V. Quatre racines imaginaires
R={(r—6,}+c][(r—06,) +], (8, <b, cet c, positifs).
a+c o—c 9 cosb, L tangé — pat 7 tang6, — 5,5 nt à k = sin8, 6,, 0, et 20 aigus. +8 y, 8, L 2 6" dy __/cosô de vR Ci€s 49 J=— b, + Lim. [Le 6, LT À à 2 2
sé RS a. 5 tangg + lang#" tang (9 + 8) ER RE. à ba + es {ang tange
(ÉrnrR b,, + © 2° Lim. F .
LE Éd g" e M = 2 =p —, 1 tangé"tanse asie PA Er 7 = b, €, tange + tang#” + | S XXVIII.
Réduction de la différentielle F(y, ÿR) 4 aux différentielles elliptiques. F désignant une fonction rationnelle, et R un polynôme du troisième ou du quatrième degré en 7.
On commencera, à l’aide d’une transformation connue, par mettre F( 5 R)t PL sous la forme ; A. :
: ; 124 [ru + | dy, [TS
9 et x désignant des fonctions rationnelles.
Occupons-nous du second terme xUr) dr,
INTRODUCTION. [ 1x ]
La transformation du second ordre ramène immédiatement cette expression à la forme
fine)
La transformation du premier ordre la ramène à la forme
æ étant une des trois quantités sing, cosy, tango. Par un artifice connu, on décomposera la sein d (2) en deux autres, l’une paire, l’autre impaire. Celleci, multipliée par ee donne lieu à une différentielle qui s’intègre par arcs de
cercles et par logarithmes, en posant
d dt OUr Z—=sing, É— cos d'où f(x? PTIT ———; P ? ? ( ) AY ( De EYE xd dr ur æ = COS t = sin Me) Te pipi et l 1— L? dt our zæz—tan cu do F(2 e--r(—) our————— P 3%?) ? ( ) A9 t VAT 4218
La fonction paire de x peut toujours se mettre sous la forme f (sin?v), f désignant une fonction rationnelle. On est donc ramené, dans tous les cas, à une différentielle de la forme
4 do f\sin 1139
Par la décomposition en fractions simpies, cette fonction donnera lieu à des termes des formes suivantes :
Ad® Ado A sir 9.d@ A de ; A9” (1+rsin’e)A® so ” (1+zsine)"Ae
Dans les deux dernières, on peut réduire les exposants p et q à l'unité.
1° Soit Fe? 22 See ER 1} (1+rsin'e)4®
Par la formule de réduction
.2 .2 .2 42 (ag 2) (+ +2) 9, (299 [+ ED LE Tr 144 34 42 +(29— 0 ( - +) Ver (29 — 5) Vos Sing cospAg (i+ sing)”
on abaissera En os jusqu’à la valeur :, et l’intégrale proposée V, dépendra alors des intégrales : Ê °
4 de k ES Pere arc L ñ),
et des intégrales V,, V,, qui se ramènent à des intégrales de la forme
sin?o.d® +;
Dr
PET : de , PAU Fe ne : | [ix] © INTRODUCTION.
2° Soit LE [ Sn”g.dg # = f A
La formule de réduction (2p—1)ÆX,—(2p—a2)(1+Æ)X,.+(ap —3) permettra d’abaisser p jusqu’à la valeur 1, ce qui fera dépendre X, des inté,
x,= [= F(# x, = [ES ?. de
F(?) Eh
LICALIR
X,, = sin? cosy V1 &
INTRODUCTION. [ Lx1 ]
