LES NOMBRES CARRES

Plaçons des boules aux sommets de carrés égaux distribués comme ceux des cases d'un échiquier. Nous avons représenté dans layîg-. 19 le carré de 5; ce carré est un nombre rectangulaire dont les côtés sont égaux; par conséquent, le nombre des unités qu'il renferme est 5 X 5 ou 25. Nous savons donc cal-

Fig. 19.

Le carré de cinq.

culer, par multiplications successives, tous les carrés; ainsi le nombre des cases de Téchiquier de 8 cases de côté est 64; le nombre des cases du damier de 10 cases de côté est 100; mais, pour le nombre des sommets de toutes les cases, on doit augmenter le côté d'une unité. Ainsi, dans la^îg*. 19, il y a 16 cases et 25 sommets; de même, le nombre des sommets de l'échiquier est 81, et le nombre des sommets du damier est 121.

Contrairement à ceque nous avons fait pour les nombres triangulaires, nous trouvons i^i tout d'abord le procédé de calcul pour chaque carré pris isolément ; nous allons chercher le procédé par lequel on peut les obtenir par additions successives. Dans ce but, nous déterminerons ce qu'il faut ajouter à un carré pour obtenir le carré suivant; nous avons représenté par des boules

L'Arithmétique en boules. 3[

blanches, dans la ^g. 20. le nombre qu'il faut ajouter à chacun des carrés pour obtenir le carré suivant- Ce nombre, que l'on appelle accroissement^ excès ou différence, est formé d'une ligne brisée il angle droit et renferme successivement 3, 5, 7, 9 unités, c'est-à-dire continuellement 2 en plus; il eu sera toujours de

même, comme il est facile de s'en convaincre. Ainsi les accroissements des carrés sont représentés par les nombres impairs, et l'on voit alors d'une manière évidente que le second carré est la somme des deux premiers impairs i et 3; que le troisième carré est la somme des trois premiers impairs; que le quatrième carré est la somme des quatre premiers impairs, et ainsi de suite. On a donc cette proposition i La somme des premiers impairs à partir de I est égale au carré de leur nombre. On la trouve dans l'Arithmétique de Nicomaque, de Gérase , qui vivait vers la fin du I" siècle de l'ère chrétienne.