DE L ADDITION ET DE LA MULTIPLICATION DES CARRES

Les carrés magiques se prêtent à diverses transformations générales évidentes :

i<> Un carré reste magique si Ion augmente ou si Ton diminue

Les carrés magiques de Fermât. 97

tous les éléments d'une même quantité; en les diminuant de leur moyenne arithmétique, c'est-à-dire du quotient de leur somme par leur nombre, on peut supposer la constante nulle ; oa introduit ainsi des éléments négatifs, mais cet inconvénient est compensé par la simplification des calculs ;

2<* Un carré reste magique lorsque l'on multiplie ou que Toa divise tous les nombres par une même quantité ;

3<* En ajoutant les nombres des cases correspondantes de deux carrés magiques, on obtient encore un carré magique; dans le cas. où les carrés ne sont pas de même grandeur, mais de même parité^ on peut border le plus petit de quatre, huit, douze, . . . rangées en plaçant des zéros ou des nombres égaux dans les cases ajoutées.

Mais ces transformations altèrent, dans le cas général, les éléments du carré; voici une transformation qui conserve les mêmes nombres lorsque ceux-ci sont complémentaires deux à deux, c'està-dire tels que si on les range par ordre de grandeur et si on les

désigne par

la somme des nombres placés à égale distance des extrêmes soit constamment la même. Ainsi, Ton suppose

a -H a' tzz ^ H- ^' = c -h c' — i 4- i' = . . . = ^.

En effet, considérons un carré magique quelconque formé avec de tels nombres, et remplaçons l'un par l'autre chaque nombre complémentaire. Les éléments d'une même ligne, d'une même colonne ou d'une même diagonale se trouvent remplacés par leurs compléments, et ainsi

E. Lucas. — Récréations mathém., IV. 7

gS Cinquième récréation.

par

la somme de chaque rangée n*est donc pas altérée.

Nous devons faire observer que cette méthode de transformation, que nous appellerons méthode par complément, ne donne pas toujours de nouveaux carrés; ainsi, en l'appliquant à la fig. 5o, on retrouve un carré que l'on pourrait obtenir par rotation et par symétrie. On se rendra facilement compte du résultat pour tout carré en joignant par des droites les centres des cases contenant les nombres complémentaires et en regardant si le dessin obtenu est ou n*est pas symétrique par rapport au centre ou aux médianes du carré.

En prenant quatre nombres a, b, c, d tels que

a-\-dz=zb -^ c.

on dit que ces nombres forment une équidifférence ^ et lorsque l'on prend au hasard les deux premiers a et b, on obtient toujours une équidifférence en les augmentant tous deux d'un même nombre quelconque; si Ton augmente maintenant les quatre nombres a, b, c, d d'une même quantité, on forme une nouvelle équidifférence e,f,g^ h.

Les méthodes de Fermât pour le carré de quatre s'appliquent ainsi à huit nombres a^ b, c, d, e, /, g, h formant une double équidifférence, et à huit nombres complémentaires obtenus en retranchant les huit premiers d'un même nombre s.

>Jyt^^t

Les carrés magiques de Fermât.