jour

10« jour

io,t3,i9

II,l4,20

Il,l3,2l

Nous serions heureux de recevoir d'un de nos lecteurs une solution semblable pour un arrangement analogue de trente-trois écolières faisant seize promenades pendant seize jours, en partant de triades types comme i, 12, 23 ; i, 2, 10; i, 3, 16 ; i, 4t 18 ; i, 5, 11 ; 1,6, i3 . ou de toute autre suite de triades formées de la même manière, c'est-à-dire telles que (à l'exception de la première) les différences des indice» qui y figurent soient toutes différentes.

Théorème de Walecki. — Récemment, M. Walecki — cité par M. Lucas — a montré que, connaissant une solution du problème de n élèves faisant des promenades par rangs de trois,

pendant jours, on pouvait en déduire une solution pour le

cas de 3n élèves se promenant pendant ~ (S n — i) jours.

QUESTIONS DIVERSES l33

Car, si on connaît un arrangement des n écolières, ûj, a^, flg...., a„ pour - (n — i) jours ; ainsi qu'un arrangement des n élèves

^j» ^2» ^3»«»«-» Kl et quun nouvel arrangement des n écolières Cj, Cg, C3, c«; ona immédiatement un arrangement de ces 3n

élèves pour - (n — 1 ) jours. Une suite de n triades pour un autre

jour sera donnée par l'arrangement a„ 6,„ ^ jt c^ + j* en faisant m

successivement égal à i , 2, 3, nAcik peut avoir une quelconque

des n valeurs, o, i, 3, 3, [n — i) ; mais chaque fois qu'un indice est supérieur à n, on doit le diviser par n et ne retenir que le reste de Topera tion.

Nous obtenons de la sorte un arrangement pour 1 n H — (71 — i) j

jours c'est-à-dire pour - (3n — i) jours.

L'arrangement de Irois élèves pour un jour est visible. Dès lors, au moyen du théorème de Walecki nous pourrons en déduire aussitôt un arrangement de 3°* enfants pour - (3" — i) jours. D'une

façon plus générale, comme nous avons donné des solutions du problème pour le cas de 3ai enfants quand n= i, 3, 5, 7, 9, i3 et i5, il en résulte que^ pour les mêmes valeurs de n, nour pouvons trouver des arrangements analogues pour 3" X ^ enfants.

Au théorème original, le professeur Sylvester (*) a ajouté comme corollaire que les quinze écolières devaient effectuer leurs promenades pendant i3 X 7 jours pour permettre à toutes les triades possibles de se trouver une seule fois en tête de ligne.

Le problème général consistant à trouver le plus grand nombre de manières de disposer x écolières se promenant en rangs de a de front, de telle sorte que toutes les combinaisons possibles de b

(') Philosophical Magazine, juillet i85o, série 3, vol. XXXVII, p. 52 ; une solution par Silybster est donnée dans le Philosophical Magazine de mai i86i, série 4> vol. XXI, p. 371.

l34 RÉCRÉATIONS MATHÉMATIQUES

d'entre elles marchant de compagnie se présentent une fois, mais une fois seulement, a été résolu pour plusieurs cas. Supposons que y soit ce nombre de dispositions. Il est évident que si les x écolicres peuvent marcher chaque jour en rangs de a de front, x doit être un multiple de a et le nombre des rangs dans chaque promenade quotidienne est égala-. Si un tel arrangement peut se reproduire

pendant z jours, nous aurons la solution du problème consistant à promener pendant z jours x enfants disposés par rangs de a de front de manière que toutes les jeunes filles sortent à chaque promenade et que toutes les combinaisons possibles de 6 d'entre elles marchant de compagnie se présentent une fois seulement. Dans la généralisation correspondante du problème de Kirkman une élève quelconque ne peut être qu'une seule fois la compagne depromenade de toutes ses camarades, mais il ne s'ensuit pas nécessairement que toutes les combinaisons possibles de deux élèves se présentent une fois.

Un exemple pour lequel la solution est évidente est x = an, a = 2, 6 == 2, dans ce cas j = n (2/1 — i), 2; = 2/1 — i»

En prenant a? = i5, a = 3, 6 = 2, nous avons y = 35 et il se trouve que ces trente-cinq rangées peuvent être divisées en sept séries dont chacune contient tous les termes, par suite z = 7.

Plus généralement, avec x = 5 X 3", a = 3, 6 == 2, on , trouve

Il faut remarquer que dans les solutions du problème des quinze écolières et de l'extension donnée ci-dessus, chaque groupe possible de deux enfants se promène une fois, il en résulte donc que, dans ce cas, on aurait pu déterminer z aussi bien que j.

Les résultats mentionnés plus haut ont été donnés par Kirkman (*)

(*) Cambridge and Dublin Mathematical Journal, i85o, vol. V, pp. 255-262,

QUJi.STlOIfS DIVEASES l35

en i85o. Dans Je même mémoire il démontre que si p est un nombre premier, et si x -- p"\ a = p, 6 = a ; on a :

Si a? = (p^ 4- p -f- i) (p -f- i), en supposant que p^ -^ p -^ i

n*ait aucun diviseur moindre que p -h i,a=p-|-i, 6 = a; on

ic'ac — i) a y = -7 ( .

Sia:=p'-i-p-4- i,a=p-h 1,6 = 2, alors y = x.

Et enfin, si a: = i5, a = 3, 6 = 3 ; y = 455, 2 = 91 (Résultat de Sylvcstcr).

Trois ans plus tard Kirkman (*) résolvait le problème pour x = a", a = 4, 6 = 3.

Dernièrement, en i8g3, M. Sylvester {^) a fait connaître une solution pour X = 9, a = 3, 6 = 3 ; dans ce cas y = 84, z = a8. Il a montré qu'une méthode identique s'appliquait au cas de a;= 3*", a = 3, 6 = 3 ; de sorte que neuf écolières peuvent faire vingt-huit promenades (soit quatre par jour pendant une semaine) de telle sorte que chaque jour un même couple ne se présente qu'une seule fois et, qu'à la fin de la semaine, chaque écolière s'est trouvée une seule fois avec tous les couples possibles de ses compagnes.

En 1867, M. S. Billy (') montrait que : pour ac = 7, a = 3, 6 = 2 on avait y = 7 ;

pour ar = i5, a = 3, 6 = 2, on avait y = 35 ;

pour ac = 3i, a == 3, 6 = 2, on avait y = i55 ; et la méthode au moyen de laquelle il trouvait ces résultats donne la valeur de y, pour œ = a"" — 1, a = 3, 6 = 2.

Peu après, M. W. Lea (*) faisait voir que si t = 1 1 , a= 5,

(^) Cambridge and Dublin Mathematical Journal, i853, vol. VIII, pp. 38-42. (-) Messenger of Aiathematics, février 1898, vol. XXIÏ, pp. 159-160. (^) Educalional Titnes Reprints, Londres, 1867, vol. YIII, pp. 32-33. (*) Ibid. 1868, vol. IX, pp. 35-36; et iS-j^, vol. XXII, pp. 74-76; — voir égalemçnt le volume de 1869, vol. XI, p. 97.

l36 RÉGRéATIOlfS MATHÉMATIQUES

6 = 4. on avait j = 66 ; également x=i6, a = 4, 6 = 3, donne y = i4o.

Ce dernier résultat est un cas particulier des théorèmes de Kirkman.

Il faut aussi faire remarquer que ces savants ne se limitèrent pas, dans leurs discussions, au cas où x est un multiple de a.

Récréations faites avec un jeu de cartes. — Nous avons déjà dit dans le premier chapitre de cet ouvrage que Ton pouvait se servir d'un jeu ordinaire de cartes pour expliquer plusieurs tours ou récréations dépendant des propriétés les plus simples des nombres, et dont beaucoup roulent sur la position relative que Ton fait prendre aux cartes. Le principe de la solution consiste à arranger le paquet de manière à amener la carte dans une position bien définie. Un tel arrangement constitue un façon particulière de battre les cartes.

Nous allons traiter successivement comme problèmes dépendant de la manière de disposer les cartes : lez arrangements en lignes et en

colonnes, la détermination d'un couple de cartes choisies parmi - n (/i-f- 1)

couples connus, le problème de Gergonne et enfin le jeu connu sous le nom de la Souricière.

Lie mélange des cartes. — L'opération de battre les cartes exécutée d'une façon régulière conduit toujours à un arrangement pouvant être calculé a priori; mais les tours qui en dépendent exigent généralement beaucoup d'adresse.

Supposons, par exemple, qu'on mélange un paquet de cartes en opérant de la manière suivante (qui est quelquefois usitée). On place la seconde carte sur la première, la troisième sous les deux, la quatrième au-dessus des trois, et ainsi de suite. La théorie de cette façon de battre les cartes est due à Monge (*). Voici quelques-uns

(^) Les recherches de Monge sur le sujet se trouvent dans les Mémoire de V Académie des sciences^ Paris 1778, pp. 390-412.

Parmi ceux ayant fait de nouvelles études sur la question nous citerons

QUESTIONS DIVERSES 187

des résultats obtenus dont il n'est pas difficile de donner Texplication a priori.

Si le paquet contient 6 p -f- 4 cartes, la (2 p 4- a)"* occupera la même position après l'opération qu'avant. Ainsi en battant un jeu complet de cinquante-deux cartes comme on \ient de l'expliquer, la dix-huitième carte ne changera pas.

Ou encore, dans un paquet de 10 /> -f- 2 cartes mélangées par ce procédé la (3 p -h i)"* carte changera de place avec la (6 p -h a)"" ; par exemple, avec un jeu d écarté de trente-deux cartes, la septième carte deviendra la vingtième et la vingtième prendra la place de la septième.

Plus généralement, un seul mélange d'un jeu de a p cartes amènera la carte occupant le rang x^ au rang Xi, les nombres x^ et x^ étant liés entre eux par Tune ou l'autre des relations

= 3 (2p -4- Xo -i- i), OU x^ = -- (ap — Xo -+- 3)»

suivant que x^ est impair ou pair.

Les résultats précédents se déduisent de ces relations. En appliquant successivement ces formules on peut voir que Topéralion de mélanger les cartes m fois a pour effet d'amener la carte qui occupait primitivement le rang x^, au rang x,„ déterminé par la relation

a- -^ * ir« = (l\p -h i) (2»-» di a"'-^ ± ... ... dt a db i) ± a aco 4- a" zh I,

le signe à employer dépendant de la parité de m.

Dans un paquet de n caries, après un certain nombre de mé-

parliculièrement V. BounrAKOwsKi : Bulletin physico-mathématique de Saint- Pétersbourg, 1857, vol. XV, pp. 2o2-2o5, dont les recherches ont été résumées dans les Nouvelles annales de mathématiques, i858, pp. 66-67; T. DE Saint-Laurent : Mémoires de V Académie du Gard, i865; L. Tannek : Educational Times Reprints 1880, vol. XXXIII, pp. 73-75 ; et M. J. Bour- GET, dans le Journal de Liouvillet 1882, pp. 4i 3-434- Les solutions données par le Prof. Tanner sont simples et concises.

l38 RÉGRÉA.TI0!f8 MATHÉMATIQUES

langes, ne surpassant pas n, les cartes reprennent leur position initiale. C'est ce qui arrive toujours aussitôt que la carte qui se trouvait au-dessus à Torigine est revenue occuper cette place. Pour déterminer le nombre de mélanges qu'il est nécessaire d effectuer avec un paquet de ap cartes, il suffit de poser x^ = Xq et de chercher la plus petite valeur de m satisfaisant à Téquation résultante pour toutes les valeurs de a?o, de i à ap. Il s^ensuit que si m est le plus petit nombre pour lequel 4"* — ï est divisible par 4p -h i, wi mélanges sont nécessaires lorsque Tune ou lautre des expressions 2~ -h i, a"» — I est divisible par 4/) -+- i, dans le cas contraire l'opération exige 2 m mélanges.

Pour un paquet de ap H- i cartes, le nombre de mélanges est le même que pour un paquet de ap cartes.

Avec un jeu d'écarté de trente-deux cartes, six mélanges suffisent ; avec un paquet de 2" cartes, /i -h i mélanges suffisent ; avec le jeu complet de 52 cartes, il faut faire 12 mélanges ; avec un paquet de i3 cartes, dix mélanges sont suffisants tandis qu'avec un paquet de cinquante cartes il en faut cinquante ; et ainsi de suite.

M. W. H. Hudson (*) a également montré que, quelle que soit la loi du mélange, si on le répète d'une façon constante en opérant sur un paquet de n cartes, ces cartes reprennent finalement leur position primitive après un nombre de mélanges ne surpassant pas le plus grand possible plus petit multiple commun de tous les nombres dont la somme est égale à n.

Car supposons qu'une certaine position soit occupée après le premier, le deuxième...., lep"" mélange, respectivement par les cartes Al, Aj, A3,..., A^, et qu'au début, cette position soit celle de la carte Aq. Supposons de plus qu'après le p™® mélange, Aq reprenne sa position initiale, par suite Aq = A^. Mais, après le second mélange Ag prend la place de A^ pour la même raison que Aj a pris celle de Aq après le premier mélange ; il s'ensuit donc qu'avant ce mélange Ag occupait la place prise par Aj avant le premier mélange.

(*) Educational Times Reprints, Londres i865, vol. II, p. io5.

QUESTIONS DIVERSES iSq

Par conséquent, les caries qui, après les mélanges successifs prennent la place occupée primitivement par Ai sont A^, A3,..., A^,, Aj ; c'est-à-dire, qu'après le /)^® mélange A^ reprend sa place initiale. Il en est donc de même de toutes les autres cartes A^. A^,..., A^ — i.

Ainsi, les cartes A^ A^,..., A^ forment un cycle de p cartes ; Tune ou Taulre d'entre elles occupe toujours Tune ou Tautre de p positions dans le paquet et elles passent par toutes ces positions après d mélanges. Divisons ainsi le nombre n des cartes en cycles de /),</,r,.., cartes, la somme p -4- î -H r -h,..., étant égale h n , alors le plus petit multiple commun de p*q,r^,,,y représente le plus grand nombre de mélanges qu'il est nécessaire d'effectuer avant que toutes les cartes aient repris leurs positions initiales.

On trouve après quelques essais que dans le cas d'un paquet de cinquante-deux cartes, le plus grand plus petit multiple commun des nombres dont la somme est égale à 52, est 180 180.

Les développements qui précèdent permettent de suivre facilement l'intéressante récréation suivante.

On prend un jeu de 62 cartes que l'on dispose suivant un ordre déterminé : par exemple les i3 cœurs en ordre as, deux, trois,... , roi, puis h la suite les i3 piques, les i3 carreaux et enfin les i3 trèfles, dans le même ordre que les cœurs.

Toutes les faces étant en dessous, la première carte du dessus du jeu est le roi de cœur et la cinquante deuxième carte l'as de trèfle.

Cela fait, on bat les cartes une à une comme il est expliqué cidessus et cela autant de fois qu'on le demande.

Nous avons vu comment on pouvait déterminer après chaque mélange le rang occupe par une carte quelconque connaissant son rang initial.

On donne maintenant à couper autant de fois qu'on le désire et on a soin de regarder la dernière carte du jeu, une fois les coupes terminées.

Supposons que les cartes aient été battues, comme nous l'avons dit, 3 fois, et que la dernière carte du jeu soit le 7 de carreau.

l4o RÉCRÉATIONS MATHÉMATIQUES

Les cartes sont alors disposées une à une sur une table, en commençant par celle du dessus, de manière à former 4 rangées de i3 cartes chacune, sans retourner une seule carte.

La récréation consiste :

1° A déterminer la position d'une carte quelconque, par exemple du valet de cœur, c'est-à-dire à faire connaître la rangée où se trouve cette carte et le n? qu'elle occupe dans cette rangée en comptant de gauche à droite.

2" A nommer la carte qui occupe un n° donné dans une rangée désignée, par exemple le n° 3 de la troisième rangée.

On commence par déterminer le rang qu'aurait dû régulièrement occuper le 7 de carreau, après les 3 battues successives, si on n'avait pas fait couper le jeu.

Au début du jeu le 7 de carreau était au rang 33.

Après la 1" battue cette carte a pris, le rang déterminé par la relation

Après la 2"*® battue, le rang de cette carte est devenu

i (52 -4- 43+ i)=48 et après la 3""® battue son rang est

Car nous avons constaté la présence du 7 de carreau au 42"** rang, il en résulte donc que les coupes successives ont eu pour effet de faire reculer celte carte de 52 — 3 = 49 rangs ou, ce qui revient au même, de la faire avancer de 3 rangs.

Il en est de même de toutes les cartes du jeu qui se trouvent ainsi déplacées d'une quantité constante.

Cela posé abordons les deux questions proposées.

QUESTIONS DIVERSES I^I

1"" problème, — Il s'agit de trouver où est le valet de cœur rang du valet de cœur au jiébut 3

après la i" battue (62 -h 3 -f- i) = 28

après la a"" « - (62 — 28 -f- 2) = i3

après la 3'"« a - (52 4- i3 4- i) = 33

ainsi le valet de cœur occupait le SS"* rang après la S"' battue, et comme les coupes ont eu pour effet de le reculer des 49 rangs ou de l'avancer de 3 rangs, son rang final est

33 + 49 = 82 = 52 -h 3o ou 33 — 3 == 3o.

Le valet de cœur est donc la 4"" carte de la troisième rangée.

2""" problème. — C'est la question inverse.

Nommer la carte occupant le n° 3 de la 3"* rangée.

Cette carte est la 29"*.

Or, elle a été avancée de 3 rangs par suite des coupes, elle était donc la 29 -h 3 = 32"® après la 3"° battue.

Comme 32 X a est plus grand que 52, le rang x^ de la carte au commencement de la 3*"^ battue ou à la fin de la 2"® battue, sera donné par la relation

32 = - (52 4- «0 4- i) d où Xo =^ 64 — 53 = 1 1 .

II X 3 étant plus petit que 52, le rang de la carte au commencement de la 2"' battue ou à la fin de la 1" battue est donné par la relation

1 1 = - (52 — ar^ 4- 2) d'où (Tq = 54 — 22 = 32.

Enfin, le rang de la carte avant la i*** battue sera

l42 RÉCRÉATIOî(S ^tATHÉMATIQUES

La carte était donc au 1 1"® rang au début.

Or, la carte occupant ce rang est le 3 de cœur, donc la 3""° carte de la 3"' rangée est le 3 de cœur.

Arrangement des cartes en lignes et en colonnes. -— Un

tour assez connu et qui peut être considéré comme une façon de mélanger les cartes, repose sur ce fait évident que lorsqu'on dispose n* cartes en carré (de n rangées contenant chacune n cartes) chacune d'elles sera parfaitement déterminée connaissant la rangée et la colonne dans laquelle elle se trouve.

On exécute généralement le tour comme il suit : on demande d'abord dans quelle rangée se trouve la carte choisie et on note la première carte à gauche de cette ligne. Les cartes de chaque colonne sont alors prises, une à une (faces découvertes), en commençant par la carte du haut et sans déranger Tordre des colonnes, de la gauche à la droite, chaque carte ramassée étant placée au fur et à mesure sur le paquet. Renversant alors le paquet, on dispose de nouveau les cartes, faces apparentes, en rangées (de gauche à droite en commençant par Tangle supérieur de gauche) et on demande à la personne qui a choisi la carte de désigner le rang dans lequel elle se trouve. La carte choisie sera à la rencontre du rang désigné et de la colonne verticale commençant par la carte notée qui se trouvait la première à gauche dans le rang indiqué lors de la première disposition.

Nous venons de décrire la manière usuelle de présenter la récréation, mais on y ajoute de l'intérêt en faisant couper le paquet do cartes autant de fois qu'on le désire avant de les distribuer pour la seconde fois, puis en opérant soi-même une coupe à la un, de façon que la première carte dans le paquet soit une de celles qui se trouvaient dans la première rangée.

L'explication est très simple. Supposons un paquet de seize cartes, les figures 5i et 52 ci-dessous représentent le premier et le second arrangements. Par exemple, si, dans la figure i, la carte choisie est dans le troisième rang, c'est évidemment une de celles

QUESTIONS DIVERSES

portant les numéros 9, lo, ii ou 12 ; dès lors celle carte se trouve forcément déterminée, connaissant le rang de la seconde figure dans lequel elle se trouve :

Fig 5i

Fig. 5

Si on fait couper les cartes avant de les disposer pour la seconde fois sur la table, il faut s'assurer d'une façon ou d'une autre que la première carte est un, deux, trois ou quatre ; dans ce cas les caries dans chaque rangée de la figure 62 ne seront pas modifiées bien que la position relative des rangées puisse changer.

Détermination de deux cartes choisies parmi -n(/i + i)

couples donnés (*). — Un autre tour assez commun consiste à disposer sur une table vingt cartes par tas de deux, en invitant une personne de la société h en choisir un. On ramasse alors les cartes et on les place d'une certaine façon sur quatre rangs de chacun cinq cartes. La connaissance du rang ou des rangs où se trouvent les deux cartes pensées permet de les déterminer immédiatement. C'est une conséquence de ce fait que le nombre des produits homogènes à deux dimensions que l'on déduit de quatre éléments est égala dix. Par suite, les produits homogènes à deux dimensions déduits de quatre éléments peuvent servir à la détermination de dix éléments.

(*) Bachet. — Problème XVII, avertissement, p. i46 et suivantes.

l44 BÉCRÉATIOIÎïS MATHÉMA.TIQUES

Plaçons donc sur une table dix couples de cartes en priant une personne d*en choisir un ; puis ramassons toutes les cartes par couple sans les séparer, le premier couple donnant les deux premières cartes du paquet, le second couple les deux suivantes, et ainsi de suite. Les cartes sont alors disposées en quatre rangées de chacune cinq cartes suivant le diagramme ci-dessous.

Les cartes (i) et (a) du premier couple sont mises dans la pre-

0, — 1 j-^ . — 1 I — , mière rangée ; des caries (3) et (4) con- |2357| stituant le second couple, on met la pre- ' — ' ' — " — ' ' — ' micre (3) à la suite de (a) dans la pre- 9 10 11 13 ! niîère rangée, et la seconde (4) dans la l J LU l J l—ll seconde rangée, sous (i). Des cartes (5) 01^ 1^ fîël fïTj ^' (^) formant le troisième couple, on I I I I I I I I place la première (5) à la suite de (3)

01 I I I I I I I ^^^^ ^^ première rangée et la seconde (6) LIJ Lil Cj 13 ^^^^ 1^ troisième rangée, sous (4); et ainsi de suite, comme le représente la figure 53. La première rangée une fois remplie, on procède de même sur la seconde rangée, et ainsi de suite. On se fait alors indiquer la ou les rangées contenant les cartes choisies ; si on ne désigne qu'une seule rangée, la m"' par exemple, celles-ci seront la m"" et la (m -+- i)"' carte de la ligne indiquée. Ces emplacements sont appelés les clefs de la ligne. Dans le cas où les cartes se trouvent dans deux rangées, la p"® et la g"' par exemple, on procède comme il suit : supposons g > p ; alors la carte choisie contenue dans la g"® ligne sera la (q — p)™® au-dessous de la première clef de la p"* ligne. L'autre carte choisie qui se trouve dans la p"® ligne est la (q — p)"^ à la droite de la seconde clef.

La règle de Bachet sous la forme que nous venons de la présenter s'applique à un paquet de n (n + i) cartes groupées par couples et disposées en n lignes contenant chacune n -h î cartes ; car nous

avons - n (n H- i) couples, et on peut également former

QUESTIONS DIVERSES l45

- n (n -h i) produits homogènes à deux dimensions avec n éléments. Bachet donne des figures pour les cas de vingt, trente et quarante cartes, que le lecteur n'éprouvera aucune difficulté à construire lui-même, et la façon dont nous avons exposé le problème pour vingt cartes rend suffisamment compte de la marche à suivre.

Nous avons vu la même récréation reproduite en se servant comme guide d'une sentence au lieu de nombres. Considérons, par exemple, le cas de dix couples, après avoir ramassé les cartes, on les dispose en quatre lignes contenant chacune cinq cartes suivant Tordre indiqué par cette phrase.

Malas dédit nomen Gocîs,

Cette sentence est supposée écrite sur la table chaque mot formant une ligne. La première carte est placée sur Y m de matas, la carte suivante (qui est la seconde du premier couple) doit couvrir la seconde lettre m, et sera, par suite, placée sur Vm de nomen dans la troisième ligne. La troisième carte est placée sur la lettre a du mot matas, la quatrième carte (qui est la seconde du second couple) doit couvrir la même lettre et sera, en conséquence, placée sur la seconde lettre a du même mot ; ces deux cartes sont donc dans la première ligne. Les deux cartes suivantes (troisième couple) doivent couvrir la lettre t de matas et la même lettre t qui se trouve dans le mot dédit de la seconde ligne ; et ainsi de suite. On se fait maintenant indiquer le ou les rangs contenant les cartes pensées. Si on désigne deux rangs, les deux cartes sont sur la lettre commune aux deux mots qui constituent ces lignes. Si on ne désigne qu'une ligne, les cartes couvrent la lettre qui figure deux fois dans le mot de la ligne indiquée.

Le raisonnement saute aux yeux : désignons chaque couple de cartes par les lettres a, c, î, o, c, d^ m, n, s out respectivement, et remarquons que la sentence matas dédit nomen Cocû contient quatre mots de chacun cinq lettres, soit en tout vingt lettres, mais seulement dix lettres différentes, puisque chaque lettre est prise deux fois. Récréations mathématiques, IL lo

l46 RÉGRÉATIOKS MATHÉMATIQUES

Des lors, si deux lignes, ou ce qui revient au même, deux mots sont désignés, il s'agit de deux mots ayant une leltre commune, et si, au contraire, on n'en désigne qu'un seul, c'est un de ceujç conte* nant deux fois la même lettre.

Pour reproduire le tour avec un autre nombre de cartes, il suffi* rait d'imaginer une phrase dans le genre de celle reproduite plus haut.

Le nombre des produits homogènes à trois dimensions pouvant être formés avec quatre éléments est ao, parmi ceux-ci le nombre de produits dans lesquels trois éléments sont différents est 8. Nous pouvons en déduire une récréation analogue à celle que nous venons d'exposer avec huit trios de cartes ou d'objets quelconques. Les caries peuvent être disposées suivant l'ordre indiqué par la phrase

Lanata leveté livini novoto.

Nous pensons que ces arrangements au moyen de sentences sont bien connus, et ce serait certainement perdre son temps que d'en chercher lorigine.

Problème des paquets de cartes de Gergonne. — Avant

de discuter le théorème de Gergonne, nous examinerons le problème bien connu des trois paquets dont l'explication est une conséquence de celui de Gergonne.

Le problème des trois paquets (0« *-*- ^e tour s'exécute gé« néralement de la manière suivante : On prend un paquet de vingt-* sept cartes que Ton distribue sur une table, les faoes apparentes en trois paquets de chacun neuf cartes, mais en effectuant la distribua tion comme il suit : les trois premières caries du paquet total des vingt-sept cartes sont respectivement au premier rang dans chaque paquet partiel de neuf cartes ; les trois cartes suivantes du paquet

(*) Celle récréation esl menlionnée par Bachet, problème XVIII, p. 143, mais l'analyse qu'il en préiente esl insuffisante.

, QUESTIONS DIVERSES 1^7

total sont respectivement au deuxième rang dans chacun des paquets de neuf cartes, et ainsi de suite. Nous supposons de plus que les cartes sont toujours tenues dans la main les faces vues. Le résultat serait modiBé si on adoptait un autre mode de distribution.

On prie alors une personne présente de bien remarquer les cartes au fur et à mesure qu'elles tombent et d'en choisir une par la pensée.

Le problème consiste à déterminer cette carte pensée.

Pour cela, on demande à la personne dans quel paquet se trouve la carte choisie et en ramassant les cartes on place le paquet désigné entre les deux autres.

On recommence la distribution en opérant comme plus haut et en invitant la personne à bien observer le paquet dans lequel se trouve la carte pensée.

Ce paquet désigné, on ramasse de nouveau les cartes en plaçant encore le paquet en question entre les deux autres, puis on fait une troisième fois la distribution en notant bien la carte du milieu dans chaque paquet. Ceci fait, et le paquet dans lequel se trouve la carte étant montré, on peut affirmer que la carte choisie est celle du milieu.

On connaît cette carte et, par suite, on peut terminer la récréation comme on Tentend. Le plus généralement (bien que ce ne soit pas très habile), on réunit une dernière fois toutes les cartes en plaçant toujours au milieu le paquet désigné.

La carte choisie occupe alors le rang 9 H- 5 = i4 à partir de la carte du dessus.

Le tour est souvent exécuté avec quinze cartes ou avec vingt-etune cartes, la règle s'applique à ces deux cas.

Généralisation de Gergonne. — Gergonne (*) a donné la théorie générale de la question pour un paquet de m" cartes.

(*) Annales de Mathématiques de Gergonne^ Nîmes i8i3-4, vol. pp. 376-283.

l48 RÉCRÉATIONS MATHÉMATIQUES

Supposons que les caries soient distribuées conformément à la

règle donnée plus haut en m paquets contenant chacun — = m"*~*

cartes. Après la première distribution, le paquet désigné comme contenant la carte choisie est placé au a™® rang, après la seconde distribution, le paquet renfermant la carte pensée est placé au 6"* rang, et ainsi de suite ; finalement, après la m"* distribution, le paquet où se trouve la carte est placé au /c"" rang. Alors, une fois les cartes réunies en un seul paquet après la m"' distribution, le rang n de la carte choisie, en comptant h partir de la carte du dessus, est donné par la relation n = k.m "»"~* — j,m^-^ -f- -|-

6. m — a -h I, si m est pair et par la relation n = A.m"'-* — j.m^~* -+■ .... — b,m -+- a, si m est impair.

Prenons, par exemple, un paquet de a56 cartes (ce qui revient à faire m = 4) ; si une personne est invitée à choisir une carte, elle pourra être déterminée en faisant quatre distributions successives en quatre paquets de chacun soixante-quatre cartes et en demandant, après chaque distribution, le paquet dans lequel se trouve la carte pensée.

En voici la raison : après le premier partage en quatre paquets, on sait que la carte choisie se trouve parmi les soixante-quatre de de l'un des paquets. Après la seconde distribution, ces soixantequatre cartes sont réparties également entre quatre paquets et, par suite, la connaissance du paquet qui contient la carte pensée nous permet d'affimer qu'elle est parmi seize cartes déterminées de ce paquet. Après la troisième distribution, on sait qu'elle figure parmi quatre cartes connues, et enfin, la quatrième distribution nous fixe exactement sur la carte en question.

De plus, en opérant sur un paquet de 256 cartes, Tordre dans lequel on ramasse les paquets après chaque distribution est indifiérent. Car, supposons que le paquet contenant la carte choisie soit successivement placé au a"*, au 6™", au c"' et au c?™" rangs, après chaque distribution, cette carte occupera dans le paquet formé, en dernier lieu, après la quatrième distribution, le (64.c? — i6.c -f-

QUESTIONS DIVERSES l49

4.6 — a -h i)"' rang à partir delà carte du dessus, elle sera donc parfaitement déterminée. Il n'est même pas nécessaire de ramasser les cartes après la quatrième distribution, car le même raisonnement montre que la carte choisie est la (64 — i6.c-+-46 — a-t- i)"® dans le paquet où elle se trouve. Ainsi, pour a = 3, 6 = 4>c=:i ci d = 3, la carte choisie est la soixante-deuxième dans le paquet qui la contient après la quatrième distribution, et elle est la centvingt-sixième dans le paquet formé en ramassant toutes les cartes.

On peut se servir exactement de la môme manière d'un paquet de 37 cartes et trois distributions successives, consistant chacune à former trois paquets de neuf cartes, suffiront pour déterminer la carte pensée. Si, après chaque distribution, le paquet contenant la carte choisie est classé successivement le a""', le 6""" et le c"'. alors la carte pensée sera la fgc — 36 -f- a)°*' dans le dernier paquet formé de toutes les cartes, ou la (9 — 36-4- a)™* dans le paquet qui la contient après la troisième distribution.

Le principe de la démonstration étant toujours le même, nous nous contenterons de la présenter pour le cas de m = 3, c'est-à-dire pour le cas d'un paquet de 27 cartes distribuées en trois paquets de neuf cartes chacun.

Supposons qu'après la première répartition, le paquet contenant la carte choisie soit placé au rang a dans le paquet total. Alors ce paquet total se trouve ainsi constitué : 1° il commence par a — i petits paquets contenant chacun neuf cartes ; 2° à la suite, viennent neuf cartes dont Tune d'elles est la carte pensée ; 3° il se termine par les derniers tas ramassés.

Les cartes sont distribuées une seconde fois : dans chaque tas formé, les 3 (a — i) premières cartes proviennent de la première partie du paquet total, les trois cartes suivantes sont données par la seconde partie, et les cartes supérieures, 9 — 3 a, sont fournies par la troisième partie.

Supposons, maintenant, que le tas dans lequel se trouve la carte choisie soit classé le 6"'. Le nouveau paquet total des cartes est composé comme il suit :

l5o RÉCRÉATIONS MATHilfATIQUES

lo Le paquet commence par 9(6' — i) cartes; 2** au-dessus se placent (9 — 3a) cartes ; puis, 3" viennent trois cartes parmi lesquelles figure la carte pensée ; et enfin, 4° le paquet se termine par les cartes restantes.

Les cartes sont distribuées une troisième fois ; dans chaque tas, les 3 (6 — i) cartes du dessous proviennent de la première partie (i*)» les (3 — a) cartes suivantes sont fournies par la seconde partie (a*), la carte suivante est une des trois classées dans (3°), et les dernières cartes, au nombre de 8 — 36 -h a, proviennent de la partie (4®).

Dès lors, si, après cette distribution, on indique le paquet dans lequel figure la carte choisie, elle sera la (9 — 36-1- a)"', à partir de celle du dessus. Mais si on ramasse une dernière fois les paquets en plaçant au rang c celui qui contient la carte pensée, cette carte occupera le rang 9 (c — i) -+- (8 — 36 4- a) -h i, à partir de la première du paquet, c'est-à-dire qu'elle sera la (9c — 36 -h a)"'.

Puisque le rang de la carte choisie est connu dans le paquet qui la contient, après la troisième distribution, il est facile de la reconnaître et la récréation peut se terminer d'une façon jjlus intéressante qu'en ramassant toutes les cartes pour les abattre de nouveau.

£n supposant que le paquet contenant la carte pensée soit toujours placé au milieu, on a: = 2, 6 = a, c = 2, par suite, n = 9.c — 36-i-a=i4, et nous retrouvons le tour tel qu'on l'exécute généralement et tel que nous l'avons décrit plus haut.

Nous venons de faire voir que les quantités a, 6, c, étant connues, le rang n de la carte se trouvait déterminé, mais la règle peut être modifiée de façon à faire occuper à la carte pensée un rang assigné, le rang n, par exemple.

La question revient à trouver les valeurs de a, 6, c, satisfaisant à l'équation

dans laquelle les quantités a, 6, 0, ne peuvent prendre que les trois valeurs, i , 2 ou 3,

QUESTIONS DIVERSES l5l

Il résulte de là, qu'en divisant n par 3, le reste de lopération est I ou 2 , ce reste représente donc a ; mais si n est exactement divisible par 3, le reste étant o, on diminue le quotient d'une unité en prenant pour reste 3, dans ce cas a = 3. £n d'autres termes, a est le plus petit nombre positif (o étant excepté), qui doit être retranché de n pour que la différence soit multiple de 3. Représentons par p ce multiple, p est le nombre entier le plus voisin de /i/3 ; on a :

3/) = gc — 36, d*où p = 3c — 6 ; dès lors b est le plus petit nombre positif (o étant excepté), qui, ajouté à p, donne pour somme un multiple de 3, et c est ce multiple.

Deux exemples vont rendre tout ceci bien plus clair. Admettons que Ton demande que la carte pensée sorte la vingt-deuxième à partir de celle du dessus ; dans ce cas 22 = gc — 36 +- a. Le plus petit nombre qui, retranché de 22, laisse une différence divisible par 3 est I , donc a = i .

Ainsi, 22 = 9.C — 3.6 4- i, ou 7 = 3c — 6; le plus petit nombre à ajouter à 7 pour avoir un multiple de 3 est 2, donc 6 =. 2, alors 7 = 3c — 2, c = 3.

En résumé, a=i,6 = 2,c = 3.

Second exemple : proposons-nous d'amener la carte pensée au vingt-et-unième rang; alors 21 = g.c — 36 -i- a.

a étant le plus petit nombre à retrancher de 21 pour que la différence soit divisible par 3, on a : a = 3 et il en résulte 21 — 3 = 90 — 3.6 ou 6 = 3.C — 6 ;

6 est le plus petit nombre à ajouter à 6 pour avoir un multiple de 3, donc 6 = 3, et c = 3.

Ainsi, dans ce cas, a = 3, 6 =r: 3, c = 3.

Dans le cas où l'application de cette règle présenterait des difficultés, on peut opérer comme il suit :

Posons a=ir-i-i.6 = 3 — y et c = «H- i, ac, y etz ne peuvent prendre que les valeurs o, i ou 2 .

Dans ce cas, Téquation de Gergonne prend la forme

l52 RÉCRÉATIONS MATHÉMATIQUES

d'où cette conclusion qu'en exprimant le nombre n — i dans le système de numération à base 3, les nombres x, y, z et, par suite, a, h, c se trouveront déterminés.

La règle, dans le cas d'un paquet de m" cartes est exactement semblable. Si l'on désire faire sortir la carte pensée à un rang assigné à l'avance, le problème consiste à déterminer les quantités a^ 6, c,...., /c, dans la formule de Gergonne, connaissant /i. On peut y arriver en divisant n successivement par m et en partant de cette convention que les restes seront alternativement positifs et négatifs, sans que leurs valeurs numériques puissent surpasser m, ni être inférieures ai.

Le même problème peut aussi se faire avec un paquet de /. m cartes* D' G7 T. Hudson et M. L. E. Dickson (*) ont discuté le cas général en supposant le paquet distribué n fois en l paquets de chacun m cartes et ils ont donné l'ordre dans lequel les divers petits tas devaient être disposés en les ramassant pour amener la carte pensée à occuper le n""* rang à partir de celle du dessus, après la n"' distribution.

Un exemple traité de la même manière que ceux déjà examinés rendra suffisamment compte du principe général de la méthode. Considérons un jeu d'écarté de trente-deux cartes distribuées en quatre tas de chacun huit cartes et supposons que le tas contenant la carte choisie soit placé au rang a. Si, en faisant une nouvelle distribution en quatre tas, on désigne Tun d'eux comme contenant la carte pensée, cette carte ne pouvant être l'une des a(a — i) cartes du dessous du paquet, ni Tune des (8 — aa) du dessus, sera nécessairement une des deux intermédiaires. Le tour peut alors se terminer de bien des façons, par exemple en utilisant le procédé ambigu et bien connu des prestidigitateurs, c'est-à-dire en demandant à une personne de choisir l'une des deux cartes, sans dire à l'avance si la carte désignée sera retenue ou rejetée.

La souricière. — Nous terminons ce chapitre en mentionnant

(*) Educational Times Reprints, i868, vol. IX, pp. 89-91 ; et Bulletin de V American mathematical Society y New- York, mai 1896, vol. I, pp. 184-186.

QUESTIONS DIVERSES l53

simplement un autre jeu de cartes connu sous le nom de « la souricière » et dont la discussion complète par l'analyse algébrique ne laisse pas que d'offrir de réelles difficultés.

Voici comment il se pratique : des cartes portant les n~ i, a, 3,... n sont disposées en rond dans un ordre quelconque et les faces apparentes ; un joueur, partant de Tune d'entre elles et marcbant

toujours dans le même sens, compte successivement i, a, 3 , en

touchant chaque carte. Si la k^" carte touchée porte le numéro k, il fait ce qu'on appelle une réussite, il prend alors cette carte et recommence h compter. D'après Cayley, le joueur gagne si, en opérant comme nous venons de le dire, il enlève successivement toutes les caries, il perd si, chaque fois qu'il compte jusqu'à n, il n'enlève aucune carte.

Considérons, par exemple, le cas de quatre caries seulement disposées dans cet ordre 33i4 ; le joueur partant de 3 et marchant dans le sens des aiguilles d'une montre fera une première réussite sur 2, puis une autre sur i en recommençant à compter, mais il ne fera évidemment aucune autre réussite en continuant le jeu. Si les cartes étaient primitivement disposées dans cet ordre i, 4. a, 3, le joueur les enlèverait toutes successivement dans l'ordre i, a, 3, 4-

On peut étudier la question en se proposant de déterminer les réussites possibles avec un nombre donné de caries ainsi que le nombre de ces réussites, et quelles sont les permutations fournissant un certain nombre de réussites dans un ordre fixé.

Cayley (*) a montré qu'il y a neuf arrangements d'un paquet de quatre cartes ne donnant naissance à aucune réussite, sept arrangements ne fournissent qu'une réussite, trois arrangements en donnent deux, et cinq arrangements conduisent à quatre réussites.

Le Prof. Steen (*) a discuté la théorie pour le cas d'un paquet de n cartes. Il a fait voir comment il était possible de déterminer : 1° le nombre d'arrangements dans lesquels la première réussite se

(*) QuarUrly Journal of Mathematics^ 1878, vol. XV, pp. 8-10. (') QuarUrly Journal of Matliematics, 1878, vol. XV, pp. 280-241.

t54 RéCRÉATIONS MATHÉMATIQUES

fait sur le nombre x (art. 3-5) ; 2^ le nombre d'arrangements dans lesquels la première réussite se fait sur i et la seconde sur ac (art. 6); 3° et le nombre d'arrangements pour lesquels a est la première et x la seconde réussite (art. 7-8)» La théorie en est restée là. Dernière remarque : il est évident que s'il se produit n — i réussites, la n"* 8*en suivra forcément.

Jeu des treize* — Le jeu français des treize présente beaucoup d'analogie avec le précédent.

Il se joue avec un jeu complet de cinquante-deux cartes) les valets, les reines et les rois étant respectivement comptés pour 11, i a et 1 3). Le joueur compte à haute voix i, a, 3,..., i3 en abattant la première, la seconde, la troisième et la treizième carte. Avant la donne, il offre de parier qu'il amènera une réussite dans les treize cartes qu'il va abattre successivement.

On trouve des jeux de patience basés sur le même principe.