Reforme de la geometrie

Il est une vérité qui un jour deviendra vulgaire, c'est qu’il est radicalement impossible de traiter la moindre question d'une manière convenable, sans la considérer comme se rattachant nécessairement à un tout philosophique qui la contient et qui peut seul en fournir la solutiop. Ce tout, qu’il faut au préalable avoir saisi dans ses différentes parties, est l'ensemble de toutes les idées de l’esprit humain. Ces idées doivent avoir été expliquées dans leur formation, dans leur développement, par une théorie qui les renferme toutes et qui les présente comme s’enchaînant dans une harmonie parfaite. Le résultat Inévitable de ce travail est de donner à l’esprit qui l’afait la vraie méthode, et la force nécessaire pour arriver à la découverte de la vérité dans tous les genres de connaissance. L’homme qui est à même d’embrasser, dans un simple coup d’œil, l’unité complète de toutes les pièces de la machine à connaître, et qui peut la voir fonctionner dans son mécanisme sévère et régulier, doit aborder sans Crainte la solution des problèmes les plus délicats et les plus compliqués que puissent poser les sciences particulières : il aperçoit dans leur vrai jour ces diverses sciences, et il sait en quoi peut consister l'accord de

l’homme avec lui-méme.

Mais aussi, quiconque

r une des branches de la con-

naissance humaine sans s’être mis dans la disposition d’esprit dont il s’agit, ne sait, absolument parlant, ni ce qu’il fait, ni ce qu’il dit. Il ignore forcément la signification réelle de la plupart des mots dont il se sert, et ressemble àfun marin qui s’agiterait au milieu d’un océan dont il ne connaîtrait ni les écueils, ni les gouffres, ni les courants, ni aucune des choses qui pourraient ù chaque instant le perdre et lui donner la mort. Oui, sans la connaissance philosophique, sans la détermination parfaite de la naturedes idées qu’on ne peut agiter si lestement et mettre dans toute espèce de tableau, on ne peut écrire une seule ligne, ayant quelque valeur, sur la science, la morale et la politique. Tout ce qu’on pourrait dire à ce propos, en dehors des conditions que nous avons énumérées, manquerait des caractères essentiels à la certitude; et si par hasard quelques brins de vérités s’y trouvaient égarés, ils ne pourraient être reconnus comme tels, qu’à l’aide de la science même que l’esprit aurait dû d’abord acquérir. On peut assurément, sans cette connaissance suprême et avec le seul secours de quelques sentiments vagues, captiver les regards des ignorants, leur donner de la vaine déclamation pour des idées sérieuses et acquérir leur estime, même leur amitié, en faisant pénétrer dans leur esprit, où la plus triste confusion règne, les erreur les plus grossières. Mais à quoi peut aboutir ce facile et dangereux triomphe? Quelle satisfaction l’amourpropre peut-il y trouver? Et pourrait- on jamais, dans cette diversion , ressentir une véritable jouissance et goûter le sentiment d’une gloire réelle et pure? C’est dans une autre voie que l’on rencontre, avec les dons de l’honneur, les applaudissements de sa conscience; cette voie est indiquée parjla philosophie, par l’étude de l’entendement humain. Ce précieux instrument contient le secret de toute science; l’étudequ'il exige est la plus importante, et il faut la conseiller vivement au début d’un travail quelconque: on peut affirmer que sans elle il est impossible de faire autre chose que des phrases, de causer à un bout, et de rendre, soi-même et les autres, esclaves des plus désastreuses iAffbns.

Le chaos dans lequel sont actuellement les esprits a pour cause l’ignorance du sujet dont il s’agit. On aura beau les torturer par des productions éphémères, leur jeter en pâture les substances les plus variées, les faire parler de tout lors même qu'ils ne savent rien , la confusion ne fera qu'augmenter jusqu’au jour où l’on se demandera quelles sont les lois de celte intelligence humaine, si facile à émouvoir et a égarer. Cette question, bien comprise, doit conduire à une élude qui fera tomber le voile épais qui cache la nature intime de la science , et transportera infailliblement l’humanité dansun monded’idées tout à fait autre que celui dans lequel elle s’agite si tristement aujourd’hui. Alors , quiconque voudra se faire écouter devra commencer par donner sa philosophie, sans quoi on ne prendra pas la peine inutile de l’entendre. On aura cessé de vouloir traiter d’une manière foudamentale une science particulière sans connaître le lien qui la rattache au tout dont elle dépend. On ne parlera plus morale ou politique, de Dieu, de l 'âme, du devoir et du droit sans avoir la moindre idée des sciences et des rapports qu’elles ont entre elles. Une polémique ignorante et sans valeur sera remplacée par des expositions précises des produits divers de la connaissance humaine. Les lois mêmes des choses régneront, et l'ordre le plus parfait possible résultera du jeu d’un mécanisme qui n’est pas autre chose que celui de la nature elle-même.

Croyant avoir pris les précautions nécessaires â la recherche de la vérité dans toute science, je vais essayer d’indiquer la voie que l’on doit suivre, alin d’avoir toujours cette vérité pour guide , et de ne pas confondre des produits erronés avec ceux qu’elle aurait fournis. Dans le livre de la Théorie de la Raison humaine, j’ai exposé les lois de l’entendement humain dans la production de toute science. Cette exposition étant complète et formant, d’après ce que j’ai dit, l’introduction indispensable à tout travail sérieux , il ne peut que rester à étudier dans leurs détails les différentes sciences particulières, afin devoir d’abord si elles sont construites en conformité de la chose à laquelle elles doivent leur existence ; puis, dans le

cas contraire, montrer quelle est leur véritable nature et dans quel sens la réforme doit être opérée. Comme nous- allons les apprécier dans leur relation avec l’objet dont elles dépendent, il nous sera facile, si nous observons avec exactitude, d’en donner la véritable valeur et de rétablir les produits qui les composent dans l'ordre indiqué par la loi invariable de l’Etre qui les engendre.

Occupons-nous premièrement de la géométrie et étudions-la d’une manière fondamentale. Ce que nous en dirons résultera de l’examen que nous aurons été obligé d’en faire au point de vue de l'entendement humain, et non en considérant isolément les produits qu’elle contient. Cette route dans laquelle nous entrons est seule fructueuse; il faut constamment la rechercher et la suivre. Quel que soit le genre de travail auquel on veuille se livrer, on ne doit point craindre d’y marcher avec assurance ; et l’on s’abuserait étrangement, si l’on cherchait ailleurs , à propos de méthode, les matériaux -d’aucune découverte. C'est en la parcourant que nous avons aperçu les résultats que nous allons formuler.

Là géométrie étant , comme nous Pavons dit , une science particulière de l’ordre transcendantal, ses propositions ont une valeur générale absolue. Sa matière est renfermée dans le distinct (t ) de la forme qui nous est grossièrement donné par les objets extérieurs , puis rectifié par l’activité intellectuelle qui laisse dans la conscience les produits qu'elle a obtenus dans ce travail : ces produits sont des formes régulières et idéales qui sont la base véritable delà géométrie. Celtescience étant construite à l’aide de produits donnés par l’activité s’exerçant sur des distincts d’objets qu’elle transforme , absolument parlant elle ne peut s’appliquer qu’approximativement aux objets qui ont été la source des distincts primitivement fournis. 11 n’y a , en efiet, dans la conscience empirique, ni triangle parfait, ni cercle parfait, ni sphère exacte. Ce qui aura été dit théoriquement, à propos de ces formes, ne pourra avoir

1.1) Cette expression est employé Jpour épargner la répétition des mots qualité, propriété, partie, prédicat jlnode, etc., qu’elle sert à remplacer.

d’applicalion que par rapport h des formes irrégulières, puisqu’il n’y en a que de telles dans la nature. En pratique , on peut donc s’approcher de plus en plus de l’exactitude, mais on ne saurait jamais y atteindre rigoureusement. La science transcendantale est donc on dehors des objets, et les empiristes, qui se croient des philosophes, n’affirment et ne comprennent que le tiers.de la connaissance humaine. Les sciences transcendantales et les sciences transcendantes leur échappent complètement et ruinent leur prétention à toute philosophie.

Les formes, quelles qu'elles soient, sont déterminées par des lignes qui en sont les distincts. La géométrie a donc pour objet des lignes et des angles et les différentes figures que peuvent former ces lignes et ces angles. Il est facile de voir qu’on peut aborder cette étude sans s’escorter de tout cet attirail de définitions , de principes et A' axiomes dont les géomètres ont l’habitude de la faire précéder, et qui ne peut avoir d’autre effet que d’entraver l’esprit dans ses premiers pas- 11 s’agit assurément d’augmenter la somme de nos connaissances, de saisir des distincts, pourquoi alors commencer par amortir nos facultés en les faisant fonctionner dans le vide? Les principes el les axiomes dont on fait tant de bruit, et qu'on regarde comme les pivots essentiels de la géométrie, ne lui sont d’aucun secours, comme je l'ai assez fait voir dans un autre endroit. Ces propositions représentent des distincts des lignes, des angles et des figures, comme toutes les autres propositions, et pas autre chose. Elles ne sont ni antérieures ni supérieures à aucune de celles dont se compose la géométrie. Ensemble elles forment un tout de même nature, mais il n’en est pas une seule qui puisse être posée comme base fondamentale d une autre. Enonçons-les donc successivement et à mesure que nous les apercevons, sans nous occuper à faire des bigarrures dans notre exposition. Les variétés imaginaires et les divisions artificielles que l’on y ferait intervenir ne serviraient qu’à en voiler la face et à jeter dans l'ombre la plus magnifique des sciences.

Les personnes qui ont l'habitude de l'enseignement ne se doutent pas de la fâcheuse influence qu'ont ces propositions préliminaires sur l'esprit des commençants. On comprend qu’il doit leur coûter beaucoup d’introduire le moindre doute, dans ce qu elles regardent comme le dernier mot de la certitude et de la précision. L’idée de la nature intime de la géométrie ne peut acquérir que difficilement de l’importance dans un entendement catégorisé. 11 «faut assurément faire des efforts pour consentir à examiner des remarques s'attaquant à la base fondamentale d’une science proclamée définitive. Aussi arrivet-il toujours dans l’enseignement, quele professeur avanced’un pas ferme et assuré, lorsque l’élève est le plus tourmenté. Le premier excite son ardeur et déploie son activité au sein de la plus grande conviction, lorsque le second piétine, doute, hésite, tombe dans l'indifférence et le découragement. Ils se quittent bientôt, sans s’être compris une seule minute, et sans connaître la cause d’une antipathie qui fait disparaître en eux jusqu’au moindre désir de se rapprocher.

Les géomètres, qui parlent beaucoup, comme on le sait, de définitions, de principes, d’axiomes, de démonstrations, d'explications, de preuves, ne paraissent guère s’inquiéter du sens précis que l’on doit attacher à ces expressions. Il en est à peine une seule que l’on lâche de faire saisir; lorsqu’on a dit qu’un axiome est une proposition évidente par ellemême, on passe à vol d’oiseau sur les autres et on les emploie néanmoins à chaque instant. 11 est impossible cependant de les comprendre tout d’abord, et il suffirait qu’elles représentassent, ou des abstractions, ou des opérations de l’entendement, pour qu’elles fussent nettement circonscrites. Une démonstration n'est ni une preuve, ni une explication, et l’on ne peut employer sérieusement un de ces termes sans faire saisir au préalable la chose qu’il désigne. Quelle est donc la différence qui les distingue et dans quel cas faudrait-il employer l’un plutôt que l’autre? Qu'est-ce qu'une démonstration ? Qu’esl-ce qu'une explication! Qu’est-ce qu’une preuve. Il faut de toute nécessité répondre à ces questions; et celui

qui ne se les est pas d’abord posées, a oublié la condition fondamentale de toute élude vraiment fructueuse.

On voit facilement qu’on ne peut répondre à ces questions sans avoir saisi dans leur ensemble toutes les opérations intellectuelles, et qu’il faut les avoir décrites, pour que les termes destinés à en rappeler l'idée aient une signification parfaitement déterminée. C'est dans l’exposition d’une philosophie complète qu’il faut chercher la solution de pareils problèmes ; elle ne saurait se trouver ailleurs, et tout ce qu’on pourrait apporter en dehors de ce champ ne serait que mensonge et illusion. Quand on a dit par exemple qu'un axiome est une proposition évidente par elle-même, on doit, il nie semble, montrer en quoi consiste Y évidence et quels en sont les caractères. C’est précisément parce que la chose a été impossible, que la plus grande confusion s’est établie dans la partie théorique de la Géométrie, et que l’on se trouve très embarrassé de voir si telle ou telle proposition doit être oui ou non démontrée. Toutes les difficultés disparaissent lorsqu’on remonte à la source féconde que j’ai signalée. Il est inutile de répéter ici ce que j’ai développé dans un autre ouvrage. J’y ai fait voir clairement qu’une explication est une énumération de distincts, qu’une démonstration a pour but une appréciation de rapports, et qu’une preuve n’est pas autre chose qu’un parcours de construction, qu’un retour de l’activité sur une construction qu’elle a faite. Par conséquent, toutes les fois que ces mots ne rappellent pas ces idées, ils n’ont aucun sens. La démonstration est l’expression dont on abuse le plus et dont on fait le plus mauvais usage. On parle souvent de démontrer où il n’y a nullement sujet à démonstration. On trouve par exemple dans la géométrie élémentaire une longue proposition dans laquelle on prétend démontrer, que lorsque deux triangles ont deux côtés égaux, et que l’angle compris entre les deux côtés du premier est plus grand que l’angle compris entre les deux côtés du second, le côté opposé au plus grand angle est plus grand que le côté opposé au plus petit angle. Il est clair qu’il ne s’agit ici, ni d’apprécier un rapport entre

(leux termes, ni d’énumérer et de faire saisir les différents termes d'une construction ; il ne peut être question par conséquent, ni de démonstration, ni de preuve; il y a tout bonnement un distinct à faire saisir, c’est-à-dire une explication à donner, un fait à constater. Mais vouloir démontrer celte proposition, c’ist prouver qu’on ne sait pas ce que l’on dit, et que l’on aime à causer à un bout sans s’inquiéter de la signification des mots que l’on prononce. Aussi ne faut-il pas être étonné du chemin qu’à celte occasion va vous faire parcourir le géomètre. Il va d’abord vous faire construire sur un côté, un angle égal à un angle donné, lors même qu’il ne vous donnera connaissance du procédé à employer que beaucoup plus tard; il vous fera ensuite diviser un angle en deux parties égales, sans vous dire comment on doit s’y prendre, puis vous arriverez à voir, dans la lanternemagique d'une égalité, qu'un côté est plus grand que l’autre, qu’au plus grand pied il faut la plus grande botte, à la plus grosse tête le plus grand chapeau. Il est clair que dans ce cas il s'agit de s’emparer d’un distinct et non de saisir un rapport, qu’il ne peut être question de démonstration et de preuve, mais d’une simp/e explication qu’il suffit de donner.

Ces mauvaises habitudes des géomètres leur ont été léguées pas les soi-disant logiciens du moyen âge, dont l’empire en philosophie ne renaîtra plus. Qui ne sait combien de temps ils ont perdu à démontrer ou à prouver telle ou telle proposition, à établir l’existence de tel ou tel être imaginaire, et à contredire les notions les plus évidentes, pour les soumettre au jeu de je ne sais quel squelette dont l’aspect vous étonne autant qu'il vous répugne. L’esprit, en reprenant sa liberté et en se contemplant dans sa véritable nature, a commencé la ruine de cet édifice monstrueux qui a croulé sur ses fondements, et dont il ne reste guère que les débris. On ne conserve aujourd’hui que le souvenir de cette babel morale; mais pour qu’elle ne puisse renaître de ses matériaux épars, il faut les réduire en cendres, et jeter au vent ce capul mortuum des produits informes de la raison égarée. Les sciences ne se

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sont développées que par la ruine de la dialectique, qui n’est autre chose que la scolastique elle-même. C’est la philosophie qui lui a porté le coup mortel en la démolissant pièce par pièce; et si les géomètres ne se sont pas aperçus plus tôt de la fausse voie dans laquelle ils se trouvent engagés, c’est qu’il n’a pas paru évident que la philosophie soit un aide nécessaire à l’étude de lu géométrie et des mathématiques en général. On accorde volontiers qu’on ne peut faire de la philosophie sans le secours des sciences particulières, mais la réciproque a paru contestable à un certain nombre d’esprits, bien quelle soit tout aussi vraie que sa corrélative. On s'est donc donné complètement aux sciences sans s’occuper de la philosophie, et l’on a cru pouvoir se proclamer géomètre et mathématicien, lors même que l’on ignorait la nature des données qui forment la base fondamentale des sciences dont il s'agit. On s'est reposé dans les téuèbres avec autant de satisfaction et de tranquillité que si l’on eût possédé le flambeau même de la science.

C’est pour essayer de faire disparaître cet état de choses que j'ai entrepris ce travail. J'ai tâché de faire pénétrer dans les sciences exactes la délicatesse et en même temps l’énergie de l’esprit philosophique. J’ai voulu surtout montrer quelle est la véritable forme de la construction générale de la géométïie. Après l’avoir dépouillée de tous ses faux ornements, j’ai fait ce qu’il a dépendu de moi pour la transporter dans la plus parfaite lumière, et lui donner sa position naturelle. Je ne doute pas que ce changement de situation ne lui soit très favorable et ne lui attire beaucoup de sympathies. Ses abords étant débarrassés des ronces et des épines qui y croissaient en abondance, on pourra s’en approcher par les chemins les plus larges, .sans rencontrer les moindres entraves. Il est inutile, après cela, d’en faire ressortir les beautés, car il suffit de la contempler dans toute sa simplicité pour lui accorder la plus grande valeur.

Quiconque voudra désormais mettre la géométrie à la portée des intelligences et l'enseigner d’une manière rationnelle,

devra, je crois, la présenter telle que nous venons de la voir et en écarter tout ce qui n’est que vague expression et pure enflure. Cet attirail embarrassant de définitions, de principes, d axiomes, de théorèmes, de lemmes , de scolies, de corollaires, doit être mis complètement de côté , ainsi que les autres distinctions futiles qui n’ont d’autre effet que de surcharger l’esprit et de le fatiguer dans sa marche. Ces superfluités n’ont été introduites dans la Géométrie que par les esprits étroits qui, se sentant incapables de quelque ampleur, se plaisent à épiloguer sur les moindres choses. Le langage des grands géomètres est toujours très simple et parfaitement clair; les médiocrités ne paraissent avoir d’autre but que de l’embrouiller et de le rendre insaisissable. A leurcontact la sciences’étiole, s'abaisse ettombe dans des formes pédantesques et ridicules qui la rendent inabordable. 11 faut la dépouiller de tout ce qu’elle a reçu de ce côté; supprimer ces répétitions dont on peut se dispenser; rejeter loin de soi ces divisions , sans base fondamentale , des diverses propositions qu’elle contient; cesser l’emploi des termes abslraitssans les avoir nettement déterminés, et montrer dans un enchaînement régulier le lien qui existe entre les vérités de la science particulière dont il s’agit. N’oublions pas que l’enseignement doit avoir pour but le développement de l’esprit, lequel un jour devra penser avec liberté et se débarrasserpréalablementde tout cequ’il aura reçu. Préparons-le à l’avance pour cette transformation salutaire, et évitons de le catégoriser en le jetant dans un moule tyrannique qui serait pour lui une chaîne éternelle.

En exposant ce que je crois être la vraie méthode géométrique, j’ai été conduit à trouver quelques solutions nouvelles à des problèmes posés et à adopter, pour unités des surfaces et des volumes, des quantités autres que celles qui sont en usage. J’étais , par là , infailliblement poussé à demander la réforme du système des mesures et à proposer le triangle équilatéral et le tétraèdre régulier pour remplacer le carré et le cube. Toutefois, les procédés que j’ai développés, conserveraient leur

avantage pour le cas où le changement n’aurait pas lieu, parce qu’il y a un moyen très-simple de transformer en carres les triangles équilatéraux obtenus. Il suffirait, pour cela.de multiplier le nombre de triangles équilatéraux par la racine deuxième de 3, et de diviser le produit obten u par 4 pour avoir le nombre équivalent de carrés. Si l'on avait , je suppose, 846 triangles équilatéraux à transformer en carrés, on multiplierait 846 par la racine deuxième de 3 qui est 1 , 73 , ce qui donnerait pour produit 1 463, 58 ; en prenant le quart de ce nombre, nous aurions 385 ra s,t89 décimètres carrés qui représenteraient la môme surface que 846 triangles équilatéraux. On s’y prendrait d’une manière analogue pour transformer les tétraèdres réguliers en cubes. Qnant aux autres simplifications indiquées, elles sont toutes indépendantes des unités de surface et de volume.

Ce n’est point dans le but de proposer quelque procédé expéditif dans telle ou telle circonslance que j’ai entrepris ce travail; j’avoue même que cette idée n'a eu que peu d’influence dans toute l’exposition. Celle qui m’a constamment dirigé est celle qui me moutrait les caractères d’une nouvelle méthode destinée à transformer les sciences mathématiques et à les faire paraître dans leur vrai jour. Je suis intimement persuadé qu’elle conduira celui qui voudra la prendre pour guide, aux découvertes les plus importantes , car elle est la seule naturelle et la seule vraie. Je puis donc la conseiller sans crainte à ceux qui ont plus de temps que moi à consacrer à l’étude des sciences transcendantales et qui peuvent se livrer entièrement à la recherche des admirables vérités qu’elles contiennent. Le champ qui les renferme est très fécond ; on peut môme dire qu’il est inépuisable. L’esprit peut donc y fouiller sans cesse et être certain d’y rencontrer chaque jour de nouveaux trésors. Ces vérités innombrables ne noussont arrivées jusqu’à présent que par lambeaux ; leur systématisation, leur arrangement dans une construction unique a été impossible. 11 faut néanmoins que cette tentative aboutisse, il faut que le tout soit formé et qu’on voie une chaîne non inlerrom-

pue de la première vérité à la dernière. Heureux celui qui pourra saisir cette loi admirable, formuler cet absolu arithmétique, et renfermer dans une équation la solution de tous les problèmes! Cette unité suprême est indiquée par la nature même de la construction dont elle doit exprimer les lois. La construction est entière; elle est représentée par la suite naturelle des nombres ou par le développement à l’infini d’une figure géométrique quelconque. Reste à faire saisir la loi d’après laquelle on passe d'un terme à l’autre et comment ils se déduisent les uns des autres. Toute la science transcendantale, c'est-à-dire toutes les sciences mathématiques , se réduisent à ces questions fort simples. Celui qui pourra leur trouver une réponse rationnelle, saura à la fois l'arithmétique, l’algèbre, le calcul différentiel et le calcul intégral , la géométrie d'une manière complète, et pourra résoudre, sans la moindre difficulté, l’universalité des problèmes. C’est donc sur ce point capital qu’il faut concentrer ses forces, c’est là qu’est le foyer où se réunissent les rayons de toutes les sciences à con structions entières, c'est à la lumière qu’il donne qu'on découvre les lois de toutes les combinaisons, la clef de tous les secrets, et que l’on s’empare du moyen propre à triompher des difficultés les plus opiniâtres. Le travail qui m’occupe aura certainement un assez grand prix, s’il peut contribuer à faire marcher résolument dans cette direction féconde l’esprit scientifique moderne. L’activité intellectuelle doit cesser de se perdre dans de vains détails, de formuler des propositions insignifiantes, de se jouer avec des particularités stériles , pour s’élever aux notions supérieures , où se trouvent renfermées les connaissances générales nécessaires à l’aide desquelles nous obtiendrons la solution de tous les problèmes qui se posent à chaque instant sous nos pas.

Fin de la première livraison, publiée dans l'ami des sciences, n“ des 15 et 2' février 1857.

Paru. — Imprimerie de J.-B. G «os et Donsaub, rue des Noyers, 7t.