SUR LA LONGUEUR DU PENDULE A SECONDES

Faites en différent points de tare du méridien qui s'étend depuis l’ilede Fomentera , la plus australe des P ilhiuses , jusqu’à Unst, la plus boréale des lies Shetland.

Dass ces expérience», on a pijs pour modèle le travail lait par Borda et le» commissaires du Bureau des Longitudes, sur la longueur du pendule simple, à Paris; travail achevé sous le rapport de la précision et du choix des procédés, et dont nous ne nous sommes écartés qu’autant que l’exigeaient les circonstances et l’isolement absolu où nous nous trouvions dans la plupart de nos stations.

Tous nos résultats sur la longueur du pendule, ayant été obtenus par un ensemble d’opérations uniformes , excepté ceux de Londres , qui ont été conclus par le transport dedeux pendules de comparaison , il suffira d’en donner une seule fois le détad. C’est ce que nous ferons à la station de Fomentera, la première oùuous avons commencé ce genre d’opérations.

(*) Dans la méthode de Borda, le pendule simple est formé par une boule de platine suspendue à un fil de métal (fig. i); l’extrémité inférieure du fil est serrée à vis dans le bouton d’une calotte sphérique de cuivre, de même rayon que la boule, et qui, appliquée sur sa surface avec un peu de suif, y adhère en vertu de la pression de l’atmosphère et du contact parfait résultant de la sphéricité ; l’autre bout du fil est attaché à la queue d’un couteau de suspension (fig. 3) lequel oscille sur un pland’agathe (fig. 3), que l'on rend bien horizontal, en posant sur sa surface un petit niveau de verre, sans monture. On accordcpréalableuient la masse du couteau, de manière que ses oscillations soient à très peu prés synchrones à celles de l'horloge sur laquelle on se propose de régler le pendule total. Cela se fait par le mouvement d’un j>elit bouton vissé sur la tcle du couteau, et qui, en se tournant ou se détournant, s’approche ou

(*) Ce qui va suivre est extrait en grande partie d'une note lne à l'Institut par l'un de nous, le 37 juin 1808, quelque teius après son retour de Formentera; nous avons préféré cette exposition à une rédaction nouvelle, parce qu'elle donne la preuve des soins que, dès-lors, nous avion* pris pour obtenir des résultats exactsj

44a EXPÉRIENCES SLR LA LONGE EUR

s’éloigne du plan de suspension. Quand le synchronisme des oscillations partielles est aussi approché que l’on peut l’obtenir par cette méthode, on suspend au couteau le fil et la boule, eu donnant au fil une longueur telle que les oscillations de tout le système diffèrent peu de celles de l’horloge, et par conséquent de celles du couteau seul. Cette condition remplie, on peut démontrer également par le calcul et par l’expérience, que la masse du couteau n’a, sur la longueur du pendule, qu’une influence absolument insensible; ce qui vient de ce qu’alors son centre de gravité étant excessiv ement près du plan du suspension, le système total du couteau, de la boule et du fil n’a plys qu’un effort infiniment petit à exercer pour achever de régler exactement les oscillations propres du couteau, et les accorder avec celles île tout le système.

Le pendule ainsi disposé, on établit, à sept ou huit mètres de distance une lunette fixe, dont l’oculaire porte à son foyer un fil fixe et vertical. On dirige ce fil sur celui du pendule dans l’état de repos; et l’on a fixé, dans la même direction , sur la lentille de l’horloge, aussi en rqios, un petit cercle de papier qui sert d’index; ces préparations terminées, on met l’horloge en oscillation , et on ne l’arrête plus. Quand sa marche est bien assurée, on commence à faire osciller aussi le pendule. S’il se mouvait exactement comme elle, il se retrouverait toujours dans la même position par rapport à l’index, dans toutes les oscillations consécutives; mais ce cas n’arrive jamais , et le pendule va plus ou moins vite que l’horloge ; s’il va plus vite, il ne reste qu’un instant d’accord avec l’index , après quoi il le dépasse, s’eu écarte, y revieut en sens contraire, le dépasse de nouveau, et après s’en être écarté encore, revient coïncider une seconde fois avec lui, et suit son mouvement d’oscillation pendant un instant. La Innette «pii sert- pour observer ces écarts et ces coïncidences grandit l’arc décrit par le pendule et par l’horloge , augmente leur ritesse apparente , et permet ainsi de juger les époques des coïncidences avec beaucoup de précision. Entre deux coïncidences consécutives, le pendule gagne ou perd deux oscillations sur l’horloge, et une simple proportion fait connaître combien il doit en gagner, ou en perdre, pendant toute la durée d’un jour moven solaire. On fait, à ce résultat, une petite correction dépendante de l’amplitude des arcs, parce cjue le lems des oscillations dans les grands arcs, est plus considérable que dans les petits arcs jet, quand ceux-ci n’excèdent pas i ou a degrés, la différence est sensiblement proportionnelle à la seizième partie du carré de leur sinus. Dans des ampli-

■tudes plus considérables la formule de correction est un peu plus compliquée. Au moyen de cette correction on ramène toutes les oscillations observées , à être des oscillations infiniment petites, et l’on connaît ainsi le nombre de ces oscillations que ferait le pendule d’expérience, dans un jour solaire moyen.

Dans ces expériences , il est d’une importance extrême de connaître exactement la température du fil qui soutient la boule, car sa longueur, et par conséquent celle du pendule meme, est une fonction de cot élément; en outre, comme mi fil métallique qui offre beaucoup de surface et peu de masse, est beaucoup plutôt affecté par les variations de température que ne le sont les thermomètres les plus sensibles, il (kut tâcher que ces variations soient très petites et très lentes, pendant les expériences , afin de pouvoir les bien connaître; enfin, il fout préserver le pendule des petites agitations que l’air ambiant pourrait lui imprimer. Pour remplir celte dernière condition , nous enfermons tout l’appareil, et l’horloge même qui sert à fixer les coïncidences , dans une grande cage vitrée qui l’igolede la masse d’air de la chambre où l’on opère, el nous observons les coïncidences à travers les vitres qui composent ses parois. De plus , nous suspendons dans cette cage, à peu de distance du fil du pendule , deux thermomètres bien sensibles , el dont la marche a été exactement vérifiée; l’un répond à son extrémité supérieure, l’antre à son extrémité inférieure ; et, à chaque coïncidence que l’on observe, on lit, à travers le vitrage, leurs indications. De cette manière, la cage ne s’ouvre jamais pendant que le pendule est en mouvement, et que les coïncidences s'observent, ce qui troublerait la régularité de ses mnuvernens; on n’y pénètre que lorsque la série entière des coïncidences est terminée. Par le même motif, lorsque nous commençons une série, oc qni exige que nous ouvrions la cage pour faire osciller le peudulo, nous avons toujours soin de le mettre en mouvement loin d'une coïncidence, afin que la régularité du mouvement oscillatoire ait le tems de s’établir entre l’instant où l’on a refermé la cage, et celui où la coïncidence arrive. Pour mettre le pendule eu mouvement nous ne faisons qu’écarter la boule de la verticale, dans un plan perpendiculaire à l’axe horizontal de son couteau de suspension, en tenant le fil légèrement tendu , puis nous abandonnons la ‘boule à l’action de la pesanteur, el nous examinons si le mouvement d’oscillation est bien plan; s’il ne l’est pas, nous arrêtons la boule, et nous recommcn-

çons jnsqu’à ce (juc cette condition soit satisfaite; quand elle paraît l’ètre nous refermons la cage et nous venons encore regarder , après quelques instans, à travers ses parois latérales, pour voir si elle se soutient toujours; c’est seulement lorsque toutes ces conditions sont remplies que nous commençons à observer les coïncidences, et que nous déterminons leurs inters ailes, comme'nous l’avons dit plus haut; et, au moment où chacune d’elle arrive, nous notons l’état du baromètre, celui des thermomètres, tant dans la chambre d'observation que dans la ca<’e, et enfin, l’amplitude d’oscillation du pendule, laquelle se mesure d’après les limites de l’excursion du fil , observées sur une échelle horizontale divisée, que nous avons préalablement établie fixement de même que le fil, à une distance comme du plan de suspeusion.

Reste maintenant à mesurer la longueur du pendule depuis le plan de suspension jusqu’au bas de la boule de platine. Pour cela , on dispose d’avance sous cette boule un petit plan mctalhque bien poli, parfaitement horizontal, et qui peut s’élever ou s’abaisser verticalement, au moyen d’une vis dont les pas très serrés permettent les plus petits mouvemens {voyez tîg. 4)-Quand les coïncidences sont finies, ououvre la cage vitrée, et on élève doucement ce plan jusqu’à ce qu’il vienne en contact avec la boule de platine. 11 fautégalementéviterderélevertrop, ccquisoulevcrait la boule, et donnerait un pendule trop court (*), ou de ne pas l’amener jusqu’au contact, ce qui donnerait un pendule troplongjmais, en prenant pour indice la disparition d’un trait de lumière entre le plan et la borde, à leur point commun de tangence, on parvient, avec un peu d’adresse, à fixer le contact avec la dernière rigueur (**) ; jxmrtant cela ne se fait jamais d u premier coup : car l’introduction de l’observateur dans la cage vitrée,

(*) N. B, On conçoit que ce soulèvement détruisant l’effort de traction exercé par la boule sur le fil , doit permettre à celui-ci de revenir à ses dimensions primitives , et le force ainsi à se raccoucir subitement; mais en outre , M. Arago a remarqué que ce raccourcissement ne disparait point tout à coup quand on cesse de soulever la boule , de sorte que le El ne revient à son extension primitive que peu à peu , et après un certain teins.

(**) Pour rendre l’observation plus sûre, on peut placer une feuille de papier blanc au-delà de la boule4 de manière qu’elle réfléchisse la lumière des nuées entre elle et le plaD de métal , et établir du côté de l’observateur un verre convexe qui agrandisse cet intervalle. J’ai employé avec avantage ce procédé dans les mesures d’Ecosse et des lies Shetland.

nü PENDULE A SECONDES. 445

quelque courte qu’ellesoit, élève toujours tout soit peu la tem|>ératiire de l’air qui s’y trouve contcuu , et par suite celle du fil qui prend cette température à l’instant meme, d’où résulte un petit accroissement de sa longueur dont il fout se méfier. C’est pourquoi , au lieu d’établir le contact du plan et de la boule, dans cet état accidentel du fil , que les thermomètres intérieurs moins sensibles (pie lui, n’accuseraient pas peut-être avec assez d’exactitude, il vaut mieux se bffrner à le préparer, en approchant le plan extrêmement près de la houle sans la toucher cette fols, puis observer le point où s’arrête l’index de la vis qui le meut ; après cela , sort ir de la cage vitrée et la fermer jusqu’à ce que la température intérieure et les thermomètres qui la mesurent, aient eu le tems de revenir à un état stationnaire. Alors on rouvre de nouveau la cage, et l’on achève d’oj)érer le contact en un instant , ce qui est facile, parce qu’il ne reste plus qu’un très petit mouvement, et un mouvement à peu près prévu à donner an plan de contact; à cet instant, ou plutôt avant d’entrer dans la cage vitrée, on note la tempéra turc des thermomètres intérieurs, et l’on attribue cette température au fil pour Je moment du contact.

La distance du plan de suspension au bas de la boule est ainsi fixée d’une manière désormais invariable , au moins pour un espace de tems fort considérable, puisque les supports du plan île suspension sont fixés dans la muraille même, et que ceux du plan de contact sont scellés dans une grosse pierre dépendante de cette muraille , ou enfoncée dans le sol (*). Reste donc à mesurer cet intervalle au moyen d’une règle métallique divisée ; mais jtour pouvoir déterminer la longueur d’une semblable règle, il faut que ses extrémités soient libres; et si elle est libre, comment appliipier son sommet juste au niveau du plan de suspension ? Dorda a résolu très heureusement cette difficulté, en adaptant à l'une des extrémités de la règle un couteau de suspension , qui s’y fixe de manière à la toucher par son tranchant (voyez fig. 5). Veut-on mesurer la longueur de la règle? on ôte le couteau et on applique la règle sur le comparateur. Veut-on mesurer la longueur du pendule? on remet

(*) D'après cela , il est d'une importance extrême que le sol ne bouge pas quand l'observateur s'approche pour effectuer la mesure. Afin d'éviter jusqu'au soupçon de cette possibilité , nous avons fini par construire autour do pendule un plancher soutenu •nr des points du sol éloignés de la pierre qui porte le petit plan avec lequel on opère le contact de la boule , de manière à rendre cet appareil tout-à-fait indépendant de nos mouvement.

le' couteau et on suspend la règle ainsi armée sur le plan de suspension du pendule même. Dans nos exjtériences , le couteau s’adapte à la règle au moyen d’une gaine en métal ; ou enfonce la règle dans cette gaine jusqu’à ce qu’elle touche le couteau , après quoi on la fixe dans cette position , au moyen d’mie forte vis de |>ressioii , désignée par V, et qui se serre à l’aide d’une queue de fer (*). I! ne reste plus qu’à varier la longueur decetterègle, de manière à la rendre exactement égaleàla distance actuelle, qui se trouve entre le lias de la boule et le plan de suspension. A cet eflet , dans les expériences de Borda , la règle portait dans sa partie inférieure une languette divisée, d’un mouvement libre , qu’il laissait tomber sur le plan de suspension ; quand les observations de coïncidences étaient terminées on ôtait le pendule, on lui substituait cette règle dont on laissait tomber lu languette ; alors, en lisant à la loupe les divisions de la languette, on connaissait la distance du bas delà boule à l’axe de suspension. La règle employée par Borda était de platine; elle avait, ainsi que son pendule, environ 4 mètresde longueur; les divisionsde la languette donnaient des ,,e‘oTo~ de toise; le vernigr donnait les dixièmes, par conséquent des douzecenlièmes de ligne à fort peu près. Borda avait déterminé la longueur de cette règle en fonction de la règle n* i , qui a serv i à la mesure des bases, etqu’ila comparée aussi à la toise du Pérou. Os comparaisons, d’une exactitude extrême, nous auraient rendu cette règle bien précieuse, si nous avions pu l’employer dans nosexpéiienccs; mais un transport long et pénible, à travers des montagnes , et dans des chemins presque imprat icables , l’aurait probablement altérée ou fléchie , ou au moins La possibilité de ces aecidens aurait toujours jeté sur les observations quelque donte dont il auiail été impossiblcdese débarrasser. Nous nous sommes donc déterminés

(*) Notre couteau est fait d'acier Ireoipé , et à tranchant vif ; il faut donc que la tète de la règle soit aussi d'acier trempé , afin que te tranchant du couteau ne puisse pas y pénétrer ; car si cela arrivait, le sommet de la règle se trouverait élevé audessus du pian de suspension , et 1a longueur mesurée serait plus grande que celle du pendule; il faut aussi que le contact du couteau avec la règle soit bien sûr, car s’il existait le moindre intervalle entre drux, la longueur mesurée serait trop courte; aussi avons nous toujours eu soin d'observer si le passage de la lumière était intercepté entre le couteau et la règle avant et après la mesure. Pour mieux faire cette vérification, M. Arago a proposé de percer dans la tete du couteau un trou dirigé perpendiculairement à l'axe du couteau, ce qui permet d'observer son contact, meme quand il est suspendu. Cette modification a été depuis employée dans tous les appareils que l'on a construits , et j'eu ai fait usage dans Us observations du nord.

à employer une autre règle , plus courte à la vérité, niais plus portative(*); elle est en fer, très solide, et n’a que «",70 de longueur ; la languette n’est point libre, et ne porte point de vernier; mais, lorsqu’elle est entièrement ren trée, on a tra cé en mèm e tems, sur elle et sur la barre, des div isions égales . Cette règle étant suspendue à la place du pendule d’expérience, on fait sortir peu à peu sa languette a u moyen d’une vis de rappel , j usqiv’à ce qu’elle v ienue eu contact avec le petit plan d’acier qui a touché la boule. On s’aperçoit que le contact est exact, en observant la disparition d’un rayon de lumière, et lorsqu’en écartant un peu la règle de la situation verticale, elle frotte légèrement sur le plan dans la partie inférieurede son oscillation ; alors ou serre une vis de pression qui arrête la languette dans celle position invariable , cl on relire la règle ; mais ici , comme pour le contact de la boule, 1’opéralion ne se fait pas en une seidc fois; ou attend que la barre, d’abord un peu échauffée irrégulièrement par les mains de l’observateur , ail eu le teins de reprendre une température Cxe, d'accord avec celle de l’air environnant. Pour cela, on amène d’abord la languette au point de toucher le plan, et même de le loucher un peu trop ; de sorte qne la règle en oscillant sur le plan , s’arrête un peu hors de la verticale; alors on soi t de la cage vitrée; on la referme, on attend que la température, que la présence de l’observateur a toujours un peu élevée, se soit abaissée de nouveau ; et , après un quart d’heure ou davantage, lorsque la marche des thermomètres intérieurs est devenue très lente ou même stationnaire , on l’observe; puis, rentrant de nouveau daus la eage vitrée, mais pour un instant , on essaie si la friction de lu languette sur le plan inférieur est telle, que le contact ne soit ni trop fort ni trop faible; s’il est juste , on enlève la règle en lui attribuant la température observée; s’il ne l’est pas on la ramène plus près que la premièrefois ; et, après deux ou trois

(*) Cette règle nous à servi à Formentera, à Paris et à Bordeaux; dans celte dernière station, nous avons commencé à introduire dans nos expériences une nouvelle règle d'une longueur à peu près pareille , que nous avons observée concurremment avec la précédente à Bordeaux, Figeac, Clermont et Dunkerque, après avoir soigneusement déterminé son rapport avec la première. Cette seconde règle a été aussi employée dans le» expériences d’Ecosse, concurremment avec une troisième règle appropriée pour le pendule sexagésimal; mais , à cause de la simultanéité de leur usage , au moins dans une station, on voit que les résultats conservent toujours l'avantage d'étre comparables.

essais de ce genre, on parvient toujoursà sc satisfàire(*). La règle étant retirée, on lit le nombre entier de divisions dont la languette a marché, et l’on évalue les fractions de parties au moyen d’un petit comparateur portatif, qui donne les cinq-centièmes de millimètre, ou les millièmwde ligne. Cet instrument , dont Fortin est l’auteur , et qu’il a imaginé dans le tems pour la mesure du gramme, est d’un emploi très facile et d’une admirable précision; il nous a également servi à trouver la longueur de notre règlç qt la valeur des divisions tracées sur la languette. Ces évaluations supposent la connaissance des parties du comparateur, ou plutôt ces diverses quantités se déterminent simultanément. Pour la règle , nous avons employé trois double décimètres étalons, construits par Fortin; et deux autres petits étalons de 6 centimètres, nous ont servi pour les parties de la languette. Ces deux étalons lurent d’abord cqjnparés ici, à mon dernier voyage, et leur égalité vérifiée. J’emportai l'un en Espagne ; et, arrivés à Formentera , nous déterminâmes, M. Aragoctmoi , par sept expériences, le nombre départies de la languetteet ducomparateur , qui formaient une longueur égale ; nous déterminâmes aussi par douze expériences , les rapports des divisionsdela languette etducomparateur. Ccsexpériencesnous fournirent autant d’équations de condition, au moyen desquelles les divisions et les parties du comparateur furent qpnnues en fonction du petit étalon de6 centimètres. Cet étalon vient d’être vérifié de nouveau, à mon retour, et trouvé parfaitement égal à celui qui était restéà Paris. Pouravoir unecertitude encore plus grande , j’ai prié M. Fortin de faire lui-même ici quelquescomparaisons de ce genre sur son comparateur, et les résultats déduits de ses expériences ne diffèrent que de quantitésiiisensiblesdeceux que nousav ions trouvés, et tpii étaient déjà inscrits et calculés sur nos registres. Nous avons pris le milieu entre tous les résultats. Je dois de plus remarquer que la longueur du pendule d’expérience a été choisicdc manière qu’il y eût entre l’axe d’oscillation et lebasde la boule, un intervalle peu différent de 0,76 , ou à fort peu près égal à la règle de fer , plus le petit étalon de 0,06, ce qui nous rendait encore indépeudans des divisions de

(*) Quoique nous ayons toujours senti la nécessité de ces précautions, et que nous les ayons employées à Formentera même, où nous avom commencé nos expériences , ce n'est que plus tard que la pratique réitérée nous a appris à les réduire en mélhodes Aussi en est-il résulté, sioon plus d'exactitude dans les mesures définitives, ce qui était bien difficile, au moins de plus petits écarta dans les résultats partiels.

la languette qui, au reste, étaient , comme on vient de le dire, très exactement déterminées; enfin , la comparaison de la règle de fer, avec les trois double décimètres étalons , a été répétée de nouveau , à mon retour, sur le comparateur, par vingt exj>érienccs di fièrent es , qui ne difiëraicnt les unes des autres que dans les cinq-centièmes de millimètre; et, de toutes ces observations soigneusement calculées et vérifiées, tant par moi que par les commissaires du Bureau des Longitudes , MM. Mathieu et Bouvarrl, il résulte que l’on a pour la longueur de la règle, les divisions de la languette et les parties du comparateur, les valeurs suivantes, qui so rapportent au terme de la glace fondante :

Longueur de la règle de fer. . . 6ÿQmmg‘yi’}é\ i

i partie de la languette o , 28ia5i

ai 3 parties de la languette. ... 59, 906441

1 partie du comparateur o , ooa.JÜaGS.

Le contact de la règle , ou plutôt de sa languette, avec le petit plan d’acier, donne la mesure de la distance du bas de la houle de platine à l’axe de susjjension. On réduit cette mesure à ce qu’elle aurait été si la barre avait eu la température de la glace fondante ; on a aussi égard aux variations de longueur que le fil du pendule a pu éprouver par suite des cbangemens de la température, soit pendant les coïncidences, soit dans l'intervalle qui s’écoule entre les observations des coïncidences et le contact du plan. Pour déduire ensuite de ces données la longueur du pendule simple, synchrone au pendule d’expérience, il làut d’abord retrancher de cette longueur le rayon de la boule de platine , afin de connaître la distance de l’axe de suspension au cculre de cette boule , plus y ajouter les deux cinquièmes du carré du rayon de la boule, divisé par cette distance elle-mcmc, afin du la réduire au centre d’oscillation, qui est au-dessous du centre de la sphère de cetfe quantité; et enfin retrancher du résultat les termes correctifs dus au poids du fil et de la calotte. Exposons les données nécessaires pour effectuer ces collections.

Le diamètre de la houle de platine a été déterminé par Borda : il l’a trouvé égal à 1 874 parties de sa règle pendule , ce qui, d’après les valeurs assignées tome 111 de la buse du Système métrique , donne 1 8”“33g26'j5 pour la valeur de son rayon. Cette mesure est relative à la température de la glace fondante. Pour la réduire au terme des expériences, il faut } ajouter, dans chaque cas, l’cfTct de la dilatation du plaliue, quicsldeo,ooooo8565,

45o EXPÉRIENCES SUR LA LONGUEUR

pourchaquedegrédu thermomètre centésimal, et pour unelongueur égaleà l’unité.CcttevaleurtrouvéeparBorda,peutétrcemployécsan8aucun scrupule dans nos expériences , car le poids de la boule , que nousavom vérifié , est encore égal à 526,<j57, ou 99 1 i grains , comme Borda l’a indiqué, ce qui prouve que la boule n’a éprouvé aucune altération. Pour déterminer le poids de notre (il, nous en avons coupé un bout de plus de 2 mètres, qui se trouvait roulé sur la bobine, immédiatement après celui qui avait serv i à suspendre la boule de platine dans une des expériences ; nous avons tendu ce fil par lui poids à peu près égal à celui de cette boule, et nous l’avons laissé ainsi suspendu pendant plusieurs jours; alors nous avons pris une règle de platine , dont la longueur, à la température de la glace fondante, était égale à 2”, 007, nous l’av ons suspendue à côté du fil ; le thermomètre centésimal marquant 1 2*, et nous avons coupé une longueur du fil égale à celle de la règle : cette longueur, pesée dans une petite balance fort exacte, s’est trouvée de o',2465, ce qui suflit pour évaluer le poids d’une autre longueur quelconque de ce même fil; nom avons eu aussi la précauliou de couper ce fil en dcvix parties égales, et de les comparer ensemble; elles se sont trouvées d’égal poids, sans aucune différence sensible , ce qui prouve que le fil était parfaitement homogène; j’ajouterai que ce fil était de cuivre et non de fer, comme celui de Borda; nous l’avions choisi de cette matière pour éviter les effets du magnétisme terrestre , dont l’intensité est différente à diverses distances de l'équateur magnétique, comme il résulte des belles observations de M. de Huinboldt ; et , quoique cette influence soit sans doute extrêmement petite, cependant il vaut mieux l’écarter puisqu’il est possible de le foire, car on ne saurait , dans des recherches si délicates, apporter des soins trop minutieux. Enfin , il nous reste à parler de la calotte qui s’appKquaitsurla houle; celle quinousa servi pesa it 6*, 1 68 ; 011 voit , par ce poids, que ce n’était pas la même dont s’était servi Borda ; aussi son centre de gravitése trouvait éloigné du centre de la boule de platine de ao",0985 , ce qui est env iron 2 millimèt res plus haut que dans lesexpériencesde Borda, qui supposait ce centre de gravité à la surface même de la boule; mais, comme une petite erreur sur la position de ce centre aurait eu plus d’influcucesur notre mesure que sur la sienne, qui était quatre fois plus longue, nous n’avons adopté ces valeurs que d’après deux expériences que je vais rapporter. La figure de la calotte et de son bouton réunis, était celle d’une surface de révolution; le centre de grav itéétaitdonc dans l’axe de cette sur-

face; de plus, la calotte était terminée inférieurement par wn cercle de iç)“,a5o de diamètre, et dont le plan était perpendiculaire à son axe ; j’ai suspendu ce petit corps à un G1 de soie non tordu , et très délié, dont j’ai fait varier la position jusqu’à ce que le plan du cercle qui terminait la calot te frit exactement vertical, oe dont je nl’assuruis en le faisant battre contre un til-à-ploinbtrès fin ; alors, en prenant les distances du point de suspension aux extrémités de la calotte, je connus la position du centre de gravité. Pour vérifier ce résultat , je séparai la calotte de son bouton , je pris séparément le centre de gravité de ces deux parties, par le meme procédé, et d’après leur poids, je calculai la position du centre de gravité de leur système ; je la trouvai la même que je l’avais eue d’abord , à une diflërcnce près de o", 1 73 ; et , comme l’expérience directe me |w laissait moins susceptible d’incertitude, je pris le milieu entre ces résultats en les faisant valoir dans le rapport de a à 1 . On peut raisonnablement supposer que cette moyenne est plus exacte que chacune «les oliscrvations partielles; or, une erreur de o“,i8 ne produirait sur la longueur du pendule que 7^; de millimètre; et, comme cette erreur o",i8, est plus grande que l’écart de nos deux expériences, il est bien probable que l’erreur réelle de la moyenne est fort au-dessous de cotte quantité. Nous avons aussi examiné les erreurs qui pourraient provenir de l'action du couteau de sus[>ension ; mais nous avons trouvé, par le calcul , qu’elles sont absolument insensibles , lorsqu’il est réglé de manière a être à peu près d’accord dans les oscillations avec le pendule d’expérience, surtout si son centre de gravité est extrêmemerft rapproché de l’axe de suspension ; c’est ce qui a toujours eu lieu dans nos expériences , où cette distance était certainement moindre que o",ooi, comme nous nous en sommes assurés ; et il en résulte que l’influence du couteau , sur la longueur du peudule , était moindre que 7^- de millimètre ; ce qui s’accorde avec les observations de Borda qui, eu chargeant uu de ces couteaux de sus|>eusion d’un poids considérable, et le maintenant toujours accordé avec le pendule d’expérience, n’a pas vu les coïncidences sen- «iblemenl altérées. Avec les données précédentes, on peut, d’après les formules de la Mécanique, calculer les corrections qu’il Gmt faire au pendule d’expérience, en raison du poids du fil et de celui de la calotte, pour le réduire au peudule simple, c’est-à-dire au cas où le fd, le couteau et la caloltu 11 auraient eu aucune pesanteur. Nous avons développé ces formules jusqu’aux termes qui ont pour dénominateurs le carré

45i EXPERIENCES SUR LA LONGUEUR

du poids de lu boule, lesquels sont ici d’une petitesse excessive ; nous avons même examiné l’influence que pouvait avoir l'étendue de la figure de la calotte, et notis nous sommes assurés, par le calcul, que les termes qui en résulteraient seraient au moins 3aoo fois plus petits que les premiers termes correctifs dépendons de la masse de la calotte, considérée comme un point, lesquels ne font sur la longueur du pendule, que «les dixièmes de millimètre. Nous nous sommes donc permis de regarder la masse de la calotte comine réunie à son centre de gravité, ainsique Borda l’avait fait dans scs expériences; mais, notre mesure étant beaucoup plus petite, puisqu’elle est à fort peu près égale à 0,76, les termes correctifs dev aient nécessairement y avoir plus d’influence; et c’est pourquoi nous ne nous sommes permis aucune simplification , aucune approximation dans le calcul, sans nous être assurés que les erreurs qui en pouvaient provenir étaient absolument insensibles; au reste, il sera évident, pour tous ceux qui réfléchiront à ces expériences , que les erreurs les plus à craindre ne viennent pas des corrections que le calcul donne avec une précision illimitée , mais delà mesure même delà longueur, qui est. toujours extrêmement débeate, et à laquelle aussi nous avons ap|>orté les plus grands soins (*),

Au moyen des corrections que nous venons d’indiquer, on obtient la longueur du pendule simple, synchrone au pendule d’expérience; il faut encore réduire cette mesure à ce qu’elle serait dans le vide, car le poids de l'air, en diminuant le poids absolu de la boule, diminue aussi dans le même rapport, l’action de la gravité sur elle. Pour obtenir la correction duc à cette cause, j’ai calculé le poids d’un volume d’air égal au volume de la boule de platine, eu partant des expériences laites par M. Arago et moi, sur la pesanteur spécifique de l’air; puis, en comparant ce poids à celui de la boule de platine, j’ai trouvé qu’à la tempéra-

. (*) N./i- M. Laplace a depuis examinéde nouveau analytiquement toutes les parties de ce procédé dans la Connaissance des feras de i8sio , et en a donné une formule dont les résultats ne durèrent pas sensiblement de ceux que nous avions déjà obtenus précédemment par celle que nous nous étions faite. C'est pourqnoi nous avons continué d'employer cette dernière, afin de laisser aux expériences leur avantage de comparaison; M. Laplace à de plus démontré la nécessité d'une petite correction dépendante du diamètre du tranchant du couteau de suspension; nous en ferons l'application après que nous aurons réduit tous les résultats immédiats de nos expériences.

tare de la glace Coudante , et sous la pression de <>“,76, la densité de l’air est à celle du platine comme l’unité à 1 jg 1 o ; d’où il suit que , pour réduire le pendule dans ces circonstances, à ce qu’il serait dans le vide, il faut l’alonger dans le même rapport , c’est-à-dire de sa 13910* partie, et celte correction doit être modifiée selon la pression de l’atmosphère et la température, proportionnellement à la densité actuelle de l’air. Le pendule d’expérience étant ainsi ramené au vide, il ne resteplus, pour eu conclure le pendule à secondes décimales, qu’à réduire sa longueur réciproquement au carré du nombre de ses oscillations diurnes au nombre 100000.

C’est avec tous les soins que je viens de décrire, que les expériences du pendule simple, à Formentera , au point le plus austral de la méridienne, ont été laites, par MM. Arago, Cliaix et moi. Ces expériences sont au nombre de onze. Je les avais calculées d’abord ; elles l’ont été ensuite par MM. Bouvard et Mathieu, que le Bureau des Longitudes avait chargés d’examiner nos opérations , et qui l’ont fait avec un soin extrême, examinant et discutant toutes les circonstances dans le plies grand détail, remontant toujours aux données primitives, cl recherchant immédiatement les expériences mêmes dans nos registres originaux. Les résultats de ces calculs s’accordent très bien avec ceux que j’avais faits d’abord , et c’est ce ipic MM. les Commissaires m’ont autorisé à déclarer. Les différences qui existent entre leurs nombres et les miens sont extrêmement légères; mais cependant leurs résultats doivent être préférés, et, nous-même, nous y avons plus de confiance; au reste, cette différence ne lait dans le résultat moyen que tôJôô de millimètre. Nous avons, d’un communaccord, rejeté la première expérience, parce qu’elle est indiquée sur le registre comme devant douner une longueur trop grande , l’extrèmecraintequenousaviousde soulever la bnuledc platine nous ayant empêché , dans cette première expérience , d’élever le plan jusqu’au contact ; ce qui, au reste , était écrit dans nos registres, sur le heu meme, et préalablement à tous les calculs qui, |>our le pendule comme pour les triangles et la latitude, n’ont été faits qu’à Paris. Cette première expérience que nous rejetons , ne s’écarte de la moyenne définitive que de ■~S de millimètre, mais cet écart sort déjà beaucoup des limites auxquelles nous pouvons aspirer. Pour toutes nos autres expériences, le plus grand écart des résultats partiels autour de la moyenne, est de de millimètre, et cela n’arrive que deux fois en sens contraire; une autre

454 EXPÉRIENCES SLR LA LONCLEUR

fois l’écart est de -j-Jô de millimètre ; pour toutes les antres , il tombe dans les millièmes. Cependant la longueur dn fil a été changée à trois reprises; on a changé autant de fois le point de suspension de la boule, et une fois on l’a placé ail point opposé du diamètre , sans changer la longueur du fil , afin rpie les inégalités de densité de la boule fussent indiquées par cette inversion de son centre d’oscillation; mais celte épreuve , déjà laite aussi par Borda , nous a prouvé, comme à lui , que notre boule de platine était parfaitement sphérique et homogène; enfin, on a changé une fois la disposition du couteau, sans que l’on ait aperçu, dans le résultat, aucune anomalie sensible. Toutes ces observations paraissent s’accorder entre elles, aussi bien qu’on peut l’attendre d’opérations si délicates , et de réductions si multipliées.

Après cette exposition générale , nous allons détailler les diverses opérations de calcul par lesquelles nous avons tiré de nos observations les résultats numériques auxquels nons nous sommes arrêtés.

La première opération consiste à calculer le nombre d’oscillations que le pendule exécuterait pendant que l’horloge, supposée décimale, en lait 100000. Pour cela, on part de l’intervalle observé entre deux coïncidences consécutives. Soit N cet intervalle en tems de l’horloge; il en résulte que , tandis que l’horloge fait N oscillations, le pendule en exécute ISrfca; le signe -f- devant être employé si le pendule va plus vite que l’horloge, et le signe — s’il va plus lentement. D’après cela, pendant 100000 oscillations de l’horloge le nombre des oscillations du pendule sera proportionnellement

ioocoo.(N±a) i gooooo

j- ou toooooar—-^ — :

nous nommerons généralement ce résultat iooooo -f- n.

Duus l’arrangement de l’appareil, nous avons toujours donné au fil une longueur telle , que les coïncidences n’étaient pas très rapprochées les unes des autres ; alors n a toujours été un nombre fort petit, comparativement au premier terme iooooo.

Ce résultat s’applique aux oscillations du pendule, telles qu’elles s’exécutent entre les deux coïncidences que l’on compare, c’est-à-dire dans imc amplitude d’arc qui a pu varier depuis a a, au commencement de l’intervalle, jusqu’à a a', à la fin. La durée de ces oscillations est donc plus longue que n’aurait été celle d’oscillations exécutées par le même

DU PENDULE A SECONDES. 4 m

pendule, dans des amplitudes infiniment petites. Par conséquent, pour rendre tous les résultats comparables, il là ut les ramener à ce dernier cas. Si les arcs 2<i , ia sont déjà très petits, on peut, sans erreur sensible, supposer toutes les oscillations faites dans l’amplitude moyenne a -f- a' ; alors on démontre , par la Mécanique , que chacune d’elle vaut , en oscillations infiniment petites, i + ^ sin* - (a -f- a'), ou simplement i -f- fi.

Conséquemment, les iooooo-f-n oscillations déduites des deux coïncidences observées, devront être augmentées dans le même rapport, c’est-à-dire qu’elles répondront à un nombre d’oscillations infiniment petites, égal à

( i ooooo -f- n) ( i -f- fi) , ou i ooooo -f- n -f- fi( i ooooo -f- n).

Nous désignerons, pour abréger, ce résultat par i ooooo -f- et, d’après les dispositions que nous avons supposées, n' ne sera jamais un nombre bien considérable.

Si les arcs la an', ne sont pas tous deux fort petits, ou, si l’intervalle des coïncidences que l’on compare, est assez grand pour qu’ils diffèrent considérablement l’un de l’autre, on ne peut plus supposer toutes les oscillations faites dans l’amplitude moyenne a -f- a' ; mais, d’après la loi du décroissement des amplitudes, qui est une progression géométrique, on peut encore calculer la correction fi; c’est ce qu’a fait Borda; on trouve alors, {jour son expression analytique,

sin ( a -f- a') sin (a — a)

^ 3a M (log sin a — log sin a')’

M étant le module des tables logarithmiques ordinaires, ou 2,302 585<X). Cette correction rentre évidemment dans la première, quand les arcs o, n' sont assez petits pour que, dans le développement de leurs logarithmes et de leurs sinus , on puisse se borner à leur première puissance; mais nous avons été plusieurs fois dans le cas d’employer la formule complète.

Par ces calculs on connaît la marche relative du pendule sur l’horloge qui a serv i pour mesurer les intervalles des coïncidences. Ou sait qu’il exécute 1 ooooo -f- n! oscillations infiniment petites , tandis que l’horloge en fidt i ooooo; supposons maintenant que celle-ci avance sur le jour moyeu d’un -nombre d’oscillations égal à A, c’est-à-dire qu’elle exécute

45 fi EXPÉRIENCES SUR LA LONGUEUR

i ooooo -+- h oscillations , tandis qu’une horloge exactement réglée sur le temps moyen en ferait i ooooo; on aura évidemment cette proportion : i ooooo oscillations de l’horloge sont à i ooooo -f- n' oscillations du pendule, comme 1 ooooo -f- h oscillations de l’horloge, ou un jour moyen solaire, sont au nombre d’oscillations du pendule dans tu jour moyen solaire : ce dernier nombre se trouve ainsi égal à

(i ooooo -f- n 'Xt ooooo -f- h) î ooooo

ou

i ooooo -J- n' ■+• h •+■

hri

i ooooo-

Avec les dispositions d’appareil que nous avons supposées, si l’horloge n’est pas très éloignée du teins moyen , de sorte que h soit un nombre d’oscillations peu considérable, la correction exprimée par le dernier terme , la seule qui exige un calcul, sera d’une extrême petitesse, et s’obtiendra aisément avec une grande précision.

Les coïncidences étant observées, on touche la boule par dessous avec le plan Gve, et ensuite, substituant au pendule la règle divisée, on sort la languette jusqu’à ce qu’elle touche le petit plan ; cela fait , on enlève la règle, on détache son couteau, et ou la potle sur le comparateur pour évaluer la quantité dont la languette est sortie. Cette opération exige quelques détails.

Notre comparateur portatif est essentiellement composé d’une règle métallique TR (fig. 6), qui doit être bien droite, et fortifiée en dessous par une antre règle placée de champ, de sorte qu’elle ne puisse pas se fléchir; cette règle, à l’une de ses extrémités, porte un talon fixe T, qui sert à appuyer un des bouts des mesures que l’on compare ; un cliàssis mobile RR parcourt la surface de la règle, et peut se fixer à volonté sur un quelconque de ses points , au moyen de deux lbrtes vis de pression RR.

Ce châssis forme la partie essentielle du comparateur ; il porte un tourillon fixe c, autour duquel tourne le levier coudé bcb\ dont les deux branches bb' out des longueurs inégales qui, dans le dernier appareil dont nous avons lait usage, sont entre elles comme i à 10. 11 suit de là que, si l’on pousse le sommet b du petit bras d’une quantité égale à x, le bout du grand bras b' décrit, autour du centre commun, un angle dix fois plus considérable, par conséquent égal à to*. Pour mesurer ce mouvement, on applique sur le châssis un arc circulaire DD, divisé, par exemple , en cinquièmes de millième , et l’on fixe à l’extrémité du

bras V un vernier V, qui permet d’évaluer les dixièmes de cette division , par conséquent les cinquantièmes de millième; et, comme les mouvemens du point V sont décuples de ceux du poiut b , on voit <pic chaque partie indiquée , répond, en b , à deux millièmes de millimètre.

Maintenant, quand on veut comparer avec cet instrument les longueurs de deux règles B, B', très peu difl'érentes l’une de l’autre, on place l’une d’elles, B par exemple, sur le comparateur, de manière qu’elle repose librement sur sa surface , et que l’une de ses extrémités soit appuyée contre le talon T; puis, on amène le châssis vers l’autre extrémité de B, et on le presse contre cette extrémité jusqu’à ce que le vernier V réponde à peu près au milieu de la division; cela fait, on serre les vis de pression du châssis , et ou s’écarte de l’ajipareil pendant quelque tems, pour lui laisser reprendre la température du lieu. 11 est bon d’avoir un thermomètre placé sur la surface même de la règle ou du comparateur.

Quand on pense que la température du lieu s’est rétablie dans l’appareil , on se rapproche et on lit la div ision à laquelle répond le vernier ; puis , sans déplacer le châssis du comparateur , on ôte la règle B , on ldi substitue la règle B', et on laisse encore la température se rétablir; alors on revient lire de nom eau l’indication du vernier. Si la division à laquelle il se fixe est la même que pour la règle B, les deux règles sont égales en longueur; si la division est différente, l’arc parcouru par le vernier indique, en cinq-centièmes de millimètre, la différence des longueurs.

Nous avons supposé que la température de l'appareil reste constante pendant toute l’opération. U faut toujours s’efforcer d'atteindre celte coudition en se plaçant à l’ombre, dans de grandes salles, où la température varie peu. Mais si, malgré toutes ces précautions, il survenait quelques changcmens dans la température, on réduirait les longueurs mesurées, et l’intervalle TT' du comparateur, à la même température, au moyeu des dilatations connues des métaux. Lorsque le comparateur et les règles que l’on compare sont de même métal, ces corrections sont inutiles, parce qu’alors l’intervalle TT' du conqvaruteur se dilate exactement comme la règle qui est posée sur sa surface, et par conséquent leur différence reste constante, malgré le changement de leur température. Ce résultat était indiqué par le raisonnement; mais on verra, dans nos observations, qu’il est constaté par l’oxpérieuce mémo, avec la plus parfaite exactitude. Comme les métaux les plus employés

458 EXPÉRIENCES SUR joA LONGUEUR

sont le cuivre jet le Ter, je joindrai ici leur dilatation d’après Borda pour

du thermomètre centésimal , et pour une longueur égale à l’unité.

Dilatation du cuivre C = 0,0000178,

du fer F = 0,00001 1 4-

Lorsqu’on veut se servir d’un comparateur, il faut commencer par vérilicr les divisions de son veruier, ou du moins il faut les rapporter , ainsi que toutes les autres divisions dont on fait usage, à un étalon bien connu, que l’on puisse toujours retrouver et vérifier lui-mème. Je donnerai plies l>as le moyeu qu’il faut employer pour cet objet.

Je me bornerai à dire ici que toutes les observations, toutes les mesures, dont je viens de parler, ne doiveut pas se faire à l’oeil nu, mais avec une forte loupe qui permette de lire exactement les divisions. 11 est aussi extrêmement important que le contact des règles avec le talon du comparateur et avec le petit levier, soit bien établi, et l’on ue saurait y donner trop d’attention.

Ce procédé général de mesure étant exposé, appliquonvle à la règle par laquelle nous avons déterminé la distance du plan de suspension du pendule , au bas de la boule de platine. Pour cela , après avoir établi le contact exact de cette règle avec le plan, on serre la vis de pression, qui fixe sa languette; on ôte le couteau de l’extrémité supérieure, et on établit la règle sur le comparateur, entre le boutoir et le levier mobile. 11 s’agit de connaître de combien de divisions la languette est sortie; pour cela , il faut se rappeler qu’avant de faire sortir la languette, l’artiste a tracé sur la règle et sur la languette, des divisions égales, qui les traversent l’une et l'autre, et qui sont marquées par ordre o, 1 , a, 3... etc.; ainsi , on peut juger (pie la languette est rentrée complètement , lorsque sa division o coïncide avec la division o de la règle , et qu’il en est de même de toutes les autres divisions correspondantes; mais, si le n* o de la languette coïncide avec le n* 1 de la règle , le u* 3 avec le n* 3 , et ainsi de suite; on doit conclure que la languette est sortie d’une division , et, eu général, la différence des numéros des divisions coïncidentes indique la quantité dont la languette a marché; par conséquent, si l’on connaît la longueur absolue de la règle , lorsque la languette est rentrée, et si l’on connaît aussi la valeur des divisions , la somme de la règle et des divisions donnera directement la longueur totale qu’il s’agissait de mesurer.

DU PENDULE A SECONDES. 45g

Cela faillirait , si la quantité dont on fait sortir la languette répondait toujours à un nombre exact de divisions ; mais cette exactitude est comme impossible ; il arrive presque toujours que la coïncidence n’est point exacte, et que la languette sort d’un certain nombre de divisions, plus ou moins une fraction qu’il s’agit de déterminer.

C’est alors que le comparateur est utile. On y porte la règle, et on amène le châssis mobile en contact avec l’extrémité delà languette, de manière que le vemier réponde à peu près au milieu des divisions ; puis , lorsque la température uniforme s’est rétablie, on lit le vernier, et l’on feit ensuite marcher la languette de manière à compléter la coïncidence des divisions : la marche du vernier indique la quantité de oe mouvement. C’est précisément la fraction que l’on voulait déterminer ; on l’ajoute à la longueur absolue de la règle, et au nombre de divisions entières de la languette; la somme est la longueur totale cherchée. Un seul exemple achèvera d’expliquer toute cette operation.

Dans la règle qui a servi aux expériences de Formentera, les divisions de la languette étaient à fort peu près des huitièmes de ligne, on plus exactement chacune d’elles valait en millimètres, o"“,a8iï5l; les parties de la division du comparateur valaient chacune à peu près , de ligne , ou plus exactement en millimètres o"*, 00246365 ; enfin la longueur absolue de la règle, la languette étant rentrée, était o", 69999374 r, à la température de la glace fondante. Nommons B oe qu’elle devient à touteautre t empératureass ignée. Dans l'expérience faite le 1 5 janvier 1807, la distance dn plan de suspension au plan du couteau avait exigé que l’on sortit la languette de a 10 parties, plus une fraction , que je nommerai y , et qu’il s’agit de déterminer ; h température de la barre était alors *+- io’,07 de la division centésimale. La règle , avec sa languette fixée à ce point , fat établie sur le comparateur, qui était aussi en fer comme elle; et, après que l’un et l’autre curent pris parleur superposition une température commune, l’index du comparateur sc fixa à — 380 parties ; c’est-à-dire qu’en appelant A la longueur inconnue qu’il aurait fallu interposer entre le levier mobile et le boutoir fixe du comparateur pour amener son index au zéro de sa division , cette longueur excédait la longueur totale B + 3iof +y de 380 parties du comparateur. Nommant donc p la longueur d’une de ces parties, on avait alors

B -j- 3 io/+j' = A — 280/», température-f- io*, 07.

4Go EXPÉRIENCES SUR LA LONGUEUR

Comme il ne restait plus assez de lumière pour ramener la languette à une coïncidence, on laissa les choses dans cet état jusqu’au lendemain matin ; dans l’intervalle le tems se refroidit, il tomba de la neige; cependant l’index du comparateur ne bougea pas sensiblement, car on trouva — .381 au lieu de — 380 qu’avait donné l’observation de la veille. Celte constance d’indications , malgré une si grande variation de température absolue, tient, comme je l’ai annoncé, à ce que la règle, la languette,et la barredu comparateur, étaient d’une même matière ; de sorte que B-j-a 10/+)' et A — a8o p, se contractaient et se dilataient également. Mais il était satisfaisant d’avoir la preuve de cette immutabilité par l’expérience même; car, étant obligé de s’approcher de la barre et du comparateur, pour amener la languette à la coïncidence, on élève sans doute toujours un peu leur température commune en faisant cette opération; et, si un pareil changement avait pu faire marcher l’index, il aurait fallu en tenir compte dans les mesures, ce qui aurait été fort difficile , parce que la quantité en est extrêmement incertaine. Il est donc heureux qu’il ne puisse avoir et qu’il n’ait en effet aucune influence sensible sur le résultat. Partons maintenant de l’observation définitive qui a donné

B-f-aio/ -f-iy = A— a8i p.

On a détaché doucement la vis de pression de la languette, et on l’a fait sortir par son mouvement de rappel , jusqu’à ce que la coïncidence de tontes les divisions s’opérât , à partir de la 31 i*. Dans ce nouvel état, l’index du comparateur s’est trouvé amené à — a 55' On avait donc alors

B -f- ai 1/= À— a55,5 p.

Nous conservons à A la même valeur que tout à l’heure , quoiqu'il ait pcut-ctre éléchangé par l’approche de l’observateur; mais B-f-aioZ-f-y ayant change, ou pu changer, de même, la différence des longueurs reste constante, et il est inutile d’avoir égard à leur variation. Les deux équations précédentes peuvent donc être combinées, et en les retranchant Time de l’autre , on eu tire

l—y = i5,5.p ou y = l—a5,5.p; par conséquent , la longueur cherchée B -(- 3 1 0/ +y égale B-j-au/— -a5,5/f.

. - fl>.. .

DU PENDULE A SECONDES. 4fii

Et d’après les valeurs de B, de l et de p, données plus haut, si la température était celle de la glace fondante, ou aurait en millimétrés,

B -(-ai o/4- y — 759,373883.

Mais nous avons vu qu’au moment où la règle avec sa languette ainsi sortie, ont mesuré la distance du plan de suspension au plan de contact , la température était -f- io',07. Conséquemment, leur longueur primitive à o* s’était dilatée; et, ainsi dilatées, cHesont dù occuper un plus grand nombre de millimètres qu’elles ne faisaient à o*. On voit doiïe (pie, pour connaître la distance réelle du plan de suspension nu plan de contact , au moyen de cette mesure, il faut augmenter le nombre apparent de millimètres qu’elle indique en raison de la dilatation du fer de o* à 10*, 7, c’esl-à-dire qu’en représentant par F cette dilatation pour un degré centésimal, la véritable valeur de la distance mesurée et exprimée eu millimètres , sera

759"", 273883 (1 + 10,07F), ou 789,361046,

en mettant pour F sa valeur, telle que nous l’avons donnée plus haut.

On ne peut s’imaginer , avant d’en avoir fait l’épreuve soi-mème, combien cette détermination de la fraction y par le comparateur et les coïncidences des divisions, est susceptible d’exactitude. On peut si l’on veut établir à plusieurs fois la coïncidenceel la détruire , l’index du comparateur se trouve presque toujours ramené sur la même division; les petites inégalités memes qui subsistent inévitablement entre les intervalles des divisions de la languette, que l’art le plus parlait ne peut jamais rendre rigoureusement équidistantes, ces inégalités', dis-je, deviennent ici d’un utile secours pour discerner le point précis où la coïncidence moyenne a lieu : car la marche des erreurs de l’artiste étant toujours régulièrement croissante ou décroissante, et même, successivement l’un et l’autre, comme dans toute opération conduite par un procédé régulier, il en résulte que, dans certaines zones de La languette, la coïncidence peut sembler uu peu dépassée, lorsqu'elle n’a pas encore tout-à -lait lieu

4 fia expériences sur la longueur

dans d’autres; et, c’est en cherchant le point où elle est le mieux établie sur leur ensemble, que l’on compense incroyablement bien leurs erreurs. Nous insistons sur ces précautions, parce que, avec un appareil aussi court que celui dont nous avons fait usage, elles devenaient indispensables pour donner aux mesures une précision suffisante : aussi avons-nous cherché encore à accroître cette précision en jugeant les coïncidences avec les loupes les plus fortes que l’œil peut supporter, et c’est un soin qu’il faut bien se garder d’omettre, car il est indispensable pour donner à l'observation des coïncidences l’exactitude que nous lui trouvons.

La méthode que nous venons d’expliquer pour déterminer la fraction y, sert encore pour vérifier les divisions de la languette et celles du vernier du comparateur, en les comparant à un étalon bien connu. Commençons par les premières. On déterminera d’abord le nombre de divisions de la languette et du vernier qui, prises ensemble, égalent l’étalon dont il s’agit. Cette comparaison s’opérera en posant la règle sur le comparateur avec la languette, et plaçant l’étalon sur son prolongement; puis, quand on a lu le vernier , ou ôte l’étalon , et on fait sortir la languette d’un nombre de divisions entières, le plus approclianl de la longueur de l’étalon ; le reste de la différence s’évalue en parties du vernier. Cela fait , on détermine combien une division de la languette vaut de parties du vernier, en voyant de combien elle le fait marcher. Ces deux comparaisons donnent deux équations du premier degré , qui déterminent la valeur des divisions de la languette et du vernier, en parties de l’étalon auquel on les a comparées.

C’est par une application réitérée de cette méthode, que nous avons obtenu les valeurs des parties du comparateur et de la languette telles que nous les avons plus haut rapportées.

I-a longueur du pendule d’expérience , obtenue par les opérations (pie nous venons de décrire, exige plusieurs corrections avant d’étre employée au calcul du pendule simple; la première de ces réductions concerne la mesure même. Supposons que les coïncidences du pendule et de l’horloge aient été observées à la température t, et (pic le contact du plan d’acier ait eu lieu à la température en sorte rpie t! — t soit Fexcès de la seconde sur la première; si l’on nomme C la dilatation linéaire du fil du pendule , que nous avons toujours pris de cuivre , sa longueur primitive étant supposée A lors des coïncidences , sera augmentée

An AC (Y t) à l’instant du contact. U faudra donc la diminuer de cette

quantité ; de plus, nous avons supposé que La longueur B de la règle divisée était connue pour la température de la glace tondante; par conséquent, si la mesure de longueur a été faite avec celte règle, à la température t", chacune de scs parties a dû se dilater d’une quantité Ft", en représentant sa dilatation propre par F, pour l’unité de longueur. 11 faut donc, comme nous l’avons déjà remarqué, augmenter dans cette proportion , le nombre des divisions qu’elle indique , pour la ramener au terme de la glace fondante , auquel on a évalué sa longueur ; mais , comme ces corrections sont toujours très petites, on peut les faire sur la longueur même du pendule que la règle indique ; c’est-à-dire que si l’on trouve cette longueur égale à A , il faut lui substituer

A[i — C(ï' — <) + Ft"] , ou A — AQY— 1)+ AïY'.

Le premier terme représente la mesure même, et les deux autres les corrections de dilatation. Nommons A' cette valeur ainsi corrigée.

La réduction précédente étant faite, on connaît la longueur totale du pendule composé , depuis le plan de suspension jusqu’au bas de la boule de platine. 11 en faut retranclier le rayon de cette boule pour avoir la distance de son centre au plan de suspension. Je nommerai celte distance L. Soit R le rayon de la boule à la température de la glace fondante ; appelons P la dilatation du platine pour i* du thermomètre centésimal : nous avons déjà nommé t k température lors des coïncidences ; ainsi, le rayon de la boule était alors égal à^t( i -f - Pt) ; c’est donc cette quantité qu’il faut retrancher de A' pour avoir L, ce qui donne

L= A'— R(i + Pf).

Suivant les expériences de Borda, on a P = o,ooooo8565.

On démontre en Mécanùpre , que lorsqu’une sphère pesante oscille à l’extrémité d’un fil sans masse, le centre d’oscillation est au-dessous du

centre de la sphère d’une quantité égale à -j-j-.

Il faut donc ajouter cette quantité à L pour réduire le pendule composé à l’état du pendule simple , qui ferait ses oscillations dans le même tems ; de plus , comme le fil et la calotte ne sont pas dépourvus de pesanteur, il faut encore faire une petite correction pour avoir égard à leur

poids : cette correction , que nous nommerons Q, dépend de plusieurs clénicns dont nous allons donner ici les valeurs numériques , pour toutes les expériences de France et d’Espagne.

Distance du plan de suspension au centre de la

boule de platine

Ra ronde la boule de platine à la température de o°.

Poids de la boule de platine en grammes

Distance du plan de suspension jusqu'au bas de la

boule. •

Distance du plan de suspension au commencement

du fil

Distance du centre de gravité de la calotte au

centre de la boule.

Poids delà calotte en grammes

Poids du fil , variable

R = o"\oi8a59aGa5 M =z 5a6ft4& 7

D s=s om,o2oc985 m = 6r, 168

(A — b — aR)

Le nombre <^,2465 était, comme on l’a vil, le poids d’une longueur de notre fil , égale à 2*, 007.

Quand toutes ces quantités seront connues par l’observation , on s’en servira pour calculer la quantité

GM

p ( . b— R\ M/ D\ aMV,'+ L ) + mV l)

après quoi le pendule simple L' synchrone au pendule observé, aura pour longueur, daus l’air,

Pour réduire cette longueur à ce qu’elle serait dans le vide , il Huit se rappeler que , à la température de la glace fondante, et sous la pression de o",70, la densité du platiiic peut être évaluée à i5qio, celle de l’air étant l’unité; par conséquent, sous la pression p, et à la température t. observée lois des coïncidences, la densité de l’air a dû être

0"<7®’(,+ 1.0,00575)1 5t)io’

celle du platine étant l’unité. La longueur L' doit donc être augmentée

dans cette proportion, ce qui donne la longueur du pendule simple qui, oscillant dans le vide, serait synchrone au pendule observé,

' o“,76(i +t.o,co375)i5gio*

11 est maintenant facile de déduire de ces résultats la longueur U" du pendule à secondes, qui ferait 100000 oscillations, ou, en général, N' oscillations dans un jour solaire; car, eu supposant que le pendule observé en fasse K'+ n , on aura

Longueur du pendules à secondes L*'= L"-f- -f-

Enfin , il ne reste plus qu’à réduire ces observations au niveau de la mer. Soit h la hauteur de la station en mètres, a le rayon de la terre aussi en mètres ; le pendule simple qui bat les secondes , étant réduit au niveau de la mer et au vide , aura pour longueur

Telles sont les formules que nous avons employées pour calculer les expériences. Nous allons maintenant rapporter celles-ci. Nous transcrirons d’abord, jronr chacune d’elles, toutes les données d’observations qui la composent, et nouay ajouterons les valeurs numériques des corrections successives , indiquées par les formules précédentes : ecqui nous conduira au résultat définitif. Seulement , comme la réduction nu niveau delà mer est commune à toutes les obscrv ations d’une même station', nous ne l’eirectuerons , à cliaijue station, que sur le résultat moyen que nous aurons déduit de l'ensemble des expériences que nous y aurons faites.

Commençons par appliquer cette marche aux expériences faites à la Mola de Fomentera, au terme le plus austral de notre arc, et au point même où noos avons observé la latitude.

Mesure du Pendule à lu station de Fermentera.

Dans ces expériences, on a employé deux horloges, V une' sexagésimale, que l’on comparait tous les jours au soleil et aux étoiles; l’autre, décimale, devant laquelle on faisait osciller le pendule , et que l’on comparait à la précédente par le moyen d’un compteur. Il faut , a\ ant tout , déterminer la marche de ces deux horloges pendant la durée des expérience».

L’ensemble des observations de passages, faites à la limette méridienne,

i iincuiciV ct rapportées précédemment, donne le retard moyen de la pendule dans un jour sidéral du 28 décembre 1807 au i5 janvier 1808, égal à Les écarts de cette moyenne autour des évaluations successives, sont

du a8 déc. au 3o 28 déc. — 2 janr.

>0 — 11 11 — la îa — i3 i3 — >4 »4 — i5

— o'o5 ■ — 0,0a 4- o,eo + o,3i

-f- o,aa

•— o, ai

Aucun de ces écarts ue s’élève à un tiers de seconde; et comme il faut accorder quelque chose aux erreurs des observations, nous adopterons la valeur moyenne 1' 2*587 jxiur le retard de l’horloge sexagésimale sur les fixes, dans un jour sidéral.

C’est à cette horloge que lu pendule décimale a été comparée plusieurs fois chaque jour, et principalement aux époques des observations. Pour cela on accordait le compteur sexagésimal avec son horloge; et, tandis qu’un observateur lisait les secondes qu’elle indiquait, uu autre, placé prés de l’iiorloge décimale, annonçait les coïncidences de celte dernière avec le compteur. L’expérience nous a convaincus que celte manière de comparer les deux horloges était parfaitement exacte; car les résultats des diverses comparaisons ne dilléraient jamais entre eux que dans les dixièmes de secoude, et le plus souvent dans les centièmes; or, on a (ait toujours trois comparaisons de suite, et on preuait la moyenne qui doit jsir conséquent s’écarter bien peu de la vérité. Voici le tableau d’une de ces opérations, la première qu’on ait ellecluée.

1807. Décembre ag. Horloge décimale. . . G*543l = i5*4a’ia"38

Horloge sexagésimale io.55.38(co

Avance de l'horloge décimale sur la sexagésimale 4* 46’ 34*38

Autre observation 34 . 3o

Autre observation ." 34, iB

• Avance moyenne de D sur S 4* 4®' 34’ 29

Indications de l’horloge sexagésimale à l’époque de ces comparaisons. Fumumtr».

i'* observation io.55.38,oo

a* BS. 4,00

6,oo

Epoque moyenne à S 10.56. 9,oo.

Soit main tenant I l'intervalle de deux conqiaraisons , compté en secondes de l’horloge sexagésimale. Concevons une. horloge sexagésimale partant de o* o'o" en même lems que l’horloge décimale part de o*,oooo , et revcnatit à o1o,o,, lorsque l’horloge décimale revient à lé.oooo, en sorte que les deuxliorloges conservent constamment une marche égale. La première fera 86400 oscillai ions , tandis que la seconde en fera 100000; convertissons, comme nous l’avons fait ici , les tems marques par l’horloge décimale en tems de celte horloge fictive. On verra ci-après que l’horloge décimale retarde sur la sexagésimale que l’on compare aux étoiles. Soit donc rie retard de D sur S entre deux comparaisons; c’est à-dire que S ayant fait un nombre d’oscillations exprimé par I, l’horloge D , ou plutôt l'horloge sexagésimale qui la représente, en ait fait un nombre 1 — r; on aura la proportion

nr*

et le terme — sera le retard de la pendnle décimale sur 24* de la sexagésimale , exprimé en secondes sexagésimales de la pendule fictive.

C’est ainsi , par exemple, que l’on a calculé les résultats suivons, où l’on n’a rapporté que les moyennes des trois observations, dont chaque comparaison est composée.

Datée.

Avâitce 4« J)iv S.

Kpoquc en tems de S

Retard de D su» 0 J* de

S, ou videur d« .

1807. Décembre, aq

io*5S' a'oo

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