres soit premier avec le module, les équations de deux directions quelconques inclinées sur les axes du groupe et passant chacune par n points différents, donneront des carrés magiques. On devra vérifier que les diagonales aussi passent par n points différents (nous avons vu qu'il suffit pour cela que les deux paramètres de leurs directions ne soient pas en même temps non premiers avec 4e module). Il en est ainsi du groupe ci-dessous

Fig. Ag

Appliquons -lui les équations (*)

pour lesquels on a

ab' — ba' = II.

(') On remarquera qu'une direction inclinée quelconque dans le groupe rencontrera toujours neuf nombres dont la somme sera magique, quoique tous ces nombres ne soient pas toujours différents. Cette remarque parait intéressante.

Les diagonales ont pour équations

On obtient le carré magique ci-après

Fig. 5o

11 a pour marche ^ -\- lit] et pour degré 3^ — t]. On peut permuter circulairement ses lignes et ses colonnes sans altérer sa magie. Ces mêmes équations ne donnent des carrés avec le groupe naturel que si l'on place dans la case origine les nombres 10, 37, 64 ; i3, 4o, 67 et 16, 43, 70.

Appliquons encore à ce groupe transformé les équations

^ = bx -+- l^y r^^x -^ y

et par suite

5 H- T; = 6aî H- 5y r^ — $ = 5a; -h 6 7

qui, avec le groupe naturel ne donnent, on l*a vu plus haut, que quelques carrés. Nous obtiendrons le carré magique fig. 5i de

CARRÉS MAGIQUES IMPAIRS DE MODULES KON PREMIERS Sg

marche $ H- 5ti et de degré 8 (voir la note insérée en renvoi de la figure 2 3).

Jl "46

Fig. 5i.

Il est également diabolique.

Ainsi donc, pour pouvoir constituer à coup sûr des carrés magiques de modules composés, il faut au préalable faire subir certains changements au groupe naturel, changements consistant à modifier V arrangement de ses lignes et de ses colonnes.

Les groupes naturels de modules composés présentent de multiples directions non magiques. Si, par la décomposition des nombres qui les constituent (tel qu'un changement de base de numération, par exemple), on rend ces directions apparentes et si, après cela, on parvient, par des permutations convenables, h les réduire aux seules directions horizontale et verticale, le groupe résultant acquerra toutes les propriétés des groupes de modules premiers ; il fournira ainsi une grande variété de carrés magiques.

Le problème des carrés magiques de modules composés réside tout entier dans cette modification du groupe naturel. On trouvera dans l'ouvrage de M. Arnoux quelques méthodes pour y parvenir. Elles sont malheureusement trop laborieuses, incme pour le module 9

4o RÉGRÉ/iTIONS MATHÉMATIQUES

qui est le plus faible de ceux à considérer. Les lois qui régissent ces modifications étant déterminées, la construction de carrés magiques de modules quelconques pairs ou impairs ne présenterait plus aucune difficulté. On trouvera dans la Note II insérée à la fin de la deuxième partie, une solution nouvelle de la question.

Un groupe fondamental transformé étant connu, on pourra lui faire subir une permutation circulaire quelconque sans en altérer les propriétés. On en obtiendra en outre un nombre o (n) (*).

Ainsi dans le groupe donné ci -dessus et dont nous n'inscrivons ici que la première ligne.

prenons successivement la suite des colonnes de deux en deux, nous obtiendrons cinq nouveaux groupes dont les premières lignes sont

On ne peut aller plus loin, car on retrouve le groupe (i). On pourrait penser prendre la suite des colonnes de 5 en 5, de 7 en 7 (en un mot suivant des nombres premiers avec le module), on retrouverait les mêmes séries.

Nous donnerons encore quelques exemples de carrés déduits du groupe (i) qui nous a déjà servi.

Carré cavalier simple

^ = 3x H- 2J rj = 8x + 87

(•) On suit que © (n) que l'on appelle l'indicateur de n, représente le nombre de nombres inférieurs à n et premiers avec lui.

et : ^ -{- r^ = 2x ~\- y v) — ^ = 5a; + 6j.

Fig. 52.

Carré cavalier de degré i et de marche ^ 4- 3v) . Ses équations sont :

^ = 4x -h 3/ Y) = 8x -+- 8j et par suite

^ -^ n z= Sx -+- 2y 7) — ^ == 4a? H- 5j.

Fig. 53.

On remarquera la corrélation entre ces deux carrés. Leurs colonnes sont constituées par les mêmes nombres et les lignes de ce dernier sont constituées par les nombres occupant les parallèles aux diagonales descendantes du carré fig, ôa.

Carré cavalier de degré i et de marche ; + A^q.

d'où :

et:

q =5x -h ày ri = Sx -{- 8y ^ + r^ = 4a) -H 3y

r^^^ = Sx -h 4j.

Fig. 5/,.

Ce carré se déduit aussi du précédent suivant la même loi. On ferait la même constatation pour les carrés de marche (^ -h 5r)) et de marche (^ H- 6ri). 11 est inutile de les construire. Nous nous contentons d'en indiquer les équations qui sont

pour les premiers, et

i =z '^x -\- 6y Ti z=Sx -h Sy pour les seconds.

CARRÉS MAGIQLES IMPAIRS DE MODULES NON PREiMIERS 43

Passons maintenant au carré cavalier de marche ^ -t- 77; : c'est le dernier de la série. On ne peut plus placer un nombre quelconque du groupe dans une case quelconque. Le fait que la colonne magique doit occuper la diagonale descendante, limite le chiffre de cases dans lesquelles on peut placer le premier nombre pour constituer le carré magique.

Ci-après fîg. 55 le carré obtenu en plaçant le nombre 68, appartenant à la colonne magique, dans la case supérieure de gauche.

ifi

On constatera la persistance de la loi indiquée. Dans tous ces carrés cavaliers, les colonnes sont constituées par les mêmes nombres disposés dans le même ordre. Les équations correspondant à ce dernier carré sont :

^ = Sj: H- 7j et f] = Sx -h 8j.

La diagonale descendante r^ — ^ = y est donc bien constituée par la colonne magique du groupe.

Ce groupe transformé fournirait également des carrés h ordonnance oblique de divers degrés. On peut aussi, comme pour les modules premiers, en tirer des cavaliers à ordonnance et degré de la forme (a^ -+- Po).

Ainsi le carré magique

Fig. 56.

a pour marche (^ + [\r^ et pour degré (3^ — r^). Les équations correspondantes sont

ou:

On voit donc que la variété des carrés fournis par un groupe transformé est très grande. Mais il n'est pas possible déformer tous les types de carrés que peuvent donner les groupes de modules premiers. 11 y a à cela un obstacle résultant de la nature même du module. On ne pourra jamais constituer un carré dont le degré ne serait pas premier avec le module. Voilà donc une restriction importante et par suite, une réduction du nombre de types que l'on pourrait concevoir à priori.

Les développements qui précèdent montrent suffisamment la nature des difficultés auxquelles on se heurte dans la construction des carrés magiques de modules non premiers. Une transformation convenable du groupe naturel fait, nous l'avons montré, disparaître ces difficultés. Mais le groupe naturel et ceux qui s'en déduisent, par permutations circulaires et autres, ne doivent pas, on l'a vu par

de nombreux exemples, être abandonnés. Ils fournissent aussi de nombreux carrés magiques de types divers.

En s'imposant comme condition que les paramètres des deux directions qui doivent constituer Ifes directions principales du carré soient premiers avec le module (avec bien entendu la condition évidente que le déterminant ah' — ba' soit aussi premier avec ce module), on peut aisément établir que, pour le module 9, les seuls carrés magiques possibles à ordonnance oblique sont ceux des degrés I, 4 et 7 ; et l'on en construira un très-grand nombre.

Ci- après un exemple pour chacun d'eux. Les deux premiers (fig. 57 et 58), sont déduits du groupe naturel, dans lequel la ligne médiane a été portée au premier rang.

d'où

Carré oblique de degré i

^ = 2x -h y ri := 8x -{- Sy

^ -^ y] = X et 7) — ^ = 6x -h 7/.

La diagonale descendante ne sera pas nécessairement magique ; il faut, pour sa magie, qu'elle ne comprenne que des nombres appartenant exclusivement aux colonnes 2, 5 et 8.

3o Vj

Carré oblique de degré [\ ^ ==. 8iC -+- 7J ^ V) = 2X -f- 2J

d'où

^ -h r^ = a? et

Ici aussi, la diagonale descendante présentera la môme particularité que dans le carré ci-dessus.

Ga i3

Fig. 58

d'où

Carré oblique de degré 7 l z= ^x -\- liy TQ = 5x H- 5j

Ces équations montrent aussi que les diagonales sont constituées par la ligne et la colonne magiques du groupe. Pour le construire

facilement, il suffit de placer le nombre médian lii au centre du carré. Ici le groupe naturel n'a subi aucun changement.

Fig. 59

Ce groupe naturel fournira aussi des carres cavaliers ; les paramètres satisfaisant aux conditions prescrites, les seuls carrés cavaliers du premier degré possibles sont ceux dont le pas est égal à /j ou à 7. Ci après deux exemples.

Carré cavalier de degré î et de marche ^ -h 4r) Ses équations sont

^ = 5ar 4- /ij et t) r=: 8x -+- 8/

d'où

^^-y] = ^x -h-Sy

Par suite, la case de départ ne peut plus être arbitrairement choisie, la magie des diagonales ne pouvant pas être ainsi assurée. Mais si nous construisons le carré sans nous inquiéter de cette res-

RÉCRÉATIONS MYTIlÉMàTlOUES

triction, nous savons que ses lignes et ses colonnes seront magiques ; nous savons aussi que, parmi les lignes parallèles à ses deux directions diagonales, quelques-unes seulement présenteront la magie cherchée. Il faut donc les déterminer : formons d'abord un carré quelconque du type indiqué; cherchons ensuite, parmi les parallèles aux deux diagonales, celles qui sont magiques. Quelques tâtonnements montreront que celles qui se croisent sur le nombre ii, forment une des solutions. Permutons donc circulairement les lignes et les colonnes du carré provisoirement constitué, de façon à amener ce nombre au centre du carré et le problème sera résolu (%. 60).

Tï

Vig. Go

Carré cavalier de degré i et de marche ^ M- 7>) Les équations sont

^ = Sx -h ']y ^ = — X — y

d'où

La diagonale descendante est donc constituée par la ligne magique, ce que l'on savait déjà.

Fig 61

On pourrait de même rechercher les carrés cavaliers à marche plus complexe qu'il serait possible de former. Ainsi reprenons un exemple précédent

\ = — X ~\- 2y et

La diagonale montante est constituée par la colonne magique du groupe. Un nombre de cette colonne est donc commun aux deux diagonales. Essayons les divers nombres de la colonne magique en les plaçant successivement au centre du carré et cherchons ceux qui rendent magique la seconde diagonale. Nous constaterons que seuls les nombres 4i, 77 et 28 satisfont a la question.

Le carré ainsi formé aurait pour marche (2$ -h tj) et pour degré

Soient encore les équations

5 = 5x + 2y et TT) = 5a; -h 4j.

La diagonale descendante r^ — \ Récréations Mathématiques, III.

2j est constituée par la

colonne magique du groupe. Plaçons le nombre 5 de cette colonne dans la case inférieure de droite du carré et nous obtiendrons le carré ci-dessous (jui a pour marche 4? -H 7^ et pour degré (3? — r^).

fig. 62

Si l'on examine l'ordonnance des nombres de chacune des colonnes du groupe naturel, on constate qu'elle est oblique à gauche et que le premier nombre d'une colonne a, par rapport au dernier nombre de la colonne précédente, une situation définie aussi par (3^ — tq). Ce carré pourrait aussi être déduit d'un groupe dont la première ligne aurait pour éléments 77, 76, 73, 80, 78, 76, 74, 81, 79, et dont la première colonne serait constituée par la suite 77, 5, i4, 23, 32, 4i. 5o, 59, 68; il suffira pour cela de donner aux nombres de ce groupe l'ordonnance (^ H- 4/). le degré du carré étant 4-

Nous donnerons encore quelques exemples de carrés tirés du groupe naturel, en nous contentant d'en indiquer les équations.

on placera dans la case origine l'un des nombres 3, 29, 56 de la deuxième colonne et ceux pris de trois en trois à partir de ces der-

CARRES MAGIQUES IMPAIRS t)E MODtLES NON PREMIERS 5t

niers, en ligne ou en colonne, soient les nombres 5, 82, 5^ et 8, 35,

a° ^ =z 'jx -i- y 71 = X -i- ay

on placera dans la case origine l'un des nombres :

3® ^ = 5a; -4- 4j ti =^ x -h 'jy

le nombre 80 place à Torigine donne un carré magique dont les

diagonales sont

Les nombres pris avec un intervalle de trois, en ligne ou en colonne, à partir de 80 produisent également la magie complète.

4® \ = X — y V) = 5ac + 2j

La magie des carrés correspondants peut être obtenue en plaçant à leur origine Tun des nombres 29, 82 ou 35. Les diagonales de ces trois carrés sont

On remarquera que dans ces trois carrés, la diagonale descendante est constituée par les mêmes nombres; leur ordre seul a changé.

Quand une des diagonales du carré n'est pas constituée par une ligne ou une colonne du groupe, les équations des deux directions principales permettent de limiter les recherches relatives à la détermination du nombre à placer dans la case origine. On peut, avec ces équations, déterminer une des colonnes à laquelle appartiendra ce premier nombre. Il suffira pour cela d'écrire que la somme des nombres de la diagonale est égale à la constante du carré. L'équation résultante est une congruence d& module ii qui indiquera la colonne à laquelle doit appartenir le nombre cherché.

Toutes les considérations qui précèdent s'appliquent à un module impair non premier quelconque. Il serait donc superflu de nous répéter. Cependant, avant de terminer ce chapitre et pour bien montrer l'esprit de nos méthodes, nous dirons quelques mots des carrés de module i5.

Au fur et à mesure que le module augmente, les recherches et ■vérifications deviennent naturellement plus laborieuses. Mais si l'on a bien saisi tout ce qui a été dit, on peut voir que les vérifications à faire se réduisent le plus souvent à deux ou trois additions. La constante magique, pour le module i5, est 1695.

Considérons dans le groupe naturel les deux directions,

^ z= li X -\- y r, = 8x — 2j

que nous adopterons comme directions principales du carré. Le déterminant des paramètres est bien premier avec le module. Les diagonales du carré sont déterminées par

Si l'on cherche la colonne à laquelle appartiendra le nombre à placer dans la case origine, le calcul indiquera que c'est celle de

rang i4. Et l'on trouve en effet que le nombre i34, appartenant à cette colonne donne les deux diagonales.

yf i34. ii6. 98. 80. 62. 59. 4i.

N^^ i56. 197.28.69. iio. 151.207.