XXVI

Des intégrales de troisième espèce à paramètre imaginaire.

Soit le paramètre imaginaire #7 — pe’i, et posons, pour abrégér, Ge L2 = ne pe”) +n(s, pet), lain,=n(s, pe’) - n(y, pe vi).

N, et IL, seront donnés par les équations I D A TI - = —— ®) — — Aan+sn=-2rt cn m+ ff (117) «

, Z4 dz | ne. SEE NR m)+ [ 1+ A Eh À 2 2

INTRODUCTION, [ un | g, et g, étant les deux racines de l'équation

(8) (u+2Pucoss + #)g+ 24 pe = (u7+ aucosy + A)?

et z,, 4, m,,...,2,, L,, m,,... étant les deux systèmes, correspondants à ces deux racines, des valeurs des quantités z, 4, m,..., données par les équations

s'ne COS?

a+ gsin'e)4g” 1,2

D mm»

h = — — (A+ m) (At + 2 Au cosy + ?),

Cg(u?— amp cosy + m°) = g[n+(a+g)m+(i+am)#]—p, À — (1 F che 1; Bgpsiny = g'+(2+pcosv + m)g + poosv + Cg(ucosv — m).

Les deux valeurs de g sont réelles et inégales tant que 7 = e’i est imaginaire Soit g, € g,. On a alors

—i1<m<—-kF<m,<o, h>o>h,

Donc (9, »1,) appartient à la 2° classe ('P), et 11(+, 72,) à la 3° classe (D).

De plus, CA OLA?

dz 1 — 1 sing cos?.y/A, se = —— arc tang [ RE MOUV SUCRE Gr gene) ap + ds I 1 singcos®.y— /, 120) + — oTh ÿ— = —- Are Th —— { DETTES RPM AMONEN Es a RICEEET CITE

0 1+ 23, 4 ns À 29—h, 1+2,V—h,

Dans le cas particulier où p?+ 2p cosy + # = 0, et par suite g,—0,0on a m,=0, h,=—p, et la deuxième équation (117) se trouve remplacée par l'équation

e 1 u COS Y Sin (121) A, Il, + B, Il, — mr IL are Line vers re 7: $ XXVIL.

Réduction de la différentielle An rec RES * à a la forme Ar +B)y°+Cr+Dr+E normale Ai Reg LE de, m ÿ1 — Fsin’@ m A9

| Désignons par + R le polynôme en y sous le radical; on peut toujours supposer A= +1. On distingue divers cas, selon la nature des racines de l'équation R=o.