LA PRATIQUE DU TAQUIN

Reprenons la permutation des quinze nombres

8, 6, 12, r, 5, 14, 2, II, i3, i5, 4, 9, 3, 10, 7,

et admettons que l'on ait le droit de faire avancer un pion quelconque de deux rangs vers la gauche ou vers la droite ; il est facile de voir que l'on peut ranger tous les numéros dans l'ordre, si la permutation est de première classe. En effet, faisons avancer le numéro i de deux rangs vers la gauche, il arrive au second rang; puis, en déplaçant 8 de deux rangs vers la droite, on obtient

I, 6, 8, 12, 5, 14, 2, II, i3, i5, 4, 9, 3, 10, 7.

Le numéro i est à sa place; faisons avancer à son tour le numéro 2 de deux en deux rangs, il arrive au troisième, et en déplaçant 6 de deux rangs vers la droite, on obtient

I, 2, 8, 6, 12, 5, 14. II. i3. i5, 4, 9, 3, 10, 7.

Le jeu du taquin.

2og

En déplaçant le numéro 3 de deux en deux rangs vers la gauche, puis le numéro 4, on obtient

1,2,3,4,8,6, 12, 5, 14, II, i3, i5,9, 10, 7.

Et ainsi de suite ; de cette façon on peut toujours placer dans l'ordre les treize premiers pions; les deux derniers se trouveront dans l'ordre 14, 1 5, si la permutation est de première classe, et dans l'ordre i5, 14, si la permutation est de seconde classe. Ainsi, par cette manœuvre, on peut ranger une permutation quelconque dans l'ordre

ou dans l'ordre

Cela posé, considérons le taquin de forme suivante (Jiff. 48) :

Fig. 45.

Le taquin élémentaire.

dans laquelle la ligne pleine est une barrière infranchissable; en profitant de la case vide, on peut sans changer l'ordre des termes dans le circuit AHIP, amener un numéro quelconque en B, puis la case vide en O; cela fait, si l'on glisse le cube de B en O, le terme B est avancé de deux rangs vers la gauche du circuit ; par le mouvement inverse on l'avance de deux rangs E. Lucas. — Récréations mathém. 14

Huitième récréation.

vers la droite (*). Par conséquent, il résulte des considérations exposées au commencement de ce paragraphe, que Ton peut toujours amener dans un ordre donné une permutation de même classe; et dans l'ordre donné, à V exception des deux derniers numéros, une permutation de classe différente.

Il est d'ailleurs parfaitement évident que le même procédé de raisonnement s'applique au taquin ordinaire, en restreignant la règle du jeu par l'emploi de barrières figurées par des lignes pleines ; les cases forment alors un circuit fermé {fig. 49).

Fig. 49.

Le taquin gêné.

En résuméj par la considération des cycles, on détermine d'abord la classe de la position initiale donnée; pour plus de commodité, on mettia immédiatement la case vide en G. Cela fait, on rangera facilement les cubes des deux premières lignes ou des deux premières colonnes dans l'une des quatre positions directes ou des quatre positions inverses suivant que la position donnée est de première ou de seconde classe ; il reste ensuite à

(,') Cette de'monstration, très simple, m'a été indiquée par M. Laisant.

Le jeu du taquin.

placer les sept autres cubes dans un taquin élémentaire de huit cases, par la manœuvre indiquée pour le taquin de hjlg 48

On peut encore résoudre le problème du taquin de la manière suivante. On détermine d'abord, par la méthode expéditive des cycles, la classe de la position donnée; si cette position est de première classe, on la ramène, comme il a été dit, à la position fondamentale; si cette position est de seconde classe, on échange deux éléments quelconques; elle devient de première classe et peut encore être ramenée, après cet échange, à la position fondamentale.

On peut remplacer cet échange par l'enlèvement d'un cube situé sur une case de même couleur que la case vide, en le plaçant sur cette case. ^ ^

ORDRE ÏIAGIQUE.

Il existe encore d'autres ordres réguliers pour disposer les cubes du taquin; ainsi on peut les ranger suivant un ordre tel, qu'après avoir replacé le cube enlevé, la somme des numéros soit la même dans toutes les lignes, dans toutes les colonnes et dans les deux diagonales; on obtient alors ce que Ion appelle Y ordre magique. Cette théorie appartient à une autre récréation, \tjeu des carrés magiques, sur laquelle nous reviendrons ultérieurement. Cependant, nous donnerons ici la manière d'obtenir le carré magique pour le taquin de i6 cases.

Pour cela, reprenons la position fondamentale de la/^. 38 ; ne touchons pas aux huit nombres des deux diagonales; échangeons

Huitième récréation.

les autres cubes placés symétriquement par rapport au centre du carré, c'est-à-dire

2eti5, 3 et 14, 5 et 12, 8 et 9. Par ces quatre substitutions, nous ne changeons pas la classe de la permutation, et nous obtenons le carré magique [fig. 5o) :

Fig. 5i.

Fig. 5o.

Ordre magique direct.

Ordre magique inverse.

dans lequel la somme des cubes de chaque ligne, de chaque colonne, ou de chaque diagonale est égale à 34. On peut donc ramener une position quelconque de première classe à cet ordre magique; si la position initiale est de seconde classe, on pourra toujours la ramener à l'ordre magique inverse obtenu en renversant l'ordre des cubes de toutes les lignes {fig. 5 1 ), ou de toutes les colonnes de l'ordre magique direct.

Le jeu du taquin. 2i3