II, III, 110, III

On pourrait encore utiliser cette propriété pour la pesée, en répartissant convenablement les poids de i gr , 3 gr , 9 gr , 27»% .... entre les deux plateaux d'une balance, pour évaluer, avec le moindre nombre possible de poids différents, les masses qui peuvent être exprimées en nombres entiers.

Ainsi, avec quatre poids de i gr , 3 gr , 9 gr , 27 gr , on pourra peser jusqu'à 40 gr ; avec les cinq poids de i gr , 3 gr , 9 gr , 27 gr , 8i gr , on pourra peser jusqu'à i2i gr . En général, avec n poids

on pourra peser jusqu'à un nombre de grammes représenté par

i54 Sixième récréation.

l'expression- (3 n — i). La progression géométrique de raison 3

résout le problème énoncé par M. Labosne sous la forme suivante : Trouver une série de poids avec lesquels on puisse faire toutes les pesées en nombres entier 's , depuis i jusqu'à la somme des poids employés, cette somme étant la plus grande possible relativement au nombre de poids ( ' ).

l'éventail mystérieux.

Reprenons le tableau que nous avons construit (page i5i) f et écrivons les uns au-dessous des autres, dans une première colonne à droite, tous les nombres tels que leur dernier chiffre dans le système binaire soit l'unité; écrivons dans une seconde colonne tous les nombres tels que leur deuxième chiffre, à partir de la droite, dans le système binaire, soit l'unité ; dans une troisième colonne, tous les nombres tels que leur troisième chiffre, à partir de la droite, soit l'unité, et ainsi de suite. On peut s'arrêter à une colonne quelconque, à la cinquième, par exemple, les nombres écrits étant limités à 3 1 ,et, en général, pour la n ième colonne à 2* — i . Cela fait, on présente le tableau ainsi formé à une personne quelconque; on lui dit de penser un nombre jusqu'à 3 1 , et d'indiquer ensuite dans quelles colonnes ce nombre se trouve écrit. On devine facilement le nombre pensé en écrivant à la suite

(') Voir à ce sujet la 4 e édition de Bachet, publiée par M. Labosne, p. i54-i56.

La numération binaire.

et de droite à gauche, 1 pour toute colonne dans laquelle le nombre pensé se trouve écrit, et pour toute colonne dany la<juelle ce nombre n'est pas écrit. On a ainsi représenté le no*nWè J pensé dans le système de la numération binaire.

Tableau de Vçventail mystérieux.

IÔ i

i56 Sixième récréation.

On simplifie le calcul, en écrivant au bas des colonnes les puissances correspondantes du nombre 2. Ces nombres sont habituellement écrits sur des cartons disposés en éventail; pour deviner un nombre qu'une personne a pensé, il suffira de lui présenter les cartons l'un après l'autre, en lui demandant si le carton contient le nombre pensé; puis de faire la somme des puissances de deux inscrites au bas de chacun des cartons où le nombre se trouve. D'ailleurs, on pourrait faire un jeu semblable avec les puissances de trois, mais ce serait un peu moins simple.