LA GEOMETRIE DE SITUATION

Un des hommes à qui les sciences doivent le plus de découvertes, et surtout le plus de vues originales et fécondes, Leibniz, était persuadé que l'analyse des géomètres ne pouvait s'appliquer à toutes les questions de la philosophie naturelle. Pour soumettre au calcul les rapports des différents corps, considérés uniquement dans l'ordre de leurs positions, il souhaitait qu'on inventât une Géométrie nouvelle qu'il a nommée Geometria situs, c'est-à-dire Géométrie de situation ( 1 ). «Après tous les progrès que j'ai faits en ces matières, écrivait- il à Huygens à la date du 8 septembre 1679, je ne suis

(») Histoire de V Académie royale des Sciences de Paris pour l'année 1 771; p. 55.

Introduction.

pas encore content de l'Algèbre, en ce qu'elle ne donne ny les plus courtes voyes, ny les plus belles constructions de Géométrie. C'est pourquoy, lorsqu'il s'agit de cela, je croy qu'il nous faut encor une autre analyse proprement géométrique ou linéaire, qui nous exprime directement situm, comme l'Algèbre exprime magnitudinem. Et je croy d'en voir le moyen et qu'on pourrait représenter des figures et mesme des machines et mouvemens en caractères, comme l'Algèbre représente les nombres ou grandeurs; et je vous envoyé un essay qui me paroist considérable (* ). » Leibniz est revenu souvent sur cette idée fondamentale, notamment dans ses remarques ingénieuses sur le jeu du solitaire, que 'on doit considérer comme le point de départ des remarquables travaux du docteur Reiss et du capitaine Hermary, exposés et développés dans notre cinquième Récréation.

LE PREMIER MÉMOIRE d'eULER.

Euler a consacré plusieurs mémoires à la Géométrie desituation. Dans un travail qui fait partie des Mémoires de l'Académie des Sciences de Berlin pour l'année 1759, et reproduit en français sous ce titre : Solution d'une question ingénieuse qui ne paraît soumise à aucune analyse (*), l'illustre géomètre étudie la marche

( » ) Christiani Hugenii aliorumque seculi X Vil virorum celebrium exercitationes mathematicœ et philosophie**, ex manuscriptis in bibliotheca Academice Lugduno-Batavœ servatis edidit P. J. Uylenbroek; fasc. I, p. 9. HagœComitum, i833. — A partir de la page 6 du second fascicule, on trouve la reproduction de l'essai de Leibniz dont il est question dans sa lettre à Huygens.

( a ) Leonardi Euleri. Commentât iones arithmeticœ collectes. Petropoli; 1849. Tome I, p. 337.

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du cavalier, au jeu des échecs et la manière de lui faire parcourir toutes les cases de l'échiquier sans qu'il passe deux fois sur la même. Bien qu'il n'ait pas donné la solution générale, il a indiqué une méthode qui permet de résoudre le problème en partant d'une case quelconque, parla considération des routes dites rentrantes ou circulaires. Avant lui, cet intéressant problème avait été abordé par trois géomètres français : de Montmort, Moivre, de Mairan. Postérieurement, le sujet fut successivement repris par Lelio délia Volpe; par Vandermonde, qui étend la question à Téchiquier cubique ; par Côllini, par Warnsdorf, par Legendre qui recherche infructueusement, dans sa Théorie des Nombres, le nombre des solutions du problème; par deLavernède,qui donne la méthode des quarts; par Minding, qui publie un important mémoire dans le Journal de Crelle; par Ciccolini, qui indique plusieurs routes rentrantes sur l'échiquier de cent cases et considère aussi l'échiquier circulaire. Plus récemment, les derniers obstacles imposés au saut du cavalier semblent franchis : Wen*zelidès, dans la Schachqeitung de Berlin, construit des routes qui, figurées en nombres, produisent des carrés magiques; de Lavernède, Libri, le docteur Roget, l'abbé Durand, Troupenas, etc., dans la Régence^ dans le Palamède, etc. ; le comte de Basterot, dans son Traité élémentaire du jeu des échecs ;le major Jiaenisch, dans son Traité des applications de l'Analyse mathématique au jeu des échecs, perfectionnent les travaux de leurs devanciers. Enfin, dans ces derniers temps, les résultats les plus nombreux et les plus intéressants sont obtenus par Volpicelli, qui s'occupe de l'échiquier quelconque, carré ou rectangulaire, à Y Académie des Nuovi Lincei; par M. le prince C. de Polignac, dans les Comptes rendus de V Académie des Sciences de Paris;

ni Introduction.

par le révérend A.-H. Frost, dans The Quaterly Journal of pure and applied Mathematics; par M. Flye-Sainte-Marie, dans le bulletin de la Société Mathématique de France; et par M. Laquière, dans sa Géométrie de l'échiquier.

En 1823, C. de Warnsdorf a proposé une règle pour résoudre le problème du cavalier, avec une rigueur scientifique, sans aucun tâtonnement, sans faux pas. Voici la traduction de son énoncé : i° A chaque coup, on joue le cavalier sur la case voisine qui communique par le plus petit nombre d'issues avec la partie encore inoccupée de l'échiquier. 2 Si, à un coup quelconque, il se présente plusieurs cases qui offrent le même nombre minimum d'issues, on est libre de passer sur Tune quelconque d'entre elles. Malheureusement ce procédé ne conduit qu'aux solutions les moins élégantes du problème; son application rigoureuse est assez pénible et les nombreuses infractions que Ton peut commettre, bien que constituant une ressource empirique très précieuse, ne reposent sur aucun principe certain. Mais il faut dtae qu'à défaut d'une démonstration mathématique rigoureuse, le nombre prodigieux d'essais faits jusqu'à ce jour ne permet guère de douter de l'exactitude de la première partie de la règle. Et celle-ci, cependant, n'est pour ainsi dire que la formule, que la Loi de prudence , qu'il y a lieu d'appliquer dans la vie à tous les moments d'indécision, lorsqu'il faut choisir entre plusieurs ' routes, pour parvenir à des positions différentes.

Depuis l'apparition de notre premier volume de Récréations, la Géométrie de situation a fait des progrès notables ; sur le problème particulier du saut du cavalier, de nombreux et importants résultats ont été obtenus par M. l'abbé Joli va ld, dans ses recherches sur les méthodes d'Euler etdeVandermonde; par Exner

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et par M. le vicomte du Ligondès sur la polygraphie du cavalier appliquée à la recherche des carrés magiques. Notre Récréation sur le Jeu de la Fasioulette est consacrée à l'étude de ce problème et aux derniers résultats obtenus par M. l'intendant Delannoy et par M. le général Parmentier.

LE SECOND MÉMOIRE d'eULER.

Un autre mémoire d'Euler ayant pour titre : Solutio problematis ad Geometriam situs pertinentis, est consacré à la solution du fameux problème des ponts de la Pregel. Notre deuxième Récréation, sur le jeu des ponts et des îles, n'est, pour ainsi dire, que le commentaire et le développement de cette étude, qui est devenue le point d'attache d'un rameau de la Géométrie de situation. On donne une figure quelconque formée de points en nombre arbitraire, réunis par des lignes droites ou courbes; quel est le nombre minimum de traits continus, sans arrêt ni répétition, qui sont nécessaires à sa description complète ? Tel est l'énoncé de ce problème général qui sert d'introduction à la théorie des courbes algébriques ou transcendantes, et en particulier aux figures d'un seul trait, aux courbes unicursales. Nous démontrerons, dans notre troisième Récréation, détruisant ainsi le préjugé de Pinextricabilité des labyrinthes, que Ton peut toujours décrire complètement un réseau géométrique quelconque par un double trait continu ; la solution fort ingénieuse que nous exposons est due à la collaboration de Trémaux, ancien élève de l'École Polytechnique.

Pour parcourir complètement, deux fois, toutes les allées d'un labyrinthe, en partant d'un point quelconque, il suffit d'observer

xiv Iutroduct ion .

les règles posées par Tre'maux, en marquant chaque fois le passage aux différents carrefours, à l'entrée et à la sortie; ces règles se résument en celle-ci : Éviter autant que possible le passage des carrefours déjà visités, puis éviter le parcours des chemins déjà parcourus. N'est-ce pas encore une loi de prudence qui trouverait son application dans la vie ordinaire ?

Nous avons donné dans le premier volume de notre Théorie des Nombres, au chapitre VII sur la Géométrie de situation, une étude complète du second mémoire d'Euler. Mais nous avons pu y ajouter une seconde partie dans laquelle il ne suffit plus de déterminer les conditions du tracé des réseaux en un ou plusieurs traits, mais de déterminer, dans chaque cas, le nombre des tracés. Cette partie est autrement difficile que la première; jusqu'à ces dernières années le problème paraissait inaccessible; on ne connaissait qu'un exemple particulier de cette question, traité parle docteur Reiss sous la forme suivante : De combien de manières peut-on placer, en ligne droite, les vingt-huit dés d'un jeu de dominos, conformément à la règle du jeu ? Ce problème revient à celui-ci : De combien de manières peut-on décrire, sans arrêt, ni répétition, le réseau géométrique formé par les côtés et les diagonales d J un polygone régulier de sept côtés, sans fragmenter les diagonales? On se rend facilement compte de l'identité des deux problèmes, après la suppression des doubles, en numérotant par o, 1,2, 3, 4, 5, 6, les sommets de l'heptagone. Mais la solution du docteur Reiss était particulière et vraiment trop longue, difficile à vérifier. M. Tarry, contrôleur des contributions diverses, à Alger, a donné une solution très simple, au moyen de deux beaux théorèmes que nous exposons dans cet ouvrage.

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