OBSERVATIONS

Symétrique inclinée du n» 9. . .

Symétrique inclinée du n» 8. . .

Symétrique inclinée du n» 18 . .

Symétrique inclinée du n" 19 . .

Réussite C.

Symétrique horizontale du n° 5 .

Réussite D.

Symétrique verticale du no 19 . .

Symétrique verticale du n° 18. .

Symétrique centrale du n" 19. .

Symétrique centrale du n" 18. .

Symétrique inclinée du n" 5. . .

Symétrique inclinée du n° 7. . .

Symétrique inclinée du n° 6. . .

Symétrique inclinée du n° 23 . .

Symétrique inclinée du n° 22 . .

Symétrique inclinée du n" 24 . .

Réussite A.

Réussite B.

Symétrique horizontale du n° 18.

Symétrique horizontale du n° 19.

Symétrique verticale du n° 7. , .

Symétrique verticale du n° 5. . .

Symétrique centrale du n° 5. . .

Symétrique inclinée du n" 10 . .

Symétrique inclinée du n" 1 1 . .

Symétrique inclinée du n" 21 . .

Symétrique inclinée du n" 20 . .

Il nous reste à exposer la succession des coups pour les Réussites A, B, C, D, portant les numéros 18, 19, 5, 7.

Réussite A. — De 51 à 31. — On joue d'abord les treize coups suivants, dont deux triples :

Note VI. 2 35

On ajoute ensuite les trois coups

Enfin, on joue les treize coups suivants, symétriques des treize coups du début. On les obtient en écrivant les treize fractions dans l'ordre inverse, et en retranchant de 8 les premiers chiffres des deux termes de chaque fraction,

Réussite B. — De 51 à 64, — Remplacer les trois derniers coups de la réussite précédente par

Réussite G. — De 24 à 31. — Remplacer, dans la réussite A, les trois premiers coups par

Réussite D. — De 24 à 64. — Remplacer, dans la réussite B, les trois premiers coups par les trois premiers de la réussite C.

NOTE VI, Sur les nombres parfaits.

Nous avons vu (p. i58) que les nombres parfaits proviennent des nombres premiers de la forme N = 2" — i.

Dans la Préface générale des Cogitata physico-mathematica, Mersenne affirme que les nombres premiers N correspondent aux valeurs

236 Note VI.

et qu'il n'en existe pas d'autres pour n plus petit que 257. Il résulte de ce curieux passage, remis en lumière par M. Genocchi, que Mersenne était en possession d'une méthode importante dans la théorie des nombres; mai» cette méthode ne nous est point parvenue. En cherchant à vérifier l'assertion précédente, nous avons d'abord rencontré le théorème suivant :

Si M = 4^ + 3 est un nombre premier^ en même temps que 2M-f-i, te nombre N = 2" — 1 est divisible par 2W + i. Par suite, en consultant la table des nombres premiers, on en conclut que, pour les valeurs de n successivement égales à

II, 23, 83, i3i, 179, 191, 239, 25i,

le nombre N n'est pas premier. Pour d'autres valeurs du nombre premier n, Fermât a trouvé que 2" — i est divisible par 223; Plana a trouvé que 2*' — I est divisible par i3 367; M. Landry a trouvé que les nombres 2*' — i, 2" — I, 2" — I, 2" — r, sont respectivement divisibles par 43 1, 2 35 1, 636 ï et 179 951; enfin M. Le Lasseur a montré que, pour les exposants n

73, 79, 97, ii3, i5i, 211, 223, 233,

les nombres 2^» — i sont respectivement divisibles par

De plus, M. SeelhofF, de Brème, a démontré que 2«' — i est premier, ce qui donne le neuvième nombre parfait.

Il reste donc à déterminer la nature des nombres N pour les vingt-trois exposants

67, 71, 89, loi, io3, 107, 109, 127, 137, 139, 149, 157, i63, 167, 173, 181, 193, 197, 199, 227, 229, 241, 257.

Pour vérifier la dernière assertion de Mersenne, sur le nombre supposé premier 2"' — 1, et qui a 78 chiffres, il faudrait, en se servant des anciennes méthodes, que l'humanité, formée de mille millions d'individus, calculât simultanément et sans interruption, pendant un temps au moins égal à un nombre de siècles représenté par un nombre de vingt chiffres. Nous avons indiqué dans notre Théorie des fonctions numériques simplement périodiques {Journal de Sylvester, t. I, p. 304; Baltimore, 1878), une nouvelle méthode qui permettait à une seule personne de résoudre la question en moins de trois mois, avec VArithmomètre de Thomas.