Reforme de la geometrie

Le mathématicien, après avoir étudié à part et successivement les sciences ayant pour base : les unes, l’idée du nombre, les autres, l’idée de la forme, s’aperçoit bientôt que ces différentes sciences ont des caractères communs, et que les moyens de recherche employés dans l’une peuvent servir à formuler des résultats qui sont du domaine de l’autre. C'est en se livrant à l’examen des caractères de cette analogie qu'il parvient à trouver, par des opérations sur les nombres, la solution de problèmes dépendant de la position d’une ou de plusieurs lignes, et, réciproquement, à montrer comment, par de» combinaisons de lignes, on peut produire des représentations de rapports entre les nombres. Toutes les questions dont les réponses peuvent se trouver en se servant simultanément des procédés communs aux sciences dont il s’agit constituent une branche de nos connaissances, que l’on désigne ordinairement sous le nom de Géométrie analytique.

Pour saisir le vrai sens de cette expression, pour connaître à fond ia méthode de lu science dont elle rappelle l’idée, il est nécessaire de remonter jusqu’à la natuie même des notions qui lui servent de base; il faut voir quelle relation existe entre te nombre et la forme , et comment, de l’essence de l’un et de l’autre, on peut tirer un instrument propre à nous cou-

(luire à la découverte de vérités jusqu’alors impénétrables. Ce champ une Fois exploré, nous pourrons marcher rapidement dans toutes les voies de l’analyse, et en connaître les secrets les plus cachés : nous aurons pris ainsi la science à la source réelle de son développement et nous n’aurons qu’à céder à un entraînement naturel pour la parcourir dans toutes ses parties. Aucune autre marche ne saurait nous conduire au but que nous voulons atteindre. Toute méthode vraiment rationnelle doit pouvoir montrer la science qu'elle élève dans sa construction complète : ce qui n’existe que par pièces n’est réellement pas. Les propositions isolées que l’on parvient à formuler par des tâtonnements longs et pénibles ne sont que des débris sans valeur; elles ne sauraient aider au progrès d’une science qu’elle dénature le plus souvent et qui devient de plus en plus difficile à dégager. Ceux qui s’occupent à ce pénible travail n’ont pas, à vrai dire, le sens de la science; ils ressemblent à des enfants qui résolvent tous les problèmes en essayant successivement les nombres afin de voir quel est celui qui satisfait aux conditions de l’énoncé.

Mous n’avons besoin que de rappeler ici que l’idée du nombre correspond a un acte de l’activité, que tous les actes sont semblables et qu’ils peuvent par conséquent être construits dans toute l'étendue de la conscience. Un nombre quelconque représente donc une partie plus ou moi ns grande de la construction entière dans laquelle ils sont tous contenus et qui va du simple à l 'absolu. Nous avons dit que les constructions de cette sotte déterminaient la conscience transcendantale dans laquelle se forment principalement les sciences mathématiques.

Si nous envisageons maintenant l’idée de la forme, nous verrons qu’elle est obtenue par un travail de l’activité du moi s’exerçant sur des produits fournis par les objets qui tombent sous les sens et qu’elle a pour but de transformer. Les figures géométriques, avec la parfaite régularité qu’elles possèdent, sont de putes créations de l’entendement. Elles peuvent par conséquent embrasser toute l’étendue de la conscience et être l’objet d'un effort quelconque de l’activité les faisant cou-

rir dn simpleà l’absolu et réciproquement. Donc elles jouissent d’une propriété qui est commune aux nombres: donc le nombre et la forme sont du domaine de la même conscience; donc ils peuvent concourir à la formation d’une science unique ; donc l’analyse est possible. Les lois de cette science seront faciles à poser, et nous n’aurons pas de peineà composer le rôle que chacune des idées fondamentales devra remplir. Puisque l’idée du nombre et celle de la forme aboutissent aux deux infinis, elles devront nécessairement être dans un même rapport pour tous les termes de la construction que chacune d’elles développe. Mais comme le nombre des formes est indéfini et que toute forme peut subir un effort infini de l’activité et être construite, il reste évidemment à choisir la forme type qui devra être prise : quelle est celte forme ?

Demandons-nous d’abord quels en sont les différents distincts et quelles conditions elle devra remplir. Il est clair qu’elle devra pouvoir engendrer toutes les autres formes et représenter, par une disposition simple, la suite naturelle des nombres. Or la forme génératrice qui se présente immédiatement et à laquelle toutes les autres peuvent être facilement rapportées est la forme triangulaire; elle remplira toutes les conditions voulues si elle peut représenter la construction entière des nombres. Cela ne saurait être l’objet d’un doute. 11 est visible immédiatement et par la seule considération des nombres triangulaires que la forme dont il s’agit renferme la propriété dont nous avons besoin. Maintenant il n’y a aucun effort à faire pour voir que le triangle peut engendrer toutes les autres figures et que tout nombre peutêlre considéré comme en étant une partie plus ou moins grande. Si dans la géométrie plane nous n'étions pas arrivé par une voie réellement logique à choisir le triangle équilatéral comme unité de sut face, il nous serait indiqué ici par des raisons non moins importantes. Nous verrons encore par la suite que le choix que nous avons fait est la condition nécessaire de toute analyse vraiment rationnelle.

ïiesunifésdeehaquenombrepmivantêfrec"nsidérées comme

des points, on comprend qu’il y a toujours possibilité d’arranger ces points en triangle comme on le.voit ci-dessous.

Il y a dans cette figure 21 points ; ce qui permet dédire que 21 est un nombre triangulaire. Tout nombre dont la somme des mités prises comme des points peut former ainsi un triangle équilatéral est appelé nombre triangulaire. 3, 6, 10, 15, 21,28, 36 sont des nombres triangulaires.

Il résulte évidemment de là qu'un nombre quelconque est toujours égal à un nombre tiiangulaire, plus ou moins une certaine somme d’unités toujours plus petite que le côté du triangle formé.

11 est clair que rien n’est plus facile que de passer maintenant du nombre à la forme. On sait que la somme des points contenus dans une figure triangulaire est représentée par la formule :

N étant le nombre des points contenus dans un côté de la figure et a le nombre triangulaire qui en résulte.

Si nous appliquions cette formule à la figure placée plus haut, nous aurions :

C’est-à-dire que pour avoir le nombre triangulaire lorsqu’on connaît le côté il suffit de faire le deuxième produit du nombre des points contenus dans ce côté , ajouter ce facteur au produit obtenu et diviser la somme par 2. Inutile d’ajouter que tout nombre peut être décomposé en un nombre triangu-

laire ; 17, par exemple, est égal au nombre triangulaire 15 auquel il faudrait ajouter deux unités; et le nombre 18 est égal à la sommçdes deux nombres triangulaires 15 et 3.

Je ne veux pas ici pousser plus loin ces rapprochements et donner à penser que je cherche à épuiser le sujet. L'important est que je jalonne le chemin afin que chacun puisse en rerouver les traces et qu’il soit toujours possible de l’exécuter lorsque l’occasion s’en présentera, lime suffit d’avoir montré où est le point de ralliement du nombre et de la forme pour que la difficulté fondamentale ait disparu cl que la base de la science qui nous occupe soit posée d’une manière inébranlable.

L’équation

donne, avons-nous dit, la somme des unités contenues dans le nombre triangulaire. Si nous tirons la valeur de n’, nous aurons d’abord

n' = 2 a — n; puis

En mettant à la place de a, un nombre triangulaire, 21 par exemple, il viendra

L’équation qui précède peut être considérée comme étant fa plus simple de toutes les équations du deuxième degré. Sa solution peut donc servir de base à Cède d’une équation quelconque de cet ordre. Or, rien n’est plus facile que d’avoir la valeur de n dans l’équation

car il suffit de chercher le plus grand deuxième produit contenu dans 42. Ce nombre étant 36, il en résulte que n=6

En se reportant à la nature du nombre triangulaire, on voit

qu'il peut représenter un certain nombre de triangles équilatéraux. Ainsi, en admettant que la distance comprise entre chaque point de celui que nous avons figuré plus haut soit égale à l’unité de mesure, nous aurions, en joignant chacun des points par des lignes droites, un uombre de triangles exprimé par

(»4)(n 4) = N* — JN-f 4.

Si nous supposons que le nombre triangulaire soit 21 , il en résultera :

Il est visible qu’il y a encore là une équation du deuxième degré dans laquelle on pourrait facilement trouver la valeur de N, si 1' n avait l’équation

qui est celle du nombre triangulaire correspondant. Il suffirait pour cela de retrancher la première équation de la seconde, et nous aurions immédiatement

d’où

En multipliant n — 2 par n— 2, on obtient n> — 4 n + 4= 46;

et en m îltipliant n — 3 par n — 3, il vient » , -6»t9 = 9.

Maintenant (n — 4) (n — 4) donne

On pourrait sans doute continuer ces développements; mais ils sont assez nombreux pour faire voir comment se forme une équation du deuxième degré et ce qu’elle représente réellement. Le premier terme d’une équation de cette sorte est le deuxième produit du côté d’un nombre triangulaire ; le coefficieut du deuxième terme est à la somme des quantités

retranchées de n, et le troisième est égal au deuxième produit de la moitié du second terme. Le quatrième est le deuxième produit du reste que l’on obtient en retranchant de n des quantités déterminées. Les troisième et quatrième termes sont les deuxièmes produits des nombres consécutifs, placés dans un ordre inverse. Il est inutile de pousser plus loin cette énumération, qui suffit du reste à faire découvrir immédiatement la valeur de n dans une quelconque de ces équations.

Lorsque la quantité retranchée est égale à la moitié de n, l’équation est

n* — 6n +9 = 9, ou

ou encore

On pourrait tirer delà, sans le moindre effort, la règle que donne l’ancienne algèbre pour avoir ce qu’elle appelle les racines dans une équation du deuxième degré, règle qu’elle ne parv ient à formuler qu’avec une peine infinie. Les algébristes paraisssent encore plus que les géomètres vouloir se mettre tout à fait en dehors du bon sens et de la raison. On ne saurait imaginer dans quel inextricable labyrinthe ils cachen les vérités les plus simples et les plus utiles, et à quelle effrayante torture ils soumettent l’intelligence avant de lui laisser goûter avec bonheur le plus mince rayon de lumière.

Voyons comment ils abordent l’élude des équations du deuxième degré. Ils commencent par donner la forme générale de celte équation, qui est, disent-ils,

aaé + 6 æ + c =0

et qui se présente de la façon la plus mystérieuse et la plus inattendue. On ne sait d’où elle vient ni ce qu’elle signifie. La magie blanche et la magie noire n’ont pas de surprise plus étonnante. Néanmoins, il faut que l'intelligence des élèves trouve cela très clair et très rationnel, et qu’elle consente à avouer que rien n’est plus naturel. On ne voit pas trop comment des quantités réelles ajoutées les unes aux autres peuvent

donner pour somme zéro ; mais cela n’est qn’nne affaire secondaire. Divisons chaque membre de l’égalité par a et avançons de plus en plus dans la route de l’absurde.

Nous aurons définitivement

Mais d’où vient celte formule, et que représente-t-elle? Ou ne le sait pas trop, maison n'en continue pas moins de combiner lettres et chiffres de la manière la manière la plus capricieuse et la plus bizarre. A voir l’algébriste, on croirait que l'analyse n’est qu’un composé de pièces articulées susceptibles de prendre, sous une impulsion quelconque, toute espèce de formes. Les résultats les plus importants paraissent découler de la combinaison la plus aventureuse ; et moins on a de bon sens, plus on est sûr de réussir dans l'agitation de ce squelette capable de faire toute sorte de figures. Cette cruelle gymnas tique disparaît dans le plan que nous proposons, et l’esprit ne sera pas obligé de se torturer pour connaître la nature des résultats qu’il aura saisis. Sa marche sera assurée dès le premier pas; il aura toujours une formel sa disposition pour contrôler les transformations qu’il aura obtenues. Lettres et chiffres correspondront à une forme précise et plus lien ne sera livré à un simple jeu de hasard.

Une fois la théorie des équations du deuxième degré établie, rien ne sera plus facile que d'exposer celle des équations du troisième degré , au moyen des nombres pyramidaux. Dans cette occasion il y aura également deux objets de la conscience transcendantale en présence, le nombre et le volume. Ils se prêteront évidemment un appui réciproque et tout nombre servira à déterminer un certain volume. Les nombres pyramidaux ne sont pas autre chose que ceux qui sont donnés par la formule des piles triangulaires et qui est

Celle égalité dou jouer dans les équations du troisième de-

gré le même rôle que la formule des nombres triangulaires joue dans celles du deuxième. De la sorte il est clair d priori qu'il y a possibilité de trouver immédiatement à quoi est égal x, dans une équation du troisième degré.

En arrivant aux équations du quatrième, on se demande quelle forme de la conscience pourra les représenter, et comment on parviendra à trouver la valeur de a? dans les équations de cette sorte. D’abord il n’y a aucune forme qui puisse leur correspondre, et pour les résoudre il n’y a pas d’autre moyen à employer que celui fourni par le pur calcul. On sait qu’en multipliant deux équations du deuxième degré l*une par l’autre, on en obtient une du quatrième. Or, pour trouver la valeur de l’inconnue dans celle-ci, il faut voir quelle loi existe relativement à la composition de ses termes. Celte loi découverte pour toutes les équations inférieures à celles du cinquième, fournira assurément la loi de formation de cette dernière, qui pourra être résolue aussi facilement que les équations d’un degré moins élevé : toute équation peut ainsi manifester sa loi et avoir par le fait une solution précise.

Ce n’est pas dans un si petit espace que je puis aborder ces questions dans toute leur étendue et donner la solution complète du problème dont je m’occupe; aussi pie suffit-il de montrer la voie qui y conduit, et par quelle méthode les vérités de toute science se révèlent à nous. On ne saurait trop se défier de la manie que l’on a de se jeter tout entier au sein de la difficulté pour la résoudre. Si une question est restée sans réponse, ce n’est pas en la saisissant corps à corps que l’on en Unira avec elle. Il faut, lorsqu’on se trouve arrêté, repren dre la science dans son ensemble et en examiner de nouveau la véritable harmonie, afin de voir commeut se relie au tout la question particulière que l'on envisage.

Cette manièie d’agir est fort peu pratiquée, sans doute, et l’on peut s’en convaincre facilement par l'aspect du désordre dans lequel nous nous trouvons. Les mathématiciens sont perdus daus le plus effrayant labyrinthe ; on dirait qu’ils n’ont pour armes que des ombres, et on les voit s’agiter dans le

chaos. J’ai assez fait voir combien en géométrie ils sont peu logiques, et quel bavardage y prend la place de la vraie science. Je dois ajouter qu’en algèbre ils ne sont pas plus rationnels et qu’ils aboutissent à des conclusions tellement inexplicables qu'ils ne savent qu’en penser. Ils épuisent le calcul et tourmentent les équations pour en faire sortir on ne sait quel résultat dont l’importance consiste à embrouiller de plus en plus la position dans laquelle ils se trouvent. Le flambeau de la raison semble les avoir abandonnés, et ils appellent à leur aide la démonstration qui les fait tomber dans les théories les plus ridicules. On necraint pas de démontrer par exemple que, la loi du binôme étant vraie pour un nombre de termes n, elle le sera encore pour n + 1 termes. Une grande page d'un profond galimatias vous donne la certitude que l’auteur ignore la nature même de la science dont il s’occupe et que, franchement parlant, il ne sait ce qu’il dit.

II me serait facile sans doute d’examiner toutes les parties de l’algèbre et de faire voir que partout il y a ignorance, désordre et confusion ; que les résultats formulés sont de la plus grande incohérence et qu’aucune vue d'ensemble n’a présidé à leur formation. Mais ce travail me parait inutile si je considère l’effet qu’il pourrait produire. J’ai assez critiqué ce qui est, elasseï mis l'erreur à nu. 11 y aurait abus et cruauté à profiter davantage de la position que j’ai prise. L’édifice que j'ai élevé sur les ruines de l’aucien n’a pas besoin de contempler un immense désastre; le roc sur lequel il repose le garantit suffisamment. 11 a assez de force et de majesté pour résister à tous les orages, et tôt ou lard l’empire des intelligences lui appartiendra. ■*

Lorsque la science aura pris la forme unique dans laquelle nous venons de la montrer, elle sera vraiment digne du nom qu’elle porte. Les parties isolées qui la composent aujourd’hui se seront définitivement réunies pour former un tout régulier qui est l’emblème de l’esprit humain. Leur enchaînement se verra sans effort et leur véritable nature sera mise au grand jour. On aura une marche régulière à suivre dans l’étude

qu’elles exigeront ; mais il n’y aura plus aucun doute sur la direction à prendre, et tout égarement involontaire deviendra impossible. Les divisions établies relativement à la nature de nos connaissances se simplifieront et se rapprocheront de plus en plus de celles que nous avons posées en philosophie. L’identité de nature qui existe entre l’arithmétique, la géométrie, la trigonométrie, l’algèbre, permettra de leur substituer la science transcendantale que nous avons caractérisée ailleurs et qui les contient réellement toutes. La physique, la chimie, l’histoire naturelle formeront la science empirique qui comprend toutes les idées qui peuvent tomber sous les sens ; et la science transcendante, q i a pour but d’expliquer tous les actes de la conscience humaine, remplacera la psychologie, la métaphysique, la théologie, la logique, qui prennent naissance dans son domaine. Tel est le but supiôme de la connaissance, le point culminant de l'esprit de recherche, le lien invincible de l'unité de la science. Telle est aussi la condition nécessaire à la satisfaction de l'esprit, à l'existence de toute véritable certitude, et à la jouissance, dans un séjour heureux, d'un repos tranquille et durable.

fin de la cinquième cl dernière livraison, publiée dans l’arm des sciences, des numéros 3 et 10 janvier 1858.

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