LES RESTES DES CARRES

A la seule inspection de la Table des carrés, on reconnaît immédiatement que ceux-ci sont terminés par l'un des chiffres o, 5, I, 4, 6, 9 et ne sont jamais terminés par l'un des quatre chiffres 2, 3, 7, 8 ; cela résulte de ce que le dernier chiffre d'un produit est le même que celui du produit de ses deux derniers chiffres. On peut donc affirmer que si un nombre est terminé par 2, 3, 7, 8^ il ne peut être un carré parfait. On dit que les nombres o, 5, i, 4, 6, 9 sont les restes des carrés par 10, et que les autres sont des non-restes ou des non-résidus.

De même, les triangulaires ne sont jamais terminés par l'un des chiffres 2, 4, 9, 7, parce que leur octuple augmenté de l'unité donnerait pour dernier chiffre un non-reste de carré; ces observations permettent de simplifier dans beaucoup de cas les recherches pour savoir si un nombre est triangulaire ou carré.

LES DÉCOMPOSITIONS d'uN CARRE.

Si nous plaçons au-dessous du Tableau des triangulaires la ligne des carrés, nous obtenons ainsi la nouvelle Table :

Unités I I I I I I I I I I

Entiers 12345678 9 10

Triangulaires... i 3 6 10 i5 21 28 36 46 55

Carrés i 4 g 16 25 36 49 64 81 100

On reconnaît immédiatement que tout carré est la somme du

L'Arithmétique en boules.

triangulaire de même rang et du triangulaire précédent. Cette propriété est visible sur la fig. 22; de même Ia fig. 23 nous-

montre que tout nombre carré est égal à son côté augmenté de deux fois le triangulaire de rang précédent.

LES NOMBRES PENTAGONAUX.

\.3i Jig. 24 représente le cinquième nombre pentagonal; on formerait le sixième nombre pentagonal en ajoutant des boules. au delà du contour EPQR, Ainsi les nombres pentagonaux sont formés par des boules placées sur des enceînies ou contours successifs d'un pentagone régulier ; le premier pentagonal est représenté par la boule A ; le second pentagonal par cette boule et les quatre boules blanches aux sommets du pentagone régulier de côté AB ; le troisième pentagonal par les boules précédentes et celles qui se trouvent sur le pentagone de côté AC, et ainsi de suite.

Puisque le contour extérieur EPQR a trois côtés, EP, PQ,

3fi Deuxiimt rieréation.

QR, on voit que, d'un contour au suivant, le nombre des boules augmente de trois unités. Par suite, le Tableau des pentagonaux se fait comme celui des carrés, mais en remplaçant la première

Fig. 24.

[^ cinquième p«nt>gonal.

ligne des nombres tous égaux à 2, par des nombres tous égaux