PROCEDE DE M. FLEURY

M. Fleury, chef d'institution à Marseille, a publié une petite Note indiquant un procédé assez simple pour décrire les figures d'un seul trait (*). La figure étant tracée à la craie sur le tableau noir, la question consiste à en décrire une pareille, ou à en effacer successivement les lignes avec le doigt ou un chiffon. Pour faciliter l'explication, nous supposerons que c'est un pinceau qui suit et efface à mesure les lignes de la figure donnée et que la figure a deux points impairs. Si tous les points sont pairs, il suffit d'effacer un fragment d'un chemin quelconque, pour donner à la figure deux points impairs. Nous appellerons figure réduite toute figure composée seulement des lignes qui ne sont pas encore effacées; point d'arrivée, le point oti se trouve à un instant quelconque le pinceau qui efface, et point final celui par lequel doit se terminer l'opération. Le point d'arrivée et le point final sont nécessairement les deux carrefours impairs de la figure réduite. Il n'y a qu'au moment où le pinceau passe par le point final que la figure a tous ses carrefours pairs. Pendant toute l'opération, le nombre des points impairs étant nécessairement deux ou zéro, une figure réduite ne peut devenir impossible à décrire

(') Journal de Mathématiques élémentaires, i885, p. 257, —Deux problèmes de Géométrie de situation.

La Géométrie des réseaux et le problème des dominos, i35

qu'en se partageant en deux parties qui ne communiquent plus entre elles. Nous appellerons chemin isolant un chemin réunissant deux carrefours A et B, de telle sorte que la suppression du chemin divise la figure en deux réseaux isolés Tun de l'autre. Gela posé, la règle très sûre et très simple pour décrire le réseau d'un seul trait, c'est de ne prendre un chemin isolant que lorsqu'il n'en reste plus d'autre à prendre.

Cette condition est nécessaire, car, si, arrivé en A, nous prenons le chemin isolant AB, lorsqu'un autre chemin partant du carrefour A n'a pas été parcouru, la figure réduite sera partagée en deux réseaux partiels isolés. La condition est d'ailleurs suffisante, car le point A étant impair, comme point d'arrivée, il devient pair par la suppression du chemin AB, et alors on peut décrire le réseau partiel qui aboutit au point A, et revenir en A, après quoi Ton prendra le chemin AB, pour aller décrire l'autre réseau partiel qui contient le point final; car, si ce point était sur le réseau partiel contenant A, ce réseau n'aurait qu'un seul point impair, ce qui est impossible.

PEREGRINATIONS DUNE FOURMI.

Lorsque l'on prend pour point de départ un point quelconque d'un réseau à carrefours pairs, on peut partir de ce point dans deux sens différents pour revenir au point initial ; par conséquent, le nombre des circuits complets est toujours un nombre pair, et le nombre des circuits est le même, quel que soit le point de dé-

i36 Sixième récréation.

part. Nous donnerons, comme premier exemple, le problème suivant; on pourrait en faire un sujet de fable avec moralité sur la gourmandise : Le Melon et la Fourmi.

Un melon a douze côtes; une fourmi visite successivement les douze vallons qui séparent les côtes et revient à son point de départ. Quel est le nombre des manières d'accomplir ce voyage de pérégrinations? — La fourmi, placée en un point d'un vallon, peut d'abord choisir entre deux sens; mais, arrivée à l'un des pôles du melon, elle a le choix entre onze vallons, et, lorsque l'un de ceux-ci est parcouru, il lui en reste dix autres, et ainsi de suite. Par conséquent, le nombre cherché est le double du produit des onze premiers nombres, ou 39916800. Dans le cas général, pour un melon quelconque, c'est le double du produit de tous les nombres entiers plus petits que le nombre des côtes.

On doit observer qu'on ne trouverait pas le même résultat en partant du pôle d'un melon. En effet, en partant de ce point, on a le choix entre douze chemins, puis onze, puis dix, ...,de telle sorte que le nombre des chemins est égal au produit des douze premiers nombres, c'est-à-dire à six fois le résultat précédent. Mais ces parcours, distincts dans le temps, ne sont pas distincts comme circuits dans Tespace. Il y a une différence de même nature dans le nombre de permutations d'objets disposés sur une ligne droite ou sur une circonférence, ainsi que nous l'avons déjà expliqué dans le calcul du nombre des dîners sur la table ronde (Récr. math.^ t. I, p. 196). Aussi, afin d'éviter toute confusion, nous évaluerons le nombre des circuits d'un réseau en partant d'un point et non d'un carrefour.

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La Géométrie des réseaux et te problème des dominos, 187

L£S RESEAUX A POINTS IMPAIRS.

On ramène la recherche du nombre des tracés ' complets des réseaux à points impairs à la détermination du nombre des circuits des réseaux à carrefours tous pairs, par le théorème suivant :

Pour décrire sans omission ni répétition un réseau ayant 211 carrefours impairs en n traits et n sauts pour revenir au point de départ, on joint ces points de toutes les manières possibles^ en nombre N égal à

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et le nombre cherché est la somme des nombres des circuits des N réseaux à points pairs ainsi obtenus. On observera que Ton ne doit sauter que d'un carrefour impair à un autre impair, et que le nombre des tracés est indépendant de la position du point de départ.