DÉFINITION DU TAQUIN

Sur le fond d'une boîte carrée, ou sur un échiquier de seize cases, on place dans un ordre quelconque seize cubes ou pions numérotés de i à 16; puis, on enlève du casier un cube quelconque, de telle sorte qu'il se trouve une case vide. Cela fait, il faut par le glissement des cubes, en profilant de la case vide, ramener les

Fig. 38.

Position fondamentale.

pions dans l'ordre régulier, puis replacer le cube enlevé sur la case vide, de manière à obtenir la position fondamentale reprô j sentée dans la fig. 38.

Huitième récréation.

Supposons que Ton ait placé les cubes sur le fond de la boîte, et enlevé le numéro 16, conformément à l&Jig. 3g, qui est l'une

Fig. 39.

Une position initiale.

des positions initiales. Dans celle-ci, on ne peut déplacer tout d'abord que l'un des cubes numérotés 5, 6, 2 ou 14, en faisant glisser l'un deux sur la case vide ; puis on peut continuer de même. Il y a donc lieu de se demander combien il existe de positions initiales, puis de rechercher si Ton peut ramener à la position fondamentale toutes les positions initiales; enfin quelle doit être la marche à suivre pour résoudre le problème proposé.

Nous démontrerons qu'il existe plus de vingt trillions de positions initiales; on peut donc dire, avec raison, que le taquin est un jeu à combinaisons toujours nouvelles. Plus exactement, le nombre des positions initiales est

on peut ramener la moitié d'entre elles à l'une quelconque des quatre positions directes, dans lesquelles le numéro 1 est placé

Le jeu du taquin.

aux extrémités de la première diagonale du carré [fig. 40 à 43) :

Fig. 40. — Ordre L r

Fig. 41. — Ordre C,.

Fig. 42. — Ordre C 3 .

Fig. 43. — Ordre L 3 .

Les quatre positions directes 4

On peut toujours ramener l'autre moitié à Tune quelconque des quatre positions inverses dans lesquelles le numéro 1 est placé

E. Lucas. — Récréations mathém* i3

Huitième récréation.

aux extrémités de la seconde diagonale du carré (fig. 44 à 47)

Fig. 44. — Ordre L*.

Fig. 46. — Ordre C 4 .

Fig. 45. — Ordre C r

Fig. 47. — Ordre L 4 .

Les quatre positions inverses.

En d'autres termes, nous démontrerons que l'on peut toujours ranger les cubes du taquin ordinaire de seize cases, suivant l'ordre naturel, en plaçant le premier à un coin quelconque du carré, ou au coin adjacent.

Mais, pour la résolution de ces divers problèmes, il est indispensable d'entrer dans quelques explications élémentaires sur

Le jeu du taquin. ig5

la théorie des permutations rectilignes et des permutations circulaires.