AVERTISSEMENT

En rédigeant ce Recueil de formules et de Tables, je me suis proposé un double but. J'ai voulu, d’une part, rassembler des Tables abrégées à l’usage des personnes qui s'occupent d'applications numériques n’exigeant pas beaucoup d’approximation, ce qui est le cas d’une grande partie des calculs d'Astronomie ou de Physique; mais, d'autre part, mon dessein principal a été de venir en aide à ceux qui étudient les parties élevées des Mathématiques, et auxquels la mise en nombre des formules peut faciliter l'intelligence des théories, en jouant un rôle analogue à celui des expériences dans l’enseignement des sciences physiques.

Pour remplir ce double objet, et pour pouvoir en même temps offrir une série de Tables aussi complete que possible sous un mince volume, j'ai construit les diverses Tables avec un petit nombre de décimales, avec quatre généralement, ce qui suffit dans la plupart des calculs vraiment pratiques. J'ai cependant inséré dans ce volume quelques Tables avec un grand nombre de figures, servant de complément aux grandes Tables logarinmiques ordinaires, et destinées aux calculs qui exigent une approximation exceptionnelle.

Dans la plupart des cas, l’internolation de ces Tables peut se faire à simple vue. Aussi ai-je cru inutile d’y ajouter les parties proportionnelles des différences, qui, pour être d’une utilité réelle, auraient dû souvent occuper autant de place que les Tables ellesmêmes. D'ailleurs on suppléera toujours, avec un grand avantage, aux Tables auxiliaires de parties proportionnelles, en employant l’admirable instrument connu sous le nom de règle à calcul, et dont un préjugé inexplicable, contre lequel je ne saurais trop énergiquement protester, a jusqu'ici retardé l'adoption universelle par les calculateurs.

Cet Ouvrage se compose de deux Sections principales : d’un Recueil de formules relatives aux applications pratiques des fonctions elliptiques, et d’une série de Tables mathématiques qui permettent de mettre ces formules en nombres.

Comme préliminaires aux formules de la théorie des fonctions elliptiques, j'ai donné les principales formules relatives à des fonctions, analogues aux fonctions circulaires ou trigonométriques, auxquelles Lambert a donné le nom de fonctions hyperboliques, parce qu’elles expriment les coordonnées de l'hyperbole équilatère, de même que les fonctions trigonométriques expriment les coordonnées du cercle.

L'espace ne m'a pas permis d'indiquer les nombreux usages de ces

ù « p- p te 2 \ du. \ à n 23 Le: Pa è y Er [vu] AVERTISSEMENT.

fonctions hyperboliques dans le calcul intégral. On trouvera d' amples es développements sur ce sujet dans les ouvrages de Gudermann ( D. et de M. Gronau (**), ainsi que dans-divers Mémoires répandus dans les Archives de Mathématiques de M. Grunert. J'ai seulement transcrit les formules fondamentales, en les accompagnant d'applications numériques à diverses questions de Géométrie et de Mécanique, principalement à celles qui conduisent aux transcendantes ellip= | tiques, et où les fonctions hyperboliques jouent un rôle aussi capilai 10 que les fonctions circulaires. On verra, d’après les cas que j'ai traités, de quelle utilité pratique seraient des Tables plus étendues de ces importantes fonctions. à Pour les formules concernant les fonctions elliptiques, j'ai pris DA: pour point de départ la théorie des fonctions $, sur laquelle sont fondées les méthodes les plus simples et les plus directes pour le … calcul numérique et pour l” étude théorique des transcendantes elliptiques. J'ai consulté principalement les ouvrages de Legendre, de sf Jacobi, de Gudermann (***), de Schellbach (***“*), qui sont ceux où. le point de vue pratique a reçu le plus de développement ‘à Es J'ai conservé autant que possible les notations classiques de au FA teur des Fundamenta nova, en les abrégeant un peu, à l'exemple cs de Gudermann, et me conformant seulement, pour les fonctions, … à l'usage, adopté généralement aujourd’hui, de prendre pour argu= «à ment de ces fonctions, non plus l'intégrale elliptique uw, mais le.

; TU AE à 00 roduit æ— ——. Je n'ai pas cru cependant devoir aller dans cette À P 2K P P

voie aussi loin que l’a fait M. Schellbach dans l'ouvrage cité, et j'ai continué à prendre l'intégrale w pour argument des fonctions ee "2 tiques, qui sont les rapports deux à deux des fonctions $. ; à

J'ai désigné provisoirement les intégrales elliptiques de troisième espèce au moyen des notations proposées par Gudermann, en y ajoutant, par analogie, un symbole pour représenter, au même point de vue, en fonction de w et de a, la transcendante (9, n) de Legendre. Ces notations provisoires ne m’ont servi qu’à formuler brièvement les propriétés essentielles des intégrales de troisième espèce. Elles n’offrent guère d'utilité dans la pratique, où l'on rem- | place toujours ces intégrales par leurs expressions au moyen des. fonctions 8.

Ce Recueil de formules est terminé par quelques applications pra= tiques des fonctions elliptiques, qui montrent bien quelle grande ù simplification on introduit dans les calculs par l'emploi des fonctions. Se hyperboliques proposé par Gudermann. J'ai résumé, en faisant usage de cette notation, les belles formules du Mémoire de Jacobi sur la 5S rotalion des corps, et l’on voit sans peine combien ces formules

(*) Theorie der Potenzial- oder Cyklisch-hrperbolischen Functionen. x vol. in-/4, extrait | à du Journal de Creile, tomes VI, VII, VIII et IX. (**) Tafeln für sammuliche trigonometrische Functionen der cyklischen und hyperbohseees 3 Sektoren. Danzig, 1863.

Theorie und Anwendungen der hyperbolischen Functionen. Danzig, 1865. Voyez aussil'Introduction des Tavole dei logaritmi delle funzioni circolari ed iertoliche, dal dott. Ang. Forti. Pisa, 1863. hé (***) Theorie der Modular-Functionen und der Modular-Integrale, 1 vol. in- hs extrait des tomes XVIII-XXV du Journal de Crelle, E

(***) Die Lehre von denelliptischen Integralen und den Theta-Functionen. Berlin, 1864.

Re : | AVERTISSEMENT. [vu ] nu:

. gagnent par là en élégance et en simplicité, et combien leur mise en nombre devient facile par l'usage des Tables de fonctions hyperbo- liques. C’est ce que prouvent les calculs que j'ai effectués pour quelques-unes de ces formules.

La seule opération un peu pénible dans ces sortes de calculs, c’est la détermination d’une intégrale elliptique de première ou de seconde espèce, correspondante à une amplitude et à un module donnés, Pour faciliter ce travail, il serait bien à désirer que l’on possédât des Tables plus étendues, s’il est possible, que celles de Legendre, et - d’une disposition plus commode. En attendant que de pareilles

Tables aient été construites, on y supplée par des méthodes de cal- cul assez expéditives, tirées, soit de la transformation de Landen, - soit de la théorie des fonctions $. C’est ce dernier moyen que j'ai … employé pour construire la petite Table (page 58) qui donne les logarithmes de F (9,4) pour les valeurs des deux arguments voisines

T a Fe de eu de centième en centième du quadrant.

Les Tables qui forment la seconde Section de l’Ouvrage peuvent . se diviser en trois parties principales, comprenant : la première, les Jlogarithmes vulgaires et naturels; la seconde, les fonctions circu- - aires et hyperboliques; la troisième, les Tables de diverses transcéndantes et les Tables de puissances.

ad Parmi les Tables dont se compose la première partie, les Tables I

MevezII, qui donnent avec quatre décimales les logarithmes des 2000 . premiers nombres et les antilogarithmes, n'offrent rien de parti- 4 culier dans leur disposition. - 7 La Table TITI des logarithmes d’addition et de soustraction présente une disposition un peu différente de celle que j'avais adoptée pour les Tables analogues contenues dans mon précédent Recueil. L'expérience m'a démontré l'avantage de cette modification, grâce à laquelle le maniement de ces Tables acquiert une plus grande régularité, sans que la précision en souffre, comme cela a lieu lorsqu'on adopte les dispositions que j'ai critiquées dans l'Avertissement de ‘mes Tables à cinq décimales. i Par la combinaison des deux Tables d’addition et de soustraction, on forme une troisième Table donnant, pour chaque valeur de log, FER —. L'idée de la construction de cette

le logarithme du rapport :

Table est due à Gauss, qui en fit calculer une semblable, vers 1829, par son élève Weidenbach. Cette Table a éié insérée dans l'édition donnée par Jahn des Tables de Maurice de Prasse (*). Gauss en re- . commande l'usage dans divers calculs trigonométriques, notamment pour la résolution des équations

psir(A+P)—=a psin(B+P)—b6,

qui donnent ( 7heoria motus corp. cæl., art. 78)

> A + B A —B a lang n PR

. (*) Moritz v, Prasse’s logarithmische Tafeln für die Zahlen, Sinus und Tangenten, revidirt us. w. von K. Br, Mollweide und G. À. Jahn. Leipzig, 0. J., in-16.

[ vin ] AVERTISSEMENT.

J'ai donné à cette Table la même disposition et la même étendue qu'à la Table des logarithmes d’addition et de soustraction. |

Les Tables V et VII, qui servent à calculer les logarithmes vulgaires et les logarithmes naturels avec un grand nombre de figures, sont, comme la Table analogue du précédent Recueil, extraites du Supplément logarithmique de Leonelli. J'ai eu soin de vérifier tous les logarithmes qu'elles renferment.

Les Tables VI et VIIT ne donnent lieu à aucune remarque spéciale.

Dans la seconde partie, j'ai rassemblé des Tables des valeurs, tant naturelles que logarithmiques, des fonctions circulaires, construites suivant les diverses divisions angulaires qui ont été proposées jusqu'ici. Les deux premières correspondent à la division sexagésimale pure, soit du jour, soit du quadrant. La suivante, Table XI, se rapporte au système mixte imaginé par Briggs, et peut servir également dans la cas où l’on divise le degré en minutes et dans celui où on le divise en parties décimales. J’ai pu profiter de l’avantage que m'offrait cette division pour donner à la Table une disposition à double entrée, favorable à la rapidité des calculs.

Les quatre Tables qui viennent ensuite se rapportent à la division décimale du quadrant. J'ai fait ressortir ailleurs les immenses avanages que présente cette division naturelle sur les divisions artificielles jusqu'ici en usage (*), et les exemples numériques que j'ai dé-

veloppés justifieront la cause que je défends, comme on peut le voir a en reprenant les mêmes calculs à l’aide des Tables sexagésimales. 46 La première de ces Tables, la Table XIT, donne les valeurs natu- LS

relles des fonctions circulaires avec trois décimales. La suivante, la Table XIIT, contient les valeurs logarithmiques à quatre décimales, et est disposée à double entrée, comme la Table XI. La Table XV donne les valeurs naturelles avec dix décimales. «#

La Table XIV, dont il nous reste à parler, forme la partie la plus 54 importante de notre volume. Elle contient les valeurs, tant naturelles NN que logarithmiques, des fonctions circulaires, de millième en mil- ES lième du quadrant, et, par l'addition de deux colonnes auxiliaires, sert en même temps de Table pour les fonctions hyperboliques. Je me suis inspiré, pour la construction de cette Table, de l’ouvrage de M. Gronau, que j'ai cité plus haut; mais j'ai modifié sa disposition de manière à rassembler sur une même ligne toutes les fonctions d’un même argument, circulaire ou hyperbolique. De plus, j'ai donné deux évaluations du double secteur hyperbolique, savoir : sa valeur propre et son produit par le module des logarithmes vulgaires; en d’autres termes, l'argument hyperbolique

Tr QUE u — log lang E + 2) est exprimé, sur chaque page de gauche, par un logarithme naturel, etsur chaque page de droite, par un logarithme décimal. La pratique montre que ces deux modes d'évaluation ont chacun leurs avantages, suivant les cas que l’on traite.

(*) Essa critique sur les principes fondamentaux de la Geométrie clémentaire, Note V. — Note sur les avantages qu'offrirait, pour l’Astronomie théorique et pour les sciences qui s'y rapportent, la construction de nouvelles Tables trigonométriques suivant la division décimale du quadrant ( Vierteljahrsschrift der Astronomischen Gesellschaft, 2° cahier, p. 86).

AVERTISSEMENT. [1x ]

Cette Table peut servir en même temps à faire connaître les puissances positives et négatives de e,

e = Chu + Shu, e"= Chu — Shu.

Toutes les valeurs relatives aux fonctions circulaires ont été extraites de la Zrigonometria Britannica de Briggs.

La troisième partie se compose de Tables des fonctions elliptiques et d'autres transcendantes importantes, d’une Table des carrés et de diverses Tables de puissances.

Les petites Tables de fonctions elliptiques ont été en partie extraites des Tables de Legendre, en partie calculées directement. Les unes peuvent s’interpoler et servir ainsi au Calcul effectif des valeurs quelconques de ces fonctions ; les autres ont plutôt pour but de montrer la marche générale des transcendantes qu’elles renferment, ce qui suffit souvent pour la discussion des questions.

Les autres transcendantes, dont on trouvera ici des Tables abrégées, sont les fonctions F, le logarithme intégral et la fonction

Ca Er er dx, qui est d’un grand usage dans le calcul des proba- T Vo

bilités.

Vient ensuite une Table à quatre décimales des carrés des nombres depuis 0,000 jusqu’à 1,200. Cette Table est destinée aux calculs de la méthode des moindres carrés.

Enfin, la dernière page renferme diverses Tables de puissances d'un fréquent usage dans les calculs.

Dans ce travail, pour lequel je n'avais souvent aucun modèle qui pût me guider, j'ai dû laisser sans doute beaucoup de points incomplets. Sans doute aussi je n'ai pu, malgré tous mes soins, faire disparaître toutes les incorrections, soit dans les formules, soit dans les calculs numériques. J'espère cependant que le public saura gré à la Société des Sciences physiques et naturelles de Bordeaux de m'avoir mis à même de publier cet essai, qui pourra un jour donner l’idée de

composer un ouvrage plus étendu et plus parfait.

Pour assurer du moins à cet opuscule le mérite de la correction typographique, je prie instamment toutes les personnes qui y découvriront quelque faute, si légère qu’elle soit, de vouloir bien m'en donner avis, soit directement, soit par l'intermédiaire de M. Gauthier- Villars. Les fautes seront indiquées dans les Vouvelles Annales de Mathématiques, et les personnes qui les auront signalées recevront en retour un exemplaire corrigé.

INTRODUCTION