SUR LES COMBINAISONS

En général, on sait que Ton appelle combinaisons simples, ou sans répétition, de n lettres prises p à p> toutes les dispositions de p lettres qui ne diffèrent que par le choix des objets, et non par Tordre dans lequel ils sont placés. On désigne habituellement ce nombre par G*, p , et Ton a

Dans les cours d'algèbre, on démontre ce théorème par la formule du binôme' de Newton, qui donne le développement de(x -+- 1)*, en supposant ensuite x égal à Tunité. Cependant ce théorème sur les combinaisons paraît avoir été connu bien avant la formule du binôme ; voici la démonstration donnée par les anciens auteurs; elle repose sur l'idée fondamentale qui préside à l'accroissement des sciences mathématiques, c'est-à-dire sur Tobservation et sur Tinduction.

Prenons, par exemple, quatre lettres a, b,c,d\ formons toutes

18a Septième récréation.

les combinaisons possibles de ces quatre lettres; ajoutons-y l'unité; nous avons le tableau suivant :

ab, ac, ad, bc, bd, cd, abc, abd, acd, bcd,

abcd.

Le nombre total des combinaisons est 2*; prenons maintenant une cinquième lettre e ; formons un nouveau tableau en ajoutant cette lettre à toutes les combinaisons du tableau précédent, nous avons, en plus,

ae, be, ce, de,

abe, ace, ade, bce t bde, cde, abce, abde, acde, bcde,

abcde.

Le nombre des combinaisons possibles de cinq lettres est le double de celui de quatre lettres ou 2 S , et ainsi de suite. On re* tranche ensuite l'unité du tableau.