NOMBRE

Triangulaire..

Carré

Pentagonal...

Hexagonal. . . .

Heptagonal...

Octogonal

Nonagonal . . .

Décagonal

Les nombres octogonaux donnent lieu à la proposition suivante ! Le triple plus un dhin octogonal est un carré dont le. côté est le triple moins un du côté de V octogonal.

Mais, pour démontrer ce théorème, nous remarquerons d'abord que tout octogonal est égal au pentagonal de même rang augmenté du triple du triangulaire de rang précédent; cette propriété résulte de la décomposition d*un pentagonal par une diagonale menée du sommet qui correspond à l'unité. Cela posé, lajig. 29 nous montre que : Le nonuple plus un dhm triangulaire est un

L'Arithmétique en boules.

triangulaire dont le côté est le triple plus un du côté du premier. Si Ton superpose le côté A2A3 de cette figure sur le côté A2 A3 de \di Jîg. 265 en tenant compte de la décomposition de Toctogonal en un pentagonal et trois triangulaires de rang précédent, on démontre lavant-dernière proposition, car on forme ainsi un losange dont le nombre des boules est un carré.

Par suite, un octogonal ne peut être terminé par l'un des

Fig. 3o.

Le double décagonal.

chiffres 7, 4, 2, 9 ; car, s'il en était autrement, son triple plus un qui est un carré serait terminé par 2, 3, 7, 8; ce que nous avons reconnu impossible.

Les nombres décagonaux AonntnX lieu à la propriété suivante : Le double plus un d'un décagonal est un triangulaire dont le rang est le quadruple moins deux de celui du décagonal.

En effet, tout décagonal vaut un triangulaire de même rang augmenté de sept triangulaires de rang précédent; or, en ajoutant [fig. 3o) l'un des triangulaires ombrés aux sept triangulaires

44 Deuxième récréation.

en boules blanches ou noires, on forme le décagonal. 11 résulte de cette proposition qu'un décagonal ne saurait être terminé par l'un des chiffres 3, 4, 8, 9.