SUR LES COMBINAISONS

En général, on sait que l'on appelle combinaisons simples, ou sans répétition, de n lettres prises p à. p^ toutes les dispositions de p lettres qui ne diffèrent que par le choix des objets, et non par l'ordre dans lequel ils sont placés. On désigne habituellement ce nombre par C„,p, et Ton a

Dans les cours d'algèbre, on démontre ce théorème par la formule du binôme de Newton, qui donne le développement de (x + i)", en supposant ensuite a- égal à l'unité. Cependant ce théoième sur les combinaisons paraît avoir été connu bien avant la formule du binôme; voici la démonstration donnée par les anciens auteurs; elle repose sur l'idée fondamentale qui préside à l'accroissement des sciences mathématiques, c'est-à-dire sur l'observation et sur l'induction.

Prenons, par exemple, quatre lettres a, b,c^ d\ formons toutes

Septième récréation.

les combinaisons possibles de ces quatre lettres ; ajoutons-y l'unité; nous avons le tableau suivant :

ab, ac, ad, bc, bd, cd,

abc, abd, acd, bcd,

abcd.

Le nombre total des combinaisons est 2*; prenons maintenant une cinquième lettre e; formons un nouveau tableau en ajoutant cette lettre à toutes les combinaisons du tableau précédent, nous avons, en plus,

ae^ be, ce, de,

abe, ace, ade, bce, bde, cde,

abce, abde, acde, bcde,

abcde.

Le nombre des combinaisons possibles de cinq lettres est le double de celui de quatre lettres ou 2^, et ainsi de suite. On retranche ensuite l'unité du tableau.