DEVELOPPEMENT DE LA CARTE
Maintenant, renversons le procédé, et enlevons les pièces dans Tordre inverse de leur placement, c'est-à-dire ôtons d'abord celle qui a été placée la dernière, puis celle qui a été placée l'avantdernière, et ainsi de suite; à mesure que nous enlevons une pièce, nous découvrons un district, et la carte se trouvera développée par degrés successifs. Désignons, à une phase quelconque du développement, par F le nombre des districts, par A le nombre des lignes de démarcation, par S le nombredes points de concours de la carte, et par les mêmes lettres accentuées les nombres qu'on obtient en ôtant la pièce suivante :
I** Si la pièce enlevée ne possède ni ligne de démarcation ni
Fig. i3i. Fig. i32.
point de concours, c'est-à-dire si l'on a découvert une île, on a évidemment
2** Si la pièce enlevée n'a pas de point de concours, mais une ligne unique, c'est-à-dire si l'on a découvert une péninsule IJig, 126) ou un district avec deux lignes de démarcation, comme dans la fig, i3i, on a, dans le premier cas,
La Géométrie des régions. i8i
et, dans le second, en supposant distinctes les lignes de démarcation de part et d'autre du district [Jig. 1 3 1 )
y Si la pièce enlevée possède un point de concours oti aboutissent X lignes de démarcation et si le district découvert après Tenlèvement de la pièce a p. lignes de démarcation, on a
Dans chacun de ces trois cas, on déduit facilement
4* Si la pièce enlevée n'a pas de point de concours, mais une ligne unique faisant partie de la ligne de démarcation d'un district-île sur la carte garnie de pièces, de telle sorte qu'après l'enlèvement de la pièce on découvre une des formes àtsfig. 1 18 et 1 32, nous avons, dans le premier cas,
et, dans le second,
S'=:S+2, P — F-hl, A'=iA + 2.
Par suite, dans l'un ou l'autre de ces deux cas,
^^Mr
Septième récréation.
GENERALISATION DU THEOREME DE DESCARTES.
Nous appellerons contour un assemblage de lignes de démarcation telles que deux quelconques d'entre elles sont réunies, soit directement, soit par d'autres lignes du même contour, mais ne se rattachent sur la carte à aucune autre ligne de démarcation; le contour sera simple ou complexe, suivant qu'il se composera d'une ou de plusieurs lignes de démarcation. Chaque contour peut être considéré comme formant une carte partielle isolée sur la carte, et que l'on peut colorier conformément à la condition imposée. Par le procédé de M. Kempe, nous arriverons nécessairement, en garnissant la carte de pièces, à l'une des formes dtsfig. 1 32 et II 8j puis à une île; enfin celle-ci disparaîtra. Dans la marche inverse, on a, à la première phase du développement,
S== o, F= I, A = o, et, par suite
S-+-F~A — I nzo;
à la deuxième phase, d'après la relation [a],
à la troisième phase, d'après la relation [^],
S+F — A— I rzzi,
et à chacune des phases suivantes, d'après la relation [a], [2] s+F— A- i =1,
Dans le cas d'une carte formée seulement d'un contour simple.
La Géométrie des régions. i83
la première et la deuxième phase existent, et la relation [i]a lieu. Mais si la carte se compose de C contours complexes^ on a la relation
c'est-à-dire que, dans toute carte tracée sur une surface simple, la somme des nombres des points de concours et des districts surpasse de V unité la somme des nombres des lignes frontières et des contours complexes.
THEOREME DE KEMPE.
Désignons, à une phase quelconque du développement, par /t,y^, /s, ..., le nombre des districts qui ont i, 2, 3, ... lignes de démarcation, par ^2» ^s? ^4» •••> le nombre des points de concours oti aboutissent 2, 3, 4, ... lignes de démarcation, nous aurons
S —5yH- 534-54 -h ...,
et, puisque chaque ligne de démarcation appartient à deux districts,
D autre part, puisque chaque ligne de démarcation aboutit à deux points de concours, excepté dans le cas des îles qui n'ont pas de point de concours, et des péninsules qui n'en ont qu'un, on
184 Septième récréation.
aura, en désignant par {Xo le nombre des îles et par [Xj le nombre des péninsules (*),
2 A =1 ?. (Xo -1- txi 4- 2 52 4- 3 53 -h .. . ; mais la relation [3] prend la forme
(6 F2-A)-f-(6S— 4A)-6 (C-i-i) = o, on a donc
Les cinq premiers termes de la relation précédente sont seuls positifs; par suite, l'une au moins des quantités y;, fti/zy Jk, f^ ne peut être nulle ; par conséquent, dans toute carte tracée sur une sur/ace simple, il existe au moins un district ayant moins de six frontières.
