LE TROISIEME MEMOIRE D EULER

Le troisième mémoire d'Euler a été publié dans les Comptes rendus de la Société' des Sciences deFlessingue; il a pour titre : Recherches sur une nouvelle espèce de quarrés magiques, et commence ainsi : « Une question fort curieuse, qui a exercé pendant quelque temps la sagacité de bien du monde, m'a engagé à faire les recherches suivantes, qui semblent avoir une nouvelle carrière dans l'analyse, et en particulier dans la doctrine des combinaisons. Cette question rouloit sur une assemblée de trentesix officiers de six différens grades et tirés de six régimens dififérens qu'il s'agissoit de ranger dans un carré, de manière que sur chaque ligne, tant horizontale que verticale, il se trouvât six officiers tant de différens caractères que de régimens différens. Or, après toutes les peines qu'on s'est données pour résoudre ce problème, on a été obligé de reconnoître qu'un tel arrangement est absolument impossible, quoiqu'on ne puisse pas en donner de démonstration rigoureuse. » Ce mémoire de 154 pages in-8'' donne, sous une forme intéressante, la solution du problème des carrés magiques. Mais qu'est-ce donc qu'un carré magique?

Écrivons les neuf premiers nombres dans un carré de neuf cases,

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conformément au tableau. Cette figuré possède les propriétés suivantes : i° La somme des nombres renfermés dans la même ligne horizontale est égale à i 5 pour chacune des trois lignes ; 2" la somme des nombres rinfermés dans la même colonne verticale est égale à 1 5 pour chacune des trois colonnes ; 3° la somme des nombres renfermés dans chacune des deux diagonales du carré est encore égale à i5; on dit que cette figure forme un carré magique de neuf éléments. Si l'on écrit les seize premiers nombres dans l'ordre suivant, on obtient une figure telle, que la somme des nombres renfermés dans une même ligne, dans une même colonne, ou dans une même diagonale, est toujours

égale à 34. C'est le carré magique de seize cases qui se trouve déjà représenté dans la célèbre cMelencholia d'Albert Durer, burinée en i5i4 ('). Plus généralement, si l'on dispose dans un échiquier de n} cases, les «^ premiers nombres entiers, de telle sorte que la somme des nombres renfermés dans chacune des n colonnes, dans chacune des n lignes, ou dans chacune des

(') Thausing. — Albert Durer. Sa vie et ses œuvres. Trad. par Grcyer ; Paris, 1878. La date i5i4 se lit sur le carré.

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deux diagonales, soit constamment la même, on forme le carré magique de n- éléments. Ces figures étaient connues bien des siècles avant Euler.

On ne sait pas l'origine des carrés magicjues, mais on attribue leur découverte aux Indiens. Dans la relation de son voyage de 1687, M. de la Loubère, envoyé extraordinaire auprès du roi de Siam, rapporte ce qui suit: «M. Vincent, dont j'ay souvent parlé dans ma Relation, me voyant un jour dans le vaisseau, pendant notre retour, ranger par amusement des carrés magiques à la manière de Bachet, me dit que les Indiens de Surate les rangeoient avec bien plus de facilité, et m'enseigna leur méthode pour les quarrés impairs seulement, ayant, disoit-il, oublié celle des pairs (M. » Cependant il y a beaucoup d'apparence que ces carrés ont tiré leur nom des opérations superstitieuses auxquelles ils étaient employés, telles que la construction des talismans; car, selon la puérile philosophie de ceux qui donnaient des vertus aux nombres, quelle vertu ne devaient pas avoir des nombres si merveilleux ? « Ce qui a donc commencé par être une vaine pratique de Faiseurs de Talismans, ou de Devins, est devenu dans la suite le sujet d'une recherche sérieuse pour les mathématiciens, non qu'ils aient cru qu'elle les pût mener à rien d'utile ni de solide ; les quarrés magiques se sentent toujours de leur origine sur ce point, ils ne peuvent être d'aucun usage; ce n'est qu'un jeu dont la difficulté fait le mérite, et qui peut seulement faire naître sur les nombres quelques vues nouvelles dont les mathématiciens ne veulent pas perdre l'occasion (^). »

(') De la Loubère. — Du royaume de Siam, t. II, p. 237. Amsterdam, 1691. {-) Histoire de l'Académie royale des Sciences pour l'année lyoô; p. 70. Paris, 1706.

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Parmi les savants qui se sont occupés, avant Euler, de ce problème, on doit citer: Moschopulos (^), Agrippa, Théophraste, Paracelse, Cardan, Stifel, Bachetj Kircher, Frénicle, et plus spécialement Fermât, de la Hire et Sauveur (^). Les recherches de Fermât sont consignées dans deux lettres adressées à Mersenne. « En voila assés, écrivait-il, pour donner de l'exercice à M. de Frénicle, car je ne sçay gueres rien de plus beau en l'Arithmétique que ces nombres que quelques-uns appellent 'Flanetarios, et les autres Magicos ; el de fait j'ay veu plusieurs talismans où quelques-uns de ces q narrés rangez de la sorte sont décrits, et parmy plusieurs un grand d'argent, qui contient le 49 rangé selon la méthode de Bachet, ce qui fait croire que personne n'a encore connu la générale, ny le nombre des solutions qui peuvent arriver à chaque quarré; si la chose est sceuë à Paris, vous m'en éclaircirez; en tout cas, je ne la dois qu'à moy seul (^). «Après Euler, on doit citer Franklin, qui donne une nouvelle solution du carré magique de 16- éléments, et invente les cercles magiques. Au XIX* siècle, les principaux auteurs sont : en Allemagne, Mollweide, Hûgel, Pessl qui s'occupe de cylindres magiques; en Angleterre, Horner, Drach, Thompson, Holditch et Frost; en France, VioUe, qui écrit un grand traité sur ce sujet.

Ainsi qu'on vient de le voir, l'étude des carrés magiques était

(') Dans une très intéressante monographie sur les carrés magiques ( Vermischte Untersuchungen, ch. IV), M. Gûnther, membre du parlement de Berlin, a publié le texte grec du manuscrit de Moschopulos, auteur byzantin de la fin du moyen âge.

(-) M. Mansion, professeur à l'Université de Gand, a exposé dans Y Abeille ( t. XVIII, p. 222-225 ) le principe de la méthode de Sauveur qui repose sur la considération des systèmes de numération, et diffère peu de la méthode d'F.uler.

(') Fermât. — Varia opéra mathematica. Tolosae, 1679; p. 175-177.

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regardée, et l'est encore aujourd'hui, comme un jeu d'une extrême difficulté, mais ne pouvant ét-re d'aucun usage; c'était aussi l'opinion de Franklin qui, dans une lettre à Collinson (^'), les appelle « difficiles nugœ ». Au contraire, nous montrerons qu'il n'en est plus ainsi lorsque l'on ajoute aux conditions ordinaires du carré magique de nouvelles conditions telles, que le carré reste magique après une permutation circulaire quelconque des lignes ou des colonnes. En d'autres termes, si l'on divise un tel carré en deux rectangles égaux ou inégaux, par une ligne horizontale ou verticale, le carré doit demeurer magique, après l'échange des deux fragments du carré; par suite, un nombre quelconque du carré peut occuper une case quelconque. Pour les distinguer des autres, nous appellerons ceux-ci Carrés Diaboliques; ils ont été entrevus par de la Hire, Euler et Sauveur. Voici, par exemple, deux carrés diaboliques :

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Ce sont des carrés diaboliques de 16 cases et de 2 5 cases.

(') Franklin. — Experiments and Observations on Electricity, p. 35o. London, 1764.

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Lorsque l'on cherche à déterminer la multitude des carrés diaboliques, on se trouve directement conduit à la connaissance d'une nouvelle fonction numérique dont l'étude trouvera son importance dans l'Arithmétique Supérieure. Mais, à côté de cette application théorique du problème des carrés diaboliques, vient s'en placer une autre plus pratique. En effet, nous ferons voir que notre méthode de construction des carrés diaboliques ne diffère pas de celle que nous avons indiquée, en 1867, pour la construction de l'armure des satins réguliers. En d'autres termes, rétude des carrés diaboliques est le principe arithmétique d'une branche de la Géométrie de situation que nous avons appelée Géométrie du tissage, et dont nous allons indiquer les origines.

LE MÉMOIRE 0E VANDERMONDE.

En 1774, paraissait dans les Mémoires de P Académie des Sciences de Paris pour 1771, sous ce titre vraiment modeste : Remarques sur les problèmes de situation, un remarquable travail de Vandermonde. Ce mémoire débute ainsi ; <( Quelles que soient les circonvolutions d'un ou de plusieurs fils dans l'espace, on peut toujours en avoir une expression par le calcul des grandeurs ; mais cette expression ne serait d'aucun usage dans les arts. L'ouvrier qui fait une tresse, un réseau, des nœuds, ne les conçoit pas par les rapports de grandeur, mais par ceux de situation : ce qu'il y voit, c'est l'ordre dans lequel sont entrelacés ces fils. Il serait donc utile d'avoir un système de calcul plus conforme à la marche de l'esprit de l'ouvrier, une notation qui ne représentât que l'idée qu'il se forme de son ouvrage, et qui pût suffire pour en faire un semblable dans tous les temps. » Le

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but de l'auteur est de faire entrevoir la possibilité d'une pareille notation, et son usage dans les questions sur les tissus de fils ; ce mémoire contient ainsi le germe de la géométrie du tissage, que Leibniz avait aussi entrevue. C'est la véritable introduction à cette géométrie, car on y trouve l'indication importante de l'emploi du système des coordonnées cartésiennes de la géométrie analytique à l'étude de tous les problèmes qui concernent la position indépendamment de la grandeur. Cependant Tidée de Vandermonde appartient plutôt à la géométrie des fils curvilignes ; c'est à celle-ci qu'il faut rapporter les procédés qui servent à tricoter, à fabriquer les filets, les diverses espèces de nœuds en usage dans l'artillerie, dans la marine, dans le tissage, etc. C'est encore à cette géométrie qu'il faut rattacher le problème suivant dont on trouve l'origine dans les Récréations d'Ozanam ( t. IV, p. 222 de l'édition de 1725 ), dans le jeu nommé Sîgillum Salomonis, décrit dans le même ouvrage, et dans quelques autres complications de ficelles, de la nature du nœud Gordien : On dessine sur le papier une courbe fermée contenant des points doubles en nombre quelconque, et l'on suppose que le trait représente un fil continu, sans fin ; puis on indique par un signe quelconque quelle est celle des deux portions du fil qui se trouve au-dessus de l'autre, à chacun des points de croisement. Cela posé, quel est le nombre minimum des nœuds qui resteront formés lorsque l'on cherchera à débrouiller ce fil?

LA TOPOLOGIE DE LISTING.

Dans deux importants mémoires, trop ignorés aujourd'hui, Listing a posé les principes généraux de la Géométrie de situa- E. Lucas. — Récréations mathém. b

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tion. Ses Vorstudien \ur Topologie (1847) ^^^ ^^^ l'objet d'un rapport sommaire dans le Traité d'Electricité et de Magnétisme de Glerk-Maxwell, et d'un exposé élémentaire par M. Cayley, dans le Messenger of Mathematics (1873). Dans son mémoire de 1861, intitulé Der Census raumlicher Complexe, Listing s'occupe de la formation et de la classification des nœuds ; cette idée a été reprise dans plusieurs mémoires présentés à la Société royale des Sciences d'Edimbourg, par M. Tait qui a retrouvé la plupart des résultats de Listing, à propos de l'idée de M. Thomson sur les Vortex-Atoms. La géométrie des nœuds est un des chapitres de la géométrie du tissage.