LES NOMBRES TRIANGULAIRES

Supposons toujours les nombres représentés par des boules juxtaposées en ligne droite et plaçons successivement (Jîg. 1 5 ) le

Fig. i3.

Les triangulaires.

premier nombre sur le second, les deux premiers sur le troisième, les trois premiers sur le quatrième, les quatre premiers sur le cinquième, et ainsi de suite. Nous formons ainsi successivement ce que Ton appelle les nombres triangulaires.

Si Ton veut construire la Table des nombres triangulaires, et la conduire aussi loin qu'on voudra, on écrit sur une première ligne les unités I, i, i, ...; sur une seconde ligne les nombres successifs

V Arithmétique en boules. 27

I, 2, 3, ..., dételle sorte que chaque nombre de cette ligne soit la somme de celui qui le précède dans la ligne et de l'unité i qui est au-dessus de lui; c'est la loi même de formation des nombres entiers.

Unités

Entiers

Triangulaires,

Sur une troisième ligne, on forme la suite des nombres triangulaires en ajoutant au dernier nombre obtenu celui qui se trouve au-dessus dans la colonne suivante; ainsi, par exemple, 28=: 21 -4- 7, et de même pour tous les autres. Pour avoir les cent premiers triangulaires, on a donc à faire cent additions successives de deux nombres.

LA PILE d'obus.

Mais il vient se placer ici tout naturellement une question importante. Comment peut-on déterminer directement le centième triangulaire, ou plus généralement, comment peut-on calculer un triangulaire de rang donné?

On sait que, dans les arsenaux, les projectiles emmagasinés sont de deux espèces : les uns sont des boulets destinés aux pièces lisses; les autres, qui servent à la charge des pièces rayées, ont une forme cylindro-conique. Nous ne nous occuperons pour rinstant que de ces derniers. Une première tranche verticale représente un nombre triangulaire dont le profil est représenté y?^. 16. Pour donner plus de solidité à la pile, on

Deuxième

place plusieurs rangées verticales semblables; et le nombre total des obus est le produit du nombre des tranches par le triangulaire correspondant qu'il s'agît donc de calculer.

Pour cela, considérons, par exemple, le cinquième triangu-

laire et plaçons à côté, en sens inverse {Jîg. 17), le même triangulaire représenté par des boules blanches; nous formons ainsi

un parallélogramme; chaque ligne contient [5 + i ) boules et, puisqu'il y a cinq lignes, le nombre total des boules qui représente le double du cinquième triangulaire est le produit de 5 par 5 4- 1 ou 6; ainsi le cinquième triangulaire est la moitié du produit de 5 par 6.

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