SECOND MÉMOIRE
Sur la Détermination de la formule qui représenté
Faction mutuelle dé deux portions infiniment x petites de conducteurs voltaïques.
( La à l'Académie royale des Sciences, le ro juin 182a. )
Lorsqu'on vient à découvrir tin nouveau genre d'action jusqu'alors inconnu , le premier objet du physicien doit être de déterminer les principaux phénomènes qui en résultent, et les circonstances où ils se produisent; il reste ensuite à trouver le moyen d'y appliquer le calcul en représentant par des formules la valeur des forces qu'exercent les unes sur les autres les particules des corps où ce genre d'action se manifeste. Dès que feus reconnu que deux conducteurs vol laïques agissaient Tua sur l'autre, tantôt en s 'attirant, tantôt en se repoussant , et que j'eus distingué et décrit les actions qu'ils exercent dans les différentes situations où ils peuvent se trouver l'un à l'égard de l'antre, je* cherchai à exprimer de cette manière la valeur de la force attractive ou répulsive de deux de leurs élémens ou parties infiniment petites , afin de pouvoir en déduire, par les méthodes connues d'intégration, Faction qui a lieu entre deux portions de conducteurs données de forme et de situation.
L'impossibilité de soumettre directement à l'expérience- C*. fo. / des portions infiniment petites du circuit voltaïque oblige
(t) ûfin. th. « "W- A *7>-*'/.
nécessairement à partir d'observations faites sur des ûh conducteurs de grandeur finie , et il faut satisfaire à ces deux conditions que les observations soient susceptibles d'une grande précision, et qu'elles soient propres à dé* terminer la valeur de l'action mutuelle de deux portions infiniment petites. C'est ce qu'on peut obtenir de deux manières : l'une consiste à mesurer avec la plus grande exactitude des valeurs de l'action mutuelle de deux portions d'une grandeur finie, en les plaçant successivement, l'une par rapport à l'autre, à différentes distances et dans différentes positions ; car il est évident qu'ici l'action ne dépend pas seulement de la distance ; il faut ensuite faire une bypotbèse sur la valeur de l'action mutuelle de deux portions infiniment petites, en conclure celle de l'action qui doit en résulter pour les conducteurs de grandeur finie sur lesquels on a opéré , et modifier l'hypothèse jusqu'à ce que les résultats du calcul s'accordent avec ceux de l'observation. C'est ce procédé que je m'étais d'abord proposé de suivre, comme je l'ai expliqué en détail dans un Mémoire lu à l'Académie des Sciences le 9 octobre 1820 '(Oî el quoiqu'il ne nous conduise à la vérité que par la voie indirecte des hypothèses, il n'en est pas moins précieux, puisqu'il est souvent le seul qui puisse être employé dans les recherches de ce genre. Un des membres de cette Académie, dont les travaux ont embrassé toutes les parties de la physique, l'a parfaitement décrit dans la Notice sur V aimantation imprimée
(1) Ce Mémoire n'a pas été publié à part, m #is les principaux résultats en ont été insérés dans celui que j'ai publié, en 1820, dans le tome xr des Annales de Chimie et dm Physique*
aux métaux par T électricité en mouvement, qu'il nous â ^ lue le 2 avril 1821, en l'appelant « un travail en quel- » que sorte de divination qui est la fin de presque toutes » les recherches physiques (1). »
Mais il existe une autre manière d'atteindre plus directement le même but , c'est celle que j'ai suivie depuis , et qui m'a conduit au résultat que je désirais; elle consiste à constater par l'expérience que les parties mobiles des conducteurs sont, en certains cas, exactement en équilibre entre des forces égales ou des momens de rotation V égaux , quelle que soit d'ailleurs la forme de la partie mobile, et de chercher directement, à l'aide du calcul, quelle doit être la valeur de l'action mutuelle de deux portions infiniment petites , pour que 1 équilibre soit en eifet indépendant de la forme de la partie mobile.
C'est ainsi que j'ai déterminé cette valeur en combinant deux expériences de ce genre ; l'une que j'ai décrite dans un Mémoire lu a l'Académie le 26 décembre 1820, et dans ce recueil, pag. 216 et suiv.; l'autre dont je viens de constater le résultat avec toute l'exactitude possible.
Ce dernier procédé ne peut être employé que quand ? la nature de l'action qu'on étudie donne lieu à des cas d'équilibre indépendans de la forme des corps; il est par conséquent beaucoup plus restreint dans ses applications que celui dont j'ai parlé tout-à-l'heure; mais puisque les conducteurs voltaïques présentent des circonstances où cette sorte d'équilibre a lieu , il est naturel de le préférer à tout autre comme plus direct et plus simple. Il y a d'ailleurs, à l'égard de l'action exercée par ces
(1) Voyez le Journal de* Savons, avril 1821 , page 255.
eorps , un motif bien plus décisif encore de le suivre dans Les recherches relatives à la détermination des forces qui la produisent, c'est l'extrême difficulté des expériences où Ton se proposerait, par exemple, de mesurer ces forces par Je nombre des oscillations d'un corps fournis à leur action ; cette difficulté vient de ce que quand on fait agir un conducteur fixe sur une portion mobile du circuit vol taïque , pes parties de T appareil nécessaire pour établir les communications de cette portion mobile agissent sur elle en même temps que le conducteur fixe, et altèrent ainsi les résultats des expériences : je crois cependant «être parvenu à la surmonter dans un appareil propre à mesurer l'action mutuelle de deux conducteurs circulaires concentriques , l'un fixe et l'autre mobile, par le nombre des oscillations de ce dernier, et en faisant varier la distanee par l'emploi de ditférens conducteurs fixes, dans lesquels on ferait passer successivement 4e courant électrique. Je décrirai ailleurs cet appareil, que je n*ai point encore fait exécuter.
Il est vrai qu'on ne rencontre pas les mêmes obstacles quand on mesure de la même manière l'action d'un fil Conducteur sur un aimant ; mais ce moyen ne peut être employé quand il s'agit de l'action que deux conducteurs voltaïques exercent l'un sur l'autre, et qui doit être le premier objet de nos recherches dans l'étui des nouveaux phénomènes. En effet, les expériences que j'ai communiquées à l'Académie au mois de décembre dernier ont prouvé que V hypothèse par laquelle les physiciens de la Suède 4tf de J' Allemagne avaient cru -pouvoir expliquer l'action que j'ai découverte entre deux
Gis conducteurs, en les considérant comme des assem* Liages de petits aimans situés dans des directions perpendiculaires à leur longueur, est en opposition avec les faits , puisque doux assemblages d aimans ainsi disposes, quelque forme qu'on leur donne, ne peuvent , ni d'après la théorie ordinaire des phénomènes magnétiques, ni d'après celle que j'ai cru devoir lui substituer, ni d'après des expériences variées que fai faites à ce sujet il y a quelques moi* , produire le mouvement continu toujours dans le même sens , et la production de force vive qui se manifeste alors , d'où il suit nécessairement qu'il faut ou regarder l'action découverte par Ai, OErsted entre un conducteur voltaïque et un aimant comme tout-à-fait indépendante de celle que j'ai reconnue entre deux fils conducteurs , ou l'y ramener en considérant , ainsi que je l'ai fait, non pas les conducteurs comme des assemblages d'aîmans transversaux , mais au contraire les aimans comme devant leurs propriétés à une disposition de l'électricité autour de chacune de leurs particules , identique à celle de l'électricité dans les fils conducteurs (i) ,
(i) Il semble d'abord singulier que les mêmes faits qui s'opposent absolument à ce qu'on attribue a l'aimantation transversale toutes les propriétés des conducteurs voltaïques ne s'opposent pas à ce qu'on esplique touies celles des aimans en les considérant comme des assemblages de courans électriques ; j'ai eipliqué la cause de celte différence dans un exposé sommaire des progrès de celte branche de la physique pendant l'année 1821, que j'ai lu à la séance publique de l'Académie du 8 avril 1822, et qui a été inséré dans le 'Cahier de février 1822 du Journal dePhysique % p. 199 et *uiv. de ce recueil ; elle vient de ce que, dam la première hypo-
disposition que j'ai désignée sous le nom de courant élec~ trique, comme l'ont fait la plupart des physiciens qui ont écrit sur ce sujet : or, il est clair que si l'action d'un fil conducteur sur un aimant était due à une autre cause que celle qui a lieu entre deux conducteurs, les expériences faites sur la première ne pourraient rîen apprendre relativement à la seconde , et que si les aimans ne doivent leurs propriétés qu'à des courans électriques
thèse, on devrait nécesairement pouvoir imiter, en employant seulement des aimans disposés convenablement , tous les phénomènes produits par.l'action mutuelle de deux conducteurs, ce qui n'a pas lieu à l'égard du mouvement continu toujours dans le même sens, qu'on ne peut obtenir qu'avec deux conducteurs on avec un conducteur et un aimant ; tandis que , dans ma manière de concevoir l'action magnétique , les courans électriques qui entourent chaque particule d'un aimant formant des circuit* feimés , on ne doit pouvoir remplacer un conducteur voltaïque par un ou plusieurs aimans qu'à l'égard des phénomènes que le conducteur produit également, soit qu'il forme ou non un circuit fermé : or, dans l'expérience où j'ai obtenu le mouvement toujours dans le même sens par l'action mutuelle de deux fils conducteurs , il faut nécessairement, comme je l'expliquerai ailleurs plus en détail , que l'un d'eux ne forme pas un circuit complètement fermé; d'où il suit qu'on peut encore obtenir, comme M. Faraday l'a fait le premier , ce singulier mouvement, en employant un aimant à fa place de l'autre conducteur, mais jamais en remplaçant les deux conducteurs par des aimans ) ce qui s'observe en efFet dans les expériences que j'ai faites à ce sujet, et que chacun peut aisément répéter.
entourant chacune de leurs particules , il faudrait , pour pouvoir calculer les effets qu'ils doivent produire, que l'on sût s'ils ont la même ititensité près de la surface de l'aimant et dans son intérieur, ou suivant quelle loi varie cette intensité ; si les plans de ces courans sont par tout perpendiculaires à l'axe du barreau aimanté, comme je 1 avais d'abord supposé, ou si l'action mutuelle des courans d'un même aimant leur, donne une situation d'autant plus inclinée h cet axe qu'ils en sont à une plus grande distance, et qu'ils s'écartent davantage de son milieu , comme le prouve, la différence qu'on remarque entre la situation des pôles d'un aimant et celles des points qui jouissent des mêmes propriétés dans un fil conducteur roulé en hélice (i).
(i) Je crois devoir insérer ici la note suivante, qui est extraite de Y Analyse des travaux de V Académie pendant Tannée 1821, publiée îe 8 avril 1822. {Voyez la partie mathématique de cette Analyse, pages 22 et 25.)
La principale différence entre la manière d'agir d'un aimant et d'un conducteur vollaïque , dont une partie est rou-* lée en hélice autour de l'autre , consiste en ce que les pôles du premier sont situés plus près du milieu de l'aimant que ses extrémités , tandis que les points qui présentent les mêmes propriétés dans l'hélice sont exactement placés à ses extré- .mités : c'est ce qui doit arriver quand l'intensité des courans de l'aimant va en diminuant de son milieu vers ses extrémités. Mais M. Ampère a reconnu depuis une autre cause qui peut aussi déterminer cet effet. Après avoir conclu de ses nouvelles expériences que les courans électriques d'un aimant existent autour de chacune de ses particules , il lui a
C'est donc par l'observation des «as d'équilibre îndépendans de la forme des conducteurs qu'il convient de déterminer la force dont nous cherchons la valeur. J'en *i reconnu trois : le premier consiste dans légalité des valeurs absolues de l'attraction et de la répulsion qu'on produit en faisant passer alternativement, en deux sens opposés, le même courant dans un conducteur fixe dont on ne change ni la situation ni la distance au corps sur
été aisé de voir qu'il n'est pas nécessaire de supposer, comme il l'avait faU d'abord , que les plans de ces courans sont partout perpendiculaires à l'axe de l'aimant ; leur action mutuelle doit tendre adonner à ce* plans une situation inclinée à l'axe, surtout vers ses extrémités, en sorte que les pôles, jkix l'^u -d*^ être exactement .situés 9 cor n m ** ils d e vraie n t s'y trouver, d'après les calculs détluib des formules données par M. Ampère, lorsqu'on suppose tous les courans de même intensité et dans des plans perpendiculaires à l'axe, doivent se rapprocher du milieu de l'aimant d'une partie ^e sa longueur d'autant plus grande , que les plans d'un plus grand nombre de courans sont ainsi inclinés et qu'ils le sont davanlage, c'est-à-dire, d'autant plus que l'aimant est plus épais relativement â sa longueur, ce qui est conforme à Inexpérience. Dans les fils conducteurs plies en hélice, et dont une partie revient par l'axe pour détruire l'effet de la partie des courans de chaque spire, qui agit comme s'ils étaient paralïèles à l'axe , les deux circonstances qui , d'après ce que nous venons de dire , n'ont pas nécessairement lieu dans les aimans, existent au sontraire nécessairement dans ces fiïsj aussi observe-t-on que les hélices ont des pôles semblables â ceux des aimans, mais placés exactement à leurs extrémités 9 somme le donne le calcul.
( 3oi )
lequel il agit. Cette égalité résulte de la «impie observation que deux portions égales d'un même fil conducteur recouvertes de soie pour en empêcher la communication , tordues ensemble de manière à former Tune autour de l'autre deux hélices dont toutes les parties sont égales , et parcourues par un même courant électrique l'une dans un sens et l'autre en sens contraire , n'exercent aucune action, soit sur un conducteur mobile, soit sur un aimant; on peut aussi la constater à l'aide du conducteur mobile qu'on voit dans la figure 9 <îe la planche première du tome xvui des Annales de Chimie et de Physique, relative à la description d'un 'de mes appareils éleciro-dynaraiques, et qui est représenté ici (pl. 10, fig. a). On place pour cela un peu au-dessous de la partie inférieure de e d' de ce conducteur, et dans une direction quelconque, un conducteur reclilignè horizontal plusieurs fois redoublé AB,jde manière que le milieu de sa longueur et de son épaisseur soit dans la verticale qui passe par la pointe x et autour de laquelle tourne librement le conducteur mobile. On voit alors que ce conducteur reste dans la situation où on le place ; ce qui prouve qu'il y a équilibre entré les jetions exercées par le conducteur fixe sur les deux portions égales et opposées de circuit vol laïque be de, b'c'd'e', qui ne di lièrent que parce que,, dans l'une , le courant électrique va en s approchant du conducteur fixe ÀB, et dans l'autre , en s'en éloignant , quel que soit d'ailleurs langle formé par la direction de ce dernier conducteur avec le plan du conducteur mobile : or, si Ton considère d'abord Jes deux aciions exercées entre chacune de ces portions de circuit voltaïque et la moitié du con docteur
(3oa )
ÀB dont elle est la plus voisine, et ensuite les deux actions entre chacune d'elles et la moitié du même conducteur dont elle est la plus éloignée , on verra aisément , i°. que 1 équilibre dont nous venons de parler ne peut 4ivoir lieu pour toutes les valeurs de cet angle , qu'autant qu'il y a séparément équilibre entre les deux premières Actions et les deux dernières ; 2°. que si l'une des deux premièrts est attractive parce que les côtés de l'angle aigu formé par les portions de conducteur entre lesquelles elle a lieu sont parcourus dans le même sens par le courant électrique, l'autre sera répulsive parce qu'elle aura lieu entre les deux côtés de l'angle égal op- . posé au sommet, qui sont parcourus en sens contraires par le même courant , en sorte qu'il faudra d'abord . pour qu'il y ait équilibre entre elles , que cette attraction et cette répulsion qui tendent à faire tourner le conducteur mobile , l'une dans un sens et l'autre dans le sens opposé, soient égales entre elles ; et ensuite que les deux dernières actions , l'une attractive et l'autre répulsive , qui Vexerceni entre les cotés des deux angles obtus opposés au sommet qui sont les supplémens des premiers , soient aussi égales entre elles. Il est inutile de remarquer que ces actions sont réellement les sommes des produits des forces qui agissent sur chaque portion infiniment petites du conducteur mobile, multipliées par leur distance à 2a verticale autour de laquelle il peut librement tourner; mais comme les distances à cette verticale des portions inGniment petites correspondantes des deux branches bede, b' c d e' , sont toujours égales entre elles, l'égalité des momens rend nécessaire celle des forces.
Le second des trois cas généraux d'équilibre est celui
que j'ai remarqué k la fin de Tannée 1820; il consiste dans l'égalité d'action , sur un conducteur rectiligne mobile , de deux conducteurs fixes , situé$ à égales distances du conducteur mobile , l'un rectiligne et 1 autre plié et contourné d'une manière quelconque , quelles que soient d'ailleurs les sinuosités formées par ce der-* nier. On peut voir, dans les Notes sur l'exposé sommaire des expériences électro-dynamiques (t), faites par ditfe-* rens physiciens en 1821 (pag. 216 et suiv. de ce recueil), la description de l'appareil avec lequel j'ai vérifié cette égalité d'action par des expériences susceptibles d'une grande précision.- J'ai démontré, dans un Mémoire lu, le 4 décembre 1820, à l'Académie des Sciences, en partant de ce fait ainsi constaté, que si Ton nomme p une fonction des trois angles qui déterminent la situation respective de deux portions infiniment petites de rourans électriques , proportionnelle à la force qu'elles exercent l'une sur l'autre à une distance déterminée, lorsqu'on fait varier cette situation et qu'on désigne ces trois angles par a , p , 7 ; a et p étant ceux que les directions des deux petites portions forment avec la ligne qui en joint les milieux, et 7 l'inclinaison mutuelle des plans de ces deux angles ; la fonction p sera nécessairement de la forme
sin. « sin. p cos. 7 -f- k cos. a cos. p ,
(1) Voyez ce que j'ai dit sur la préférence que j'ai donnée à cette dénomination : expériences èlectro - dynamiques , dans les notes qui sont au bas des pages 200 et de cs> recueil.
(■ un. ' V'"- "
h étant un coefficient constant (i). Il me restait h déterminer la valeur de ce coefficient ; je n'y réussis pas daos le temps , je vis sealement , d'après des expériences que j'ai communiquées à l'Académie le n décembre 1820, que cette valeur paraissait être d autant plus petite que les expériences que je faisais pour la- déterminer étaient plus exactes. Comme je ne soupçonnais pas alors que cette valeur fut négative , j'en conclus seulement qu'elle pouvait être regardée comme nulle. J'ai trouvé depuis un troisième cas d'équilibre indépendant de la forme du fît conducteur, d'où résulte une relation entre k el l'expo* sant de la puissance de la distance de deux portions infiniment petites de courans électriques , à laquelle leur action mutuelle est réciproquement proportionnelle qu^nd cette distance varie. La description de l'appareil avec lequel j'ai constaté ce nouveau cas d'équilibre, et le calcul par lequel j'en ai conclu la relation dont je viens de parler, sont le principal objet du Mémoire que j'ai l'honneur de présenter à l'Académie. Mais comme ce cafcul ne peut se faire qua l'aide d'une transformation par laquelle j'ai exprimé la fonction des trois angles a, p, y, que je viens de nommer p, en différentielles partielles de la distance des deux portions infiniment petites de courans électriques que Ton considère , je crois devoir d'abord expliquer cette transformation.
(0 La quantité que je représente ici par A est désignée
par ^ dans le Cahier de 'septembre du Journal de Phy-
tique, année 1820, oii j'ai inséré la démonstration dont il est ici question , et qu'on trouve avec plus de détail dans ce recueil, page 225.
Soit BM et B'M (pl. 8, fig. i4), doux ligne»
représentant des fils conducteurs, et qui seront en général deux courbes à double courbure \ supposons que s et s' représentent les arcs BM et B M'., comptées depuis les points fixes B et B\ Mm — ds, M'm'z=.ds , seront deux portions infiniment petites de ces conducteurs, et leurs directions seront déterminées par les deux tangentes M T et M T' : en nommant r la distance MM', r sera évidemment une fonction des deux variables indépendantes s et s \ si Ton abaisse des points m, m\ les perpendiculaires me, mV, sur MM\ qui pourront £irc considérées comme de petits arcs de cercles décrits respectivement des centres M' eiM, et qu'on prenne les angles a et p , de manière qu'ils aient leur ouverture tournée du même côté, comme je Fai supposé dans le calcul de la valeur dep, l'angle a étant pris, par exemple, entre la direction M T de Mm et le prolongement MK £e M'M , et l'angle p entre la direction M' T' de M' m' et la ligne MM elle-même, on aura ces deux équations :
dr
cos. a ~ — , ds 1
C Os.p=-.,
parce que le point M reste fixe quand s varie seul dans la fonction r, et le point M quand c*est on tire de là , dr dr , .
cos.«cos.p = -^. 35,(1).
(t) On trouverait :
„ dr dr cos. a cos. B = — . — - ,
si Ton prenait pour a et p les angles MMT> MM 1 T f dont
En différenciant la valeur de cos. p par rapport à S , on trouve :
/ sin. p = - — as r ds ds 1
maïs quand le point Af est transporté en m et que s devient par conséquent s-\~ds, l'angle p diminue évidemment 9 tant que l'angle 7 des deux plans M M T, MM' T\ est aigu , d'une quantité qui est la projection de l'angle MM' m sur le plan MM' T' ^ et comme cet angle est infiniment petit , on a :
dp = — M M' m cos. y ;
valeur qui s'applique aussi au cas où 7 est un angle obtus, parce qu'alors p augmente avec s, lis l'angle MM m a pour mesure :
me êssvn.a.
ainsi ,
fLê sin. a cos. 7
d'où il suit que :
sm. a sm. p cos. 7 = — r ^
les ouvertures sont tournées en sens contraires ; mais te résultat du calcul ne serait point changé parce que ce changement de signe de cos. a cos. p entraînerait celui de la valeur de ft quand on déterminerait k , et donnerait par conséquent la même valeur pour
sin. a sin. p cos. 7 + A cos. a cos. p.
Ën substituant ces valeurs de sin. a sin. p cos. y et iê cos. a cos. p dans celle de p , on obtient :
dfjr i-f-Ar ds ds'
Ir
Comme, c'est la quantité
sin» a sin. p COS. y A cos. a cos. p ,
que nous avons représentée par p, on a cette formulé de trigonométrie analytique qui pourrait peut-être recevoir d'autres applications :
sin. a sin. S cos. 7 + A cos. a cos. p = — —7- —3 — 77 Si l'on y suppose k = 1 , elle devient 2
sin. a sin* p cOs< 7 + cos * a cos ' P = 375? '
et si Ton représente par x, y, z, trois coordonnées rec*-" tangulaires du point M, et par x' , y', z t celles dw point M rapportées aux mêmes axes, x,y, z, varieront seules avec s, et x, y\ V avec s' 3 d'où il suit, à cau9#\ de
r , fa?' — ar)- + (r' — rV+C*'-*V
que
, rf Cï) dx' dy' . , dz?
et que
\2/ dy dy' dz dz'
' d&ds* ~~~~dJ 77 "~ 57 "57 ~ 57 77 »
on aura donc :
. - . * <£.r dx' dr dy' dz dz'
■m. « «n. p cos. r + co». m^—--^ — ,
qui est évidemment la valeur du cosinus de l'angle formé par les directions de M m et de Mm'; le cosinus de cet angle se trouve ainsi égal à
sin. a sin. p cos. y + cos. a cos. p 5
ce qui est d'ailleurs évident par le principe fondamental de la trigonométrie sphérique.
Si l'on nomme i et *' les actions exercées à la distance i dans la situation où
«c=p = jetyc=o,
cè qui donne p= i , par deux portions des fils conducteurs Bflf et B' M' égales à l'unité de longueur, sur Une portion égale à la même unité d'un troisième conducteur dont 1 énergie électro-dynamique soit prise pour l'unité des énergies respectives des divers conducteurs , et qu'on désigne par n l'exposant de la puissance de la dfstance de deux portions infiniment petites de conducteurs, à laquelle leur action mutuelle est réciproquement proportionnelle. quand œjte distance varie seule,
( 3og )
il sera aîsé de voir, d'après ce que j'ai donné sur ce sujet dans le Cahier de septembre du Journal de Physique et dans ce Recueil , pag. ii5 et suivantes , que les intensités d'action des deux petites portions de conducteurs que j'ai nommées g et h dans la note du Journal de Physique , seront représentées ici, à cause que leurs longueurs sont ds et ds\ par ids et i ds'^ et que leur action mutuelle le sera par
p i i' ds ds n
l'exposant n étant égal à i , si cette action est , toutes choses égales d ailleurs, en raison inverse du carré de la distance, comme je l'ai admis dès mes premiers travaux sur les phénomènes éfectro-dvnamiques, en me fondant, à la vérité , plutôt sur l'analogie que sur des preuves directes.
En remplaçant dans cette expression la fonction p par ses valeurs trouvées ci-dessus, elle devient :
4 V ds' ) . •/ J i i
• r t — k— n — . — - 11 as as ,
' ds
OU
— — — — n fa as' *
i-f-À ds ds
Si 1 on désigne , conformément à une notation employée dans divers ouvrages , et notamment dans le TrQ*té çfe Mécanique de M. Poisson (tome i, art. 191), pat dr }a différentielle de la distance r relative ai} déplacement du point M, et par d' r la différentielle de U m$roe
(3io)
tance relative au déplacement du point M', en sorte que ce qui , d'après la notation ordinaire , est exprimé par
— as* ds '
le soit par dr, que ds f soit remplacé par d' V, et que
te soit par d r, on pourra écrire ces deux valeurs ainsi :
— ii< r l ~ n - k d(r k d'r), ii>r l - n - k dd> {S**)
On pourra se servir de celle de ces deux valeurs qui , dans chaque cas particulier, conviendra mieux an but qu'on se propose; la première est la plus commode dans le cas où je m'en suis servi pour déterminer la relation entre n et k qui résulte de ma nouvelle expérience. Pour faire usage de ces formules , on calculera la valeur de r en fonctions des six coordonnées des deux points M et M\ soit que ces coordonnées soient trois droites perpendiculaires , ou deux droites et un angle, ou deux angles et une droite, et on en déduira, par de simples différenliations , les valeurs des différentielles partielles de r qui entrent dans la formule qu'on emploie, en ayant soin de ne faire varier que les trois coordonnées du point M dans les différentiations marquées par le signe d, et que celles du point M' dans les différentiations quereprésentelesignecT.
(3ti)
Un des avantages de la valeur que nous venons do trouver pour p consiste à ce qu'on peut n'exécuter, relativement aux coordonnées qu'on a choisies, que la différentiation relative au changement de position d'tm. des points M ou M\ et se contenter d'indiquer l'autre , ce qui simplifie beaucoup les calculs dans certains cas, comme on le verra quand je déterminerai la valeur de k d apr$s le fait nouveau que j'ai observé et qui me reste à expliquer. f
Ce fait peut être énoncé ainsi :
Un circuit fermé circulaire ne peut jamais produire de mouvement continu toujours dans le même sens , en agissant sur un conducteur mobile d'une forme quelconque qui part d'un point de l'axe élevé perpendiculairement sur le plan de ce circuit par le centre du cercle dont il forme la circonférence , et qui se termine à un autre poiut du même axe, lorsque le conducteur mobile ne peut se mouvoir qu'en tournant autour de cet axe. • Pour s'en assurer par l'expérience , on adapte à la lige T T ! (fig. 16) une coupe annuitaire O qui est isolée de la tige par un tube de verre Mm , et qui communique avec la coupe S ' par l'équerre en cuivre NnS".
La spirale représentée fig. a , à l'aide de laquelle on produit le mouvement continu dans l'appareil (Gg. i), plonge par ses deux extrémités dans les coupes S" et S w (fig. 16). Le conducteur mobile appuyé par la pointe K dans la coupe S' se compose de deux parties KFGH et KEDB égales et semblables pour que la terre n'agisse pas sur ce conducteur 5 rlles sont réunies par un cercle BH concentrique à la tige TT' : h ce cercle est attachée une pointe A qui plonge dans le mercure de la coupe O. On établit les commit
( 3ia )
ni cations en plongeant, par exemple , le rhéophore positif dans S H le rhénphoie négatif dans S' X courant se partage alors entre les deux directions ST KE DBAOKS" et STKFGHAONS 1 ' arrivé ainsi dans la coupe S"> il parcourt la spirale LL L" (6g. a), et se rend dans la coupe S™ (fig. 16), où Ton fait plonger l'appendice L w M m ( figure a ) . et qui est en communication avec l'extrémité négative de la pile par le rhéophore jrenant de cette extrémité qu'on y a fait plonger. Tout étant ainsi disposé, le conducteur mobile B DEFG H ne tourne plus d'une manière continue comme celui de la fig. i , mais il ne prend aucun mouvement ou bien il oscille autour d'une position d'équilibre stable. On s'assure aisément que l'action serait complètement nulle si la spirale était construite avec une parfaite régularité ; niais comme il est difficile qu'il' en soit ainsi, on voit varier la position d'équilibre avec les irrégularités de la spirale , et quand on fait un peu changer la forme de cette spirale, en la pressant avec la main, on a une nouvelle position d'équilibre; mais, dans aucun-cas, on ne peut produire de mouvement continu (i). Il convient, pour que les actions des portions S T 9 nS", sur le conducteur mobile se détruisent mutuellement, que, quand on fait
fi) J'ai trouvé depuis que l'action est encore nulle lorsqu'on remplace le conducteur spiral faisant plusieurs tours , chacun d'une circonférence entière , par un conducteur CUEFG (pl. io, fig 2) plusieurs fois redoublé , et rlont la portion D E F forme un demî-cercîn don^le centre est dans l'axe du conducteur inohîle xbcdefb'c'de'fy % comme les portions CDy FG ne peuvent, d'tprès ce qui a été. dit < png. 3ui ), € igir sur ce conducteur mobile , il ne reste que l'action de la dçmi-ç'ii conférence D E F sur la portion la plu
cette expérience, ces deux porlions soient placées Tune au-dessous de l'autre, à la plus petite distance possible.
Considérons maintenant un courant circulaire horizontal dirigé en M' < v fig. i5) suivant la tangente M 7", et agissant sur une portion infiniment petite d'un conducteur mobile BM, assujetti à tourner autour de la verticale A Z passant par le centre A du cercle dont le courant horizontal parcourt la circonférence et dont nous nommerons le rayon a; AZ étant pris pour axe des z, la verticale MN sera l'ordonnée z du point M, prenons pour les deux autres coordonnées de ce point là distance AN=u, et l'angle XAN—t y en nommant t' l'angle X A M' 9 on aura évidemment :
r' t =MJ)/'+NM'*z=z->-\-a-'+u' 1 — lau cos.(*' — t),
expression où t' varie seul quand le point M' se déplace , en sorte que
aud' t' s'm. (t' — /) r 7
et que l'action d'une portion infiniment petite du courant horizontal située en M' sur une portion inûnîment petite du conducteur B M située en M, est représentée
par
— aii'r "-"-* d 'id( r*~\ <s in. (»' — «))»
voisine bede dont les deux extrémités sont dans l'axe, action qui, d'après l'expérience , n'impriiue à cette portion aucune tendance à tourner toujours dans le même sens, quelque soit sa position relativement au diamètre servant de corde au demi-cercle , d'où il suit évidemtneent que la même chose aurait lieu pour un conducteur fixe formant un arc de cercle quelconque, ainsi que je l'ai supposé dans le calcul qui doone )a relation 'eulre n et k.
si on décompose cette force suivant la ligne MO perpendiculaire au plan A M JS K , et qu'on abaisse du point sur le rayon A IV K la perpendiculaire M' K ~ a sin. ( V — t) , qui sera évidemment parallèle à MO, ii faudra, pour avoir la composante suivant AIO? multiplier la force suivant MM y dont nous venons de trouver la valeur par
ce qui donnera :
—aùïd'ïr n ~ h s\n.(i--t)d £ r *~~ 1 usin.(Y — t)};
en multipliant celte quantité par la distance MQ = u du point M à Taxe AZ , on aura, pour le moment d« rotation :
—a*ii'd't'r~ n ~ k uB\n.(t , — t)d{ r usin.(*'— f)J :
telle est l'action exercée par le petit arc ds' du conducteur fixe horizontal pour faire tourner le petit arc ds du conducteur mobile autour de cet axe; en l'intégrant relativement aux différend elles désignées par d, on aura » cette action telle qu'elle est exercée par le petit arc ds' sur tout le conducteur mobile : or. d'après l'expérience qui prouve que celle action est nulle toutes les fois que «es deux extrémités sont dans l'axe, il faudra que l'intégrale-soit nulle toutes les fois qu'elle sera prise entre deux limites pour lesquelles « = o, quelle que soit d'aillcuri la forme du conducteur mobile et sa position rela- i iivcincntau petit arc ds' situé en /V/', c'est-à-dire, quelles que soient les valeurs de r cl de t en fonctions de u qu'il
faudrait subsituer à r et à t pour intégrer de u — o k u—o, si cette quantité n'était pas une diflercnlielfe exacte par rapport aux trois quantités r, t,u, qui varient avec la position du point M: or, on sait que pour que la valeur d'une intégrale soit ainsi indépendante des relations des variables qui y entrent, et reste toujours la même entre les mêmes limites , il faut qu'elle se présente sous la forme d'une différentielle exacte entre ces variables considérées comme indépendantes , ce qui ne peut avoir lieu ici à moins qu'on n'ait :
ou
Telle est la relation que l'expérience démontre exister entre k et n. Quand n = 2 , on a À" = — \ , mais quelle que soit la force des analogies qui portent à penser que n est en effet égal à 2 , on n'en a aucune preuve déduite directement de l'expérience, puisque toutes les expériences faites à ce sujet' l'ont été en faisant agir un conducteur voltaïque sur un aimant , et ne s'appliquent par conséquent que par une extension qu'on ne peut regarder comme une démonstration complète, à Faction mutuelle de deux portions infiniment petites de courans électriques.
La relation ci-dessus donne :
1 ' Digiti. C ' >gle
ou à
ii r dd ( r )
Dans la séance du 24 j u » n 1822, je lus, à l'Académie royale des Sciences, une noie additionnelle à ce Mémoire , où je tirai de ma formule mise sous cette forme deux résultats remarquables : le premier s'obtient lorsqu'on décompose la force que l'élément ds exerce sûr l'élément ds\ dans la direction de ce dernier, en la multipliant par
ce qui donne
LLfd'rdiSd'r),
dont l'intégrale, par rapport à d, est:
Je *
,5, r) + C = iii'r h d' s' cos.' p+C,
qu'il faut prendre entre les limites marquées par les deux extrémités du conducteur BM(Rg. i4). Si ce conducteur forme un circuit complètement fermé , les valeurs de r et de cos. p seront les mêmes aux deux limites, puisque ces limites se trouveront au même point , et l'intégrale sera par conséquent nulle, d'où il suit que la résultante de toutes les actions exercées par un circuit fermé sur une petite portion de conducteur est toujours perpendiculaire à la direction de cette petite portion. Je remarquai , à ce sujet, qu'il en devait être de même d'un assemblage
(Sïj )
quelconque de circuits fermés , et par conséquent d'un aimant, lorsqu'on le considère comme tel, conformément à mon opinion sur la cause des phénomènes magnétiques , et c'est en effet ce qui résulte de plusieurs expériences dues à divers physiciens.
Le second résultat consiste en ce que la valeur de À* élant négative (i), l'expression de l'action mutuelle de deux portions infiniment petites de courans voltaïques ,
H' (sin. a sin. (5 cos. y *\- k cos. a cos. ) devient négative quand on suppose que les deux angles a
(r) En vertu de l'équation k—: , la voleur de k *i'est
négative qu'autant que n est plus grand que ï ; c'est pourquoi, avant d'avoir vérifié, par V expérience décrite (pag* 285), que celte valeur est en effet négative, je m'étais assuré que celle de a est plus grande que i. Pour cela, après avoir trouve , par un calcul très-simple, que quand on suppose n=i un conducteur fixe, de quelle forme qu'il soit , ne peut exercer aucune action sur un conducteur circulaire situé dans le même plan, et que l'action entre ce conducteur circulaire et un conducteur rectiiigne doit être attractive ou répulsive poor une même position de ces conducteurs , suivant que n est plus grand ou plus petit que i , j'avais fait ceUe expérience dés le mois de mai 1822 , et j'avais constaté que l'acjion dont il s'agit n'est pas nulle , et qu'il résulte du sens dans lequel elle a lieu , que n est plus grand que 1 , et que k est par conséquent négatif, en me servant du conducteur mobile, représenté en xabcdej ghiky (pl. 10, fig. 3), sur Isquet je fanais agir le conducteur vertical 4B. l# figure que j'en donne ici me parait suffisante pour qu'on en ait une idée complète , et pour qu'il soit inutile d'en donner une description détaillée.
et p tournés du même côté sont nuls -, en sorte que ici deux petites portions doivent se repousser quand elles se trouvent sur une même droite , et qu'elles sont dirigées vers le même point de l'espace ; j'en tirai cette conclusion que toutes les parties d'un même courant rectiligne se repoussent mutuellement , que c'était probablement la cause des effets connus du moulinet électrique * qu'ainsi ces effets devaient être considérés comme le premier phénomène électro-dynamique observé, et qu'on ne devait plus les expliquer comme on le fait communément.
Quoique les deux petites portions de courans électriques ne soient alors dirigées dans le même sens qu'en apparence, et qu'on doive plutôt les considérer comme parcourant en sens contraire les deux côtés d'un angle de 200 0 , la répulsion, dans ce cas , était une chose si inattendue qu'il était nécessaire de la vérifier*, on a vu plus haut (page a85) que j'ai depuis fait celte expérience avec M. Auguste de La Rive, et qu'elle a complètement réussi. Nous observâmes ensemble , le 9 septembre i8aa , que la répulsion a lieu en effet entre un courant établi dans le mercure, et ce même courant prolongé dans un fil conducteur flottant, soit qu'il passe du mercure dans le fil ou du fil dans le mercure • en sorte qu'il est impossible d'attribuer ce phénomène, parfaitement semblable à celui du moulinet élec trique , excepté que l'air est ici remplacé par le mercure , aux causes auxquelles on l'a attribué jusqu'à présent dans le seul cas où on lavait observé, celui où il a lieu dans l'air.
