CONCLUSIONS GENERALES

Les formules adoptées jusqu'ici par les physiciens, comme ' représentant la vitesse de propagation d'une onde dans un milieu gazeux indéfini dans tous les sens, ou renfermé dans un tuyau cylindrique et rectiligne^ supposent que le gaz jouit de l'élasticité parfaite, de plus que l'excès de force élastique qui donne lieu à la propagation de l'onde est infî* niment petit par rapport à l'élasticité du milieu tranquille.

Ces hypothèses sont introduites dès l'origine dans le calcul ; leurs conséquences se trouvent donc nécessairement dans les formules qu'on en déduit. Mais aucun de nos gaz ne satisfait rigoureusement à ces conditions; on doit donc s^attendre à trouver des différences sensibles entre les résultats des expériences directes et ceux que l'on déduit de la théorie par le calcul.

En effet, en disant que le gaz jouit de l'élasticité parfaite, on suppose :

i^ Qull suit exactement la loi de Mariotte : mais l'expérience démontre que tous les gaz s'en écartent plus ou moins ;

q!^ Que son élasticité n'est pas altérée par les corps ambiants : mes expériences sur la propagation des ondes dans

54o CONCLUSIONS.

les tuyaux démontrent que leurs parois exei^cent une influence très-marquée ;

3^ Que le gaz n'oppose aucune inertie à la transmission de Tonde; or mes expériences (page 288) démontrent que rén^ission d'une onde forte produit toujours un véritable transport des premières couches gazeuses, lequel augmente notablement ia vitesse de propagation dans la première partie du parcours;

4"* Pour tenir compte de l'accélération produite par le dégagement subit de chaleur qui a lieu au moment du passage de l'onde, on admet dans le calcul la loi de Poisson (page 9) ; mais celle-ci n'est exacte que si le gaz jouit de l'élasticité parfaite, s'il satisfait à la loi de Mariotte, etc., etc.

Enfin, le calcul théorique suppose que l'excès de compression qui existe dans l'onde est infiniment petit par rapport à la pression barométrique supportée par le gaz. Mais les expériences pour déterminer la vitesse de propagation du son dans l'air libre ont été faites ju squ'ici à l'aide du canon, et l'on a suivi l'onde depuis son origine, qui est à la bouche de la pièce. Or cette onde présente, au sortir du canon, une compression énorme, laquelle s'affaiblit ensuite, très-vite il est vrai, à mesure que l'onde se propage sphériquement dans l'espace ; mais il est difficile d'admettre que cette compression est infiniment petite dans les premières parties du parcours.

Lorsque l'excès de compression dans l'onde est une fraction sensible de celle du milieu gazeux tranquille, on ne peut plus admettre la formule de Laplace; il faut recourir à une formule plus complexe, dans laquelle on a introduit les éléments véritables du problème. La formule que j'ai don-

née, page 10, n'est elle*même qu'une approximation, car elle admet encore implicitement la loi de Mariotte et toutes les conséquences qui en découlent.

En résumé, la théorie mathématique n'a abordé jusqu'ici la propagation des ondes que dans un gaz par/ait^ c'est-àdire dans un /?e//^^ idéal qui réunit toutes les propriétés que Ton a introduites hypothétiquement dans le calcul On ne s'étonnera donc pas de voir que les résultats de mes expériences soient souvent en désaccord avec la théorie.

D'après la théorie, une onde plane doit se propager indéfiniment dans un tuyau cylindrique rectiligne, en conservant la même intensité. Mes expériences démontrent, au contraire, q ue Yintensité de Vonde diminue successivement, et d* autant plus vite, que le tuyau a une plus faible section.

Pour démontrer nettement ce fait, j'ai produit des ondes, d'intensité égale, avec un même pistolet chargé de i*'o de poudre, à l'orifice de conduites de sections très-différentes, et j'a i cherché à reconnaître la longueur du parcours au bout de laquelle le coup ne s'entend plus à l'oreille. J'ai cherché de plus à déterminer le parcours, beaucoup plus long, au bout d uquel l'onde silencieuse cesse de marquer sur mes membranes les plus sensibles. J'ai trouvé ainsi :

i^ Dans la conduite à gaz d'Ivry, dont la section intérieure est de o™io8 (page 87), on entend encore le coup à la seconde extrémité, distante de 566°'7 de l'origine, mais le son est très-affaibli. Si l'on ferme la seconde extrémité herméti-

54a CONCLUSIONS.

quement, avec une plaque dé tôle, et qu'on place Toreille à Torifiee du départ, il faut prêter la plus grande attention pour entendre le retour du coup. Ainsi, dans une conduite cylindrique rectiligne du diamètre o™io8, un parcours de 1 i5o mètres suffit pour éteindre complètement le son produit par un coup de pistolet, avec une charge de i'' de poudre.

aP Dans la conduite du diamètre de o™3o de la route militaire (page i85), le coup de pistolet s'entend très-distinctement à Tautre extrémité, éloignée d^ 19^5 mètres. Si Ton ferme cette extrémité avec une plaque de tôle, et qu'on applique l'oreille à l'orifice de départ, on entend encore l'onde réfléchie, mais la perception est à peine sensible. L'onde a alors parcouru dans la conduite un chemin de 38 lo mètres.

3^ Dans la grande conduite du diamètre de i^^io de l'égout Saint-Michel (page 289), Fonde produite par le coup de pistolet donne un son intense quand elle arrive à l'autre extrémité B, après avoir parcouru un chemin de iSgo mètres. Après une première réflexion en B, elle revient à l'extrémité de départ A. Son parcours total est alors de 3 180 mètres; on reconnaît que le son s'est affaibli, mais il conserve assez d'intensité pour qu'on Tentende au dehors, sans avoir besoin de retirer la membrane qui ferme l'orifice A. Après une seconde réflexion en B et un second retour en A, l'onde a parcouru 636o mètres; on entend encore le coup très-distinctement. Enfin, ce n'est qu'après une nouvelle réflexion enB, qu'on n'entend le troisième retour en A^ que si un silence absolu règne dans la galerie. Le parcours total est alors de 9540 mètres.

Ainsi, un coup de pistolet, produit par i gramme de poudre, donne un son qui n'est plus perçu par Foreille quand il a parcouru :

ii5o mètres dans un tuyau dont le diamètre est de o^ioS, 38 10 mètres dans un tuyau dont le diamètre est de o"^3oo, 9540 mètres dans un tuyau dont le diamètre est de i"^ioo.

Les longueurs sont ici sensiblement proportionnelles aux diamètres. Il est probable, néanmoins, que ces parcours seraient plus longs si l'onde ne subissait pas des réflexions successives qui l'afTaiblissent continuellement.

Lorsque l'onde n'a plus assez d'intensité, ou qu'elle s'est assez modifiée, pour ne plus produire sur notre oreille la sensation du son, élleest encore capable, même après un parcours très-prolongé, de marquer son arrivée sur nos membranes. • Ainsi^ lorsque l'onde est produite par une charge de i«'oo o de poudre, elle imprime sa dernière marque sur une membrane quand elle a parcouru les chemins suivants :

4o56 mètres dans la conduite de o'^ioS (page loB), ii43o mètres dans la conduite de o™3oo (page ao8), X9851 mètres dans la conduite de l'^ioo (page 3 18}.

Mais, sur la conduite du diamètre de i™io, qui forme le grand syphon de Villemonble, nous avons noté des parcours beaucoup plus longs ; il est vrai que la charge de poudre était portée à 2''4û. Ainsi, dans notre tableau de la page 257, la dernière marque correspondait à une onde qui avait parcouru 5864 1 mètres, et^ en opérant sans tirer les bandes de papier, on notait facilement jusqu'au dixième retour de l'onde à la membrane Â, lequel correspondait à un parcours de 97735 mètres, c'est-à-dire de près de 100 kilomètres.

Mais les bandes de papier noirci prenaient des longueurs tellement considérables qu'il m*aété impossible de recueillir plus de six retours.

Quelles sont les causes qui affaiblissent ainsi une onde plane lorsqu'elle se propage dans une conduite cylindrique rectijigne? Elles sont de diverses natures, mais la principale tient certainement à ce que l'onde perd constamment une partie de sa force vive par la réaction des parois élastiques du tuyau. On le reconnaît immédiatement sur notre grande conduite du diamètre i™io de Tégout Saint-Michel, qui est suspendue sur des colonnes de fonte, dans une galerie voûtée: dans le premier trajet de Tonde, on entend au dehors un son très-fort au moment du passage de l'onde, en quelque point de la ligne qu'on se place. Une portion notable de la force vive se dépense donc au dehors ; j'en dirai autant pour les extrémités^ et pour tous les orifices garnis de membranes. Cette perte continue nécessairement après que l'onde n'a plus assez d'intensité pour impressionner l'oreille, et elle suffit à la rigueur pour expliquer comment le son s'éteint, et comment l'onde s'affaiblit assez pour ne plus faire marcher nos membranes les plus sensibles. Mais je ne crois pas que ce soit la cause unique ; il y en a une autre qui provient d'une action de la paroi solide sur le gaz^ dont elle diminue sensiblement l'élasticité ; j'en donnerai une preuve tout à l'heure.

La formule de Laplace ne contient pas l'expression de l'intensité de l'onde; la vitesse de propagation d'une onde est donc la même, quelle que soit son intensité. Mais^

d'après la formule plus générale que j'ai donnée (page 10), cette vitesse doit être d'autant plus grande que l'intensité de l'onde est plus considérable. Or nous venons de voir que, dans une conduite cylindrique rectiligne, l'intensité de l'onde ne reste pas constante, comme on l'a admis jusqu'ici ; mais qu'elle diminue successivement, et d'autant plus rapidement que le tuyau a une section plus petite. Il en résulte nécessairement que la vitesse de propagation d'une onde dans un tuyau doit diminuer continuellement à mesure qu'elle se propage, et la diminution sera d'autant plus rapide que le tuyau aura une plus petite section. C'est en effet ce qui se présente dans toutes mes expériences ; je me contenterai de rapporter ici les vitesses moyennes d'une onde produite par un coup de pistolet qui se propage dans de l'air sec et à o^, et que l'on suit depuis son départ jusqu'au moment où elle n'a plus assez d'intensité pour faire marcher mes membranes. Je les choisis parmi les expériences qui ont été faites sur les conduites des sections o™io8, o™3oo et i™io.

1® Conduite du diamètre de o™io8 de la route divry.

Ctaemios parcooniB. Vitesses moyennes ¥'«.

Page 99.

Charge de poudre = o^Z,

xi33,48 3a8,77

1700,22 3a8,ai

Chemins paroonms. Vitesses' moyennes V'e*

Page 107.

Charge de poudre = 0*^4.

(*) Cette dernière vitesse m'inspire peu de confiance, parce qu'on ne l'a trouvée que sur une seule bande,

La diminution de la vitesse moyenne d'une même onde comptée depuis son départ, maïs que l'on prend successivement sur un parcours de plus en plus long, est trèsmarquée.

2? Dans la conduite du diamètre de o™3o de la route

militaire.

Chemins parcoonis. Vitesses moyennes V«

Page 190.

Charge de poudre =: o''4o

38io,o 3218,7a

Page 193. Charge de poudre = ok'4o»

Page ao8.

Charge de

poudre :

= ivS.

Reflexion sur

> le fond fermé B.

ii43o,o

Les vitesses moyennes^ pour des ondes produites avec une même charge de poudre et pour des parcours égaux, sont donc notablement plus grandes sur la conduite de o'^So que sur celle de o™io8.

3* Dan^ la conduite du diamètre de 1 ™ i o ûfe Pégout Saint- Michel.

Ghemlns parcourus. Vitesses moyeDiies Y'«.

Page 44^* Charge de poudre = i^ooo*

La vitesse moyenne de propagation sur la conduite du diamètre de l'^io diminue moins vite que sur celle du diamètre o™3o. Les premières vitesses sont plus grandes^ parce qu'elles sont prises bien plus près du départ.

Les différences sont encore plus marquées quand nous comparons, sur les trois conduites, les vitesses moyennes limites^ c'est-à-dire celles qui correspondent à l'onde assez affaiblie depuis son départ pour ne plus marquer sur nos membranes.

Ces vitesses limites ont été trouvées :

Sur la conduite de o™io8, V'o:=326™66 page 108 cbemio parcouru = 4o55*9 Sur la conduitede o™3oo, V'o= 328^96 page 208 d^ =15240^

Sor la conduite de i^^ioo, V'o=33o''52 page 442 d* =19851*3

Dans ces expériences, Toncle a été produite par la même charge de poudre, les membranes sont les mêmes; elles ont par conséquent la même sensibilité, en d'autres. termes, elles doivent cesser de marquer dans les trois conduites, lorsque l'onde est arrivée à la même faiblesse. Si donc Taffaiblissèment de Tonde ne provenait que de la perte de force vive à travers la paroi du tuyau, la vitesse moyenne limite devrait être la même dans les trois conduites, puisque Tonde a la même intensité au départ, et la même intensité au moment où elle donne sa dernière marque sur la membrane. Ces vitesses limites étant au contraire très-différentes, il faut en conclure que les parois du tuyau exercent encore sur Tair intérieur une autre action que celle que nous venons d'indiquer, action qui diminuerait notablement son élasticité sans changer sensiblement sa densité» Par suite de cette action, la vitesse de propagation d'une onde de même intensité dans des tuyaux rectilignes serait d autant plus faible que le tuyau aurait une section moindre. Il est probable que la nature de la paroi^ que son poli plus ou moins parfait, exercent une influence sur ce phénomène. Je citerai un fait qui en donne la preuve: dans les égouts de Paris, à grande section, on pré^ vient ordinairement les ouvriers par le son de la trompette ; or on a reconnu que ces signaux portent incomparablement plus loin dans les galeries dont les parois sont recouvertes d'un ciment bien lisse , que dans celles où elles sont formées par de la meulière brute.

Pour que cette action des parois sur l'élasticité du milieu gazeux fût absolument nuUe^ il faudrait que le diamètre du tuyau fût infini ; en d'autres termes, que la propagation du son eût lieu dans Tair libre. Mais cette action doit déjà être très-

CONGLUSlOIfS. 549

petite dans mes grosses conduites de i"io. J'ai supposé qu'elle y était pulle, et j'ai conclu (page 453) que la vitesse moyenne de propagation, dans Vair sec et à o*, dune onde produite par un coup de pistolet^ et comptée depuis la bouche de Carme jusqi£au moment où elle s* est tellement affaiblie quelle ne fait plus marcher mes membranes les plus sensibles^ est

J*ai cherché aussi à déterminer la vitesse que possède l'onde la plus affaiblie, celle que j'appelle la vitesse minima. Cette détermination n'a pu être faite avec quelque certitude que sur la grosse conduite de i°^io; on a trouvé (page 455) :

valeur qui diffère peu de la vitesse limite moyenne.

J'ai fait voir (page 456) que , sur les conduites de plus petit diamètre, la vitesse mini ma est encore moindre.

Lorsque l'onde est produite, non plus par l'explosion subite d'un mélange détonant, mais par l'injection d'une petite quantité d'air plus ou moins comprimé, sa vitesse de propagation dans la même ligne de tuyaux est d'autant plus grande que son intensité est plus considérable. Ainsi, pour cette onde, comme pour celle qui est donnée par le coup de pistolet, la vitesse diminue progressivement.

55o CONCLUSIONS.

Dans nos coriduites de i°^io, les ondes produites par l'injection de l'air comprimé ont sensiblement la même vitesse initiale de propagation que les ondes qui sont données par les coups de pistolet, mais leur vitesse moyenne limite est un peu plus faible (page 458). Le même fait s'est pré-* sente pour la conduite de o™3o, lorsque l'excès de pression de l'air injecté était suffisant (page 1209).

L'onde plane produite par la fermeture brusque de l'orifice à l'aide d'un disque lancéavec une grande vitesse se comporte de même : la vitesse de propagation diminue sensiblement à mesure que le parcours augmenté. Les expériences faites à laide du piston frappeur sur la conduite du diamètre de o™5ii6dela route de Choisy-le-Roi (page 226) le montrent très-clairement. Dans la grande conduite du diamètre de i™io, formant le syphon de Villemonble, on a trouvé pour la vitesse moyenne de propagation, sur un même parcours de 9773™5 (page 260) :

Lorsque l'onde est donnée par un coup de pistolet Y'o = SSB^^ii Quand elle est produite par le piston frappeur V'o = 332"56

Ainsi, l'onde donnée par le piston frappeur marche un peu moins vite que celle qui provient du coup de pistolet; mais cela tient uniquement à ce qu'elle a moins d'intensité, car elle n'a jamais marqué sur la membrane un second retour qui correspondrait à un chemin parcouru de i9547™o, tandis

que Fonde fournie par le coup de pistolet a marqué constamment plusieurs retours.

Les expériences que j'ai faites sur les ondes produites par la voix humaine et par les instruments à vent sont décrites en détail, page 4^5 et suivantes ; je ne crois pas utile de les résumer ici.

Nos formules théoriques de la vitesse de propagation du son dans l'air (pages 7 et 10), ne contiennent pas la pression barométrique à laquelle l'air est soumis. Si donc ces formules sont exactes, la vitesse de propagation dCune onde dans un gaz est la même, quelle que soit la pression que le gaz sup-porte. Les seules expériences directes que l'on puisse invoquer jusqu'ici, comme confirmant cette loi, ont été faites dans lair libre: ce sont celles de MM. Stampfer et Myrbach en 1822^ dans le Tyrol, entre deux stations présentant une différence de niveau de i364 mètres, et celles de MM. Bravais et Martens, faites en i844 ^n Suisse, à deux stations dont la différence de niveau était de 2079 mètres. Malheureusement, les pressions barométriques moyennes que l'air présente entre les deux stations ne différent pas assez de la pression au niveau de la mer.

J'ai donné dans ce mémoire deux séries d'expériences pour déterminer la vitesse de propagation du son dans de l'air,

SOUS diverses pressions, et contenu dans des tuyaux du diamètre de o™ 1 08.

La première (page 1 13 et suivantes) sur la conduite à gaz de la route militaire, près d'Ivry, ayant 567™4 de longueur ; les pressions ont varié de o™557 à o™838; par suite, la densité de Tairde 1,0 à i,5.

La seconde (page 171 et suivantes) a été faite sur la petite .conduite horizontale établie dans la cour du Collège de France, et dont la longueur n'est que de 76^5. Les pressions ont varié depuis o™!i47 jusqu'à i^nGjj par conséquent, la densité de Tair a changé à peu près de i à 5.

Il n'a pas été possible de constater une différence sensible dans la vitesse de propagation du son dans l'air sous des pressions si différentes. Ainsi^ mes expériences confirment l'exactitude de la loi que je viens d'énoncer.

VU

Si l'on compare les vitesses V et V de propagation d'une même onde dans deux gaz différents, mais à la même température et sous la même pression; si l'on admet qu'ils suivent la loi de Mariotte, qu'ils ont le même coefficient de dilatation, qu'ils satisfont à la loi de Poisson, etc., etc. ; en un mot, si l'on admet que ce sont des milieux gazeux parfaits ^ on doit avoir, d'après la théorie (page 1 29),

De sorte que si l'un des gaz est l'air atmosphérique, et si

J représente la densité de l'autre gaz par rapport à l'air,

on a :

Jusqu'ici, on n'a fait aucune expérience directe pour déterminer la vitesse de propagation d'une onde dans un gaz autre que l'air atmosphérique ; on a cherché seulement à démontrer l'exactitude de la loi précédente par une méthode détournée, fondée sur la théorie des tuyaux sonores (page 1 23).

Je donne dans ce mémoire deux séries d'expériences directes sur les gaz que j'ai pu préparer en quantité suffisante.

La première série a été faite sur la conduite du diamètre de o"io8de la route militaire d'Ivry, et dont la longueur efficace est de 567°"4; j'^i pu la remplir successivement de gaz hydrogène, d'acide carbonique et de gaz de l'éclairage.

Pour la seconde série, j'ai utilisera petite conduite du Collège de France, qui a la même section, mais seulement une longueur de yo^S- J'ai pu m'en servir pour les gaz aéide carbonique, protoxyde d'azote et ammoniac; je réunis en un seul tableau les résultats obtenus sur les deux conduites :

Hydrogène

Acide carbonique.

Protoxyde d'azote.

Ammoniaque. ...

Conduite de 507"3.

I Conduite de 70*5.

0,8007 i,aa79

3,68a 0,8087 0,8 lôo i,3oa5

Si Ton compare les rapports y des deux première^ colonnes aux valeurs calculées de y\^ on trouve une coïncidence assez remarquable ; les différences seraient certainement plus petites si Ton avait pu opérer sur des gaz très-purs, mais c'est bien difficile dans des conduites d'aussi grande capacité. De plus, les valeurs de y\ ne sont pas elles-mêmes

très-exactes, parce qu'on est obligé quelquefois de prendre pour la densité du gaz par rapport à Fair, sa densité théorique et non sa densité réelle qui doit seule intervenir.

Mes expériences démontrent donc que Ton peut admettre

la loi ^ = Y p ^^^^ seulement comme une loi limite^ à laquelle les gaz satisferaient exactement si on les mettait dans

les conditions où ils se comportent réellement comme des milieux élastiques parfaits.

Mes expériences pour déterminer la vitesse de propagation des ondes dans Tair libre, ont été faites par la méthode des coups de canon réciproques. L'onde a évidemment au départ une très-grande intensité, mais elle s'affaiblit très-vite à mesure qu'elle se propage sphériquement dans l'espace. De plus, au moment du départ du coup, les couches d'air, voisines de la pièce, doivent subir un véritable transport, qui augmente encore la vitesse de propagation. Ainsi, par suite de ce transport et de sa grande inteasité, Tonde doit marcher

plus vite, surtout suivant la ligne du tir, dans les premières parties du parcours que dans les suivantes. Mais cette accélération s'éteint très-vite et devient à peu près insensible quand l'onde parcourt de grandes distances.

L'ensemble de toutes mes expériences donne pour la vitesse moyenne de Tonde sonore dans Tair libre, sec et à o^,

Cette vitesse ne diffère pas sensiblement de celle qui a été trouvée en 1822 par le Bureau des longitudes; et elle est un peu supérieure à la vitesse moyenne limite que j'ai trouvée dans mes conduites du plus grand diamètre.

J'ai donné (page 10) une formule qui représente la vitesse de propagation d'une onde dont on connaît l'intensité ; elle suppose encore que le gaz est un fluide élastique parfait. Cette formule est la suivante

,, % /^ 1^1 ! n , Ap //if(//t-|-i) \ , ÀpV^('»+i)('n-f-a) \ (

v= y/ 7 .0,760(1+0^ j «4.(^-i-— i ij+ (^ ^ ^j^^ — i-ij + .... \

On a d'ailleurs

i= i>'a93i87 a =: o,oo367

Ai»

— représente l'intensité de l'onde au moment où on la consi--

dère. Les coefBcients des diverses puissances de ~ étant positifs, il en résulte que la vitesse de propagation est d'autant plus grande que l'onde a plus d'intensité; c'est en effet ce que démontrent toutes mes expériences. Mais pour reconnaître jusqu'à quel point la formule représeAte les vitesses variables , telles que je les ai trouvées par l'expérience dans les conduites cylindriques de très-grande section; il faudrait connaître les valeurs de ^ aux différents points du parcours. Il est impossible de les déterminer par raisonnement ou par calcul, car l'affaiblissement successif d'une onde plane dans des tuyaux cylindriques provient de causes qu'on ne peut pas définir. On pourrait, je crois,' en déterminer la valeur approximative à l'aide des membranes qui marquent l'arrivée de l'onde. Il suffirait, en effet, de mesurer l'écart que subit le éentre de la membrane à chaque arrivée de l'onde, ainsi que nous l'avons fait dans les expériences, qui avaient pour objet d'inscrire les mouvements vibratoires de la membrane et d'en apprécier la durée (page 75). Cet écart est à peu près proportionnel à l'intensité; il suffit donc d'ajuster la même membrane sur un vase fermé, de comprimer successivement l'air intérieur pour produire sur la membrane les mêmes écarts qu'elle a montrés sous l'influence de l'onde, enfin de mesurer sur un manomètre à eau Içs excès de pression qui donnent ces écarts. Malheureusement je n'ai pas songé à faire ces déterminations lorsque j'opérais sur les grandes conduites. Remplaçons les constantes de la formule par leurs valeurs numériques, nous aurons

m représente le rapport entre les deux capacités calorifiques d'un même gaz sous pression constante et sous volume constant; de plus on admet que ce rapport est le même pour toutes les pressions. Ainsi m serait une constante qui devrait être déterminée pour chaque gaz. Sa valeur pour Tair atmosphérique a été cherchée par divers observateurs, mais leurs résultats présentent encore des différences assez sensibles ; je ne citerai que ceux qui ont été obtenus par la méthode la moins contestable dans son principe :

Qéiiient et Desormes ont trouvé m = i,35

Gaj-Lussac et Welter 1,37

Masson i,4a

Cazin i^4x

D'après mes expériences sur les grandes conduites du diamètre de i™io, les vitesses moyennes de propagation de Tonde, depuis son départ jusqu'à l'endroit du parcours où elle cesse de marquer sur mes membranes les plus sensibles, convergent toutes vers 33o™6. J'admets que cette dernière vitesse est celle qui appartient aux ondes les plus faibles,

celles pour lesquelles — est entièrement négligeable. On a

donc pour l'air à o^ :

33o"6 = «79*955 \/lîn

d'où Ton déduit

Substituons cette valeur dans la formule générale, nous aurons en supposant toujours f = o,

Supposons l'onde assez faible pour que Ton puisse négliger les termes qui renferment les puissances de— supérieures à la première, alors on peut écrire

Vo=a79-95 Tl/i/igAS

al/,,39A6

Le tableau de la page 44^ donne les vitesses moyennes successives qu'une onde présente dans nos grandes conduites de i™io lorsqu'elle est produite par un coup de pistolet chargé de 1^0 de poudre. Je vais calculer par la formule

précédente les intensités — qui correspondent à ces vitesses,

ainsi que l'excès de force élastique , exprimé en millimètres de mercure, que l'onde possède sur la pression normale, supposée de 760"™ :

Yitesae moyenne

Cbcmiii ptKomtu

de propagation.

333,ao

Valeur de —

o,oo34i 0^00101

Exeès de preaaioii en mflUniètres de mercure.

34™ao

a4f90 i8,îi4

Les valeurs que nous trouvons pour les excès de force élastique dans l'onde ne présentent rien d'improbable; mais il aurait été utile de les déterminer par des expériences directes.

Si l'air atmoçphérique se comportait comme un fluide élastique parfait, la formule de Laplace appliquée aux ondes très-faibles nous donnerait le moyen de calculer la valeur très-précise de la quantité m. Mais les expériences relatées dans ce mémoire montrent que Tair atmosphérique est si loin de posséder Télasticité parfaite qu'on, ne peut pas admettre à priori que nos formules générales lui soient rigoureusement applicables; on est même porté à douter de l'exactitude des hypothèses qu'on a faites pour les établir.

Mes recherches sur la vitesse de propagation des ondes dans les gaz montrent clairement les différences qui existent entre les résultats donnés par l'expérience directe et ceux que l'on déduit d'une théorie dans laquelle nos gaz permanents sont assimilés au fluide idéal qui réalise, seul, les conditions sur lesquelles la théorie est établie. Il me reste maintenant à montrer quelles sont les conséquences qu'on peut tirer de mes recherches pour la théorie mécanique de la chaleur, en vue de laquelle elles ont été principalement entreprises.

Pour suivre ce nouvel ordre d'idées, il est nécessaire que je rappelle comment on arrive à la notion de Véquivaleni mécanique de la chaleur, en se fondant uniquement sur les lois générales que l'on a cru pouvoir admettre pour les gaz, et sans recourir à d'autres hypothèses. Je suivrai pour cela la méthode que M. Bourget a développée dans son mémoire de i85q (/annales de chimie etde phydque, III® série, tome LVI, page 257). Il me sera facile ainsi de faire voir que ces lois sont

56o CONCLUSIONS.

précisément celles sur lesquelles on a établi les formules de la vitesse du son.

Cette digression sera d'ailleurs utile pour faire comprendre Tordre des idées qui m'ont dirigé dans la longue série d expériences qui composent le mémoire suivant.

Supposons un gaz renfermé dans un cylindre^ de i mètre carré de section, fprmé à Tune de ses extrémités. Le gaz y est maintenu par un piston, sans pesanteur et d'une mobilité extrême, qui exerce constamment sur lui une pression égale à sa force élastique.

L'état physique du gaz sera complètement défini, si on donne son volume, sa force élastique et sa température. Sbient donc pour un de ses états :

p la force élastique du gaz, exprimée en kilogrammes, 4igis8ant sur un

mètre carré, 9 son volume rapporté au mètre cube, i sa température en degrés centigrades.

Soient/?', p', *' les mêmes éléments pour un autre état du gaz.

Nous supposons que le gaz suit rigoureusement les lois par lesquelles nous définissons le gaz parfait ; par conséquent que ce n'est aucun des gaz de la nature, mais bien ce que j'ai appelé le fluide idéal. Dans ce cas nous aurons

pu /?V

i-t-a^~ i + oi/' '

par suite

. A étant une constante dont nous pouvons déterminer immédiatement la valeur numérique.

Admettons, en effet, que le gaz occupe i mètre cube lorsque sa température t égale zéro degré, et que /?== H représente le poids d'une colonne de mercure ayant pour base I mètre carré et une hauteur de o"*,76o; de plus rappelonsnous que, pour le fluide idealj a ne dépend ni de la température ni de la pression. L'équation (i) donne

A = H = io333k

On a donc pour le fluide idéal

>cv=io333 (i+af) (a)

C'est la seule équation qui lie les trois variables.

Mais examinons quelques cas particuliers, dans lesquels nous fixerons l'une des variables, ou bien où nous l'obligerons à suivre certaines relations avec les deux autres ; nous établirons ainsi une seconde équation entre les trois variables.

Supposons d'abord que pendant tous les changements d'état que Ton fera subir au gaz, on, maintienne sa température constante, par addition ou par soustraction de chaleur.

Dans ce cas, l'état physique du gaz est défini par les seules variables p et Vj et on peut le représenter par la position d'un point, rapportée à deux axes rectangulaires ; l'abscisse du point représentant le volume v, et l'ordonnée la pression p. L'équation devient ainsi

C'est l'équation d'une hyperbole équilatère, rapportée à T. IIL 71

ses asymptotes. La valeur de la constante C dépend de la température à laquelle on maintient le gaz.

Faisons maintenant passer le gaz par des états successifs qui seront représentés par les quatre angles d'un rectangle A D B C (Planche IV, fig. i), en faisant varier la température de manière que le gaz satisfasse toujours à l'équation (a).

i^ L'état initial du gaz est représenté par les coordonnées (Pj ii) du point A, sa température est t^ et l'on a

On fait passer le gaz de l'état A à l'étot D. Le volume du gaz reste le même, mais la pression passe de ^ à p'. On n'obtient ce résultat qu'en chauffant le gaz, en portant sa tempe* rature de t à t\ de façon que l'on ait

par suite

Si M représente le poids d'un mètre cube du gaz à zéro et sous la pression H,

c' sa chaleur spécifique sous volume constant, mais à pression variable,

La quantité de chaleur qu'il faudra donner au gaz pour porter sa température de t kt'j sera

2® Le gaz restant à la température t\ on le fait passer de l'état D à l'état B. Sa pression reste p\ mais son volume p de-

vient p\ Pour obtenir cet effet, il faut encore fournir de la chaleur au gaz et porter sa température de i à f", afin qu'on puisse poser

mais on a déjà dou

Représentons par c la chaleur spécifique du gaz sous pression constante, mais à volume variable ; nous aurons pour la quantité de chaleur qu'il a fallu donner au gaz

9' = Mc(r''-.^) = -^ c/ (.'.). (4)

3® Amenons maintenant le gaz à Tétat représenté par le , point G. Il conserve son volume v\ mais sa pression diminue de /?' à p. Pour obtenir cet effet, il faut refroidir le gaz, faire descendre sa température de f à f\ de façon que l'on ait

mais nous avons déjà donc

et la chaleur qu'il a fallu soutirer au gaz sera

9" = Me' (r" - n = ^ cV (/ -p). (5)

4^ Enfin, ramenons le gaz à' son état primitif  ; le volume passe de (^' à t^, mais la pression reste p comme précédem-

ment. Pour cela il faut encore abaisser la température et la descendre de f à (,et l'on aura, comme pour l'état initial^

nous avions précédemment donc

La quantité de chaleur qu'il a fallu enlever au gaz est

Dans ces quatre opérations successives, nous avons fait passer le gaz par tous les états qui constituent le rectangle fermé ADBG, de façon à le faire revenir à son état initial. Pour cela il a fallu tantôt lui donner de la chaleur, tantôt lui en retirer. Nous donnerons le signe + à la chaleur fournie et le signe — à celle que nous lui avons enlevée; la dépense réelle de chaleur sera alors

Cette quantité ne peut jamais être nulle, si Ton fait varier à la fois le volume et la pression ; elle se compose du fac-

teur ^^^ ' qui est constant ^owcXà fluide idéal, et du produit (/?' — p) {y — v) qui représente précisément la surface du rectangle A D B G .

Suivons maintenant le mouvement du piston dans le cylindre pendant ces changements successifs du gaz.

Lorsque le gaz passe de Tétat A à l'état B, il pousse le pis*

ton en avant et il exécute un travail' moteur T représenté par

Quand le gaz revient, au contraire, de Fétat B à l'état A en suivant le contour BG A, le piston recule^ le travail devient négatif et il est représenté par

La différence des deux, c'est-à-dire le travail moteur résultant, sera

il est représenté par la surface du rectangle AD BC. On a donc

car nous avons posé (page 9) î = m.

Désignons — ^ — î ^ par E, nous aurons

Si Q représente une calorie, le travail produit t est représenté par E*"". C'est ce que l'on est convenu d'appeler V équivalent mécanique de la chaleur.

Nous pouvons faire suivre au gaz une marche inverse dans ses changements successifs suivant le rectangle ADBC ; nous pouvons le faire jpasser de A à G, puis de G à B, de B à D, enfin de D à A.

Les quantités, de chaleur, dépensées et recueillies dans ce nouvel ordre de passage, se calculeront exactement de même, et les résultats seront les mêmes, au signe près.

Nous ne trouverons plus alors une dépense^ mais bien un gain de chaleur, lequel sera encore représenté par

ÎÎLifzifl)(^.^^, (.-,). (.0)

Quant au mouvement du piston dans le cylindre, le travail résistant dominera maintenant sur le travail moteur, de sorte que, pour faire suivre au gaz la marche inverse dans le hiême circuit rectangulaire fermé, nous aurons à exécuter un travail précisément égal à celui que le gaz nous fournissait quand il suivait la première marche.

Les équations que nous avons obtenues seront les mêmes quelles que soient les dimensions du rectangle ÂDBC. Supposons que ces dimensions deviennent infiniment petites; alors les éléments /? , t' de A deviennent p + dp et p + dç pour l'état B.

Si le passage se fait suivant A DE, la quantité de chaleur dQ qu'il faudra fournir pour Topérer sera

dQ = '^ ^cçdp-^cpdQ^cdpdv)^

OU, négligeant l'infiniment petit du second ordre cdpdvy

à(ii=r^(c'vdp+cpd»). (il)

Si le passage se fait suivant ACB, le gaz dégagera

au contraire une quantité de chaleur représentée par

(p -\-dp) dp 4- c/7e/p|)

OU, en négligeant l'infiniment petit du second ordre ,

^ [e'çdp + cpdp).

Mais cette quantité est précisément égale à la précédente. On en conclut que

Quand les changements détat sont infiniment petits, il n'y a pas de différence sensible entre la quantité de chaleur qu'il' faut donner pour Jaire passer le gaz de A à B suivant KD'^, et celle qu'il abandonne^ au contraire, quand il suit ACB.

Supposons que l'on fasse passer le gaz, successivement, par des états infiniment rapprochés formant une courbe continue dont l'équation est

Alors la quantité de chaleur qu'il faut donner au gaz pour le faire passer de l'état (/?, v) à l'état (/?', v') en suivant cette courbe, sera

0 = ^J{p'9dp+Cpdp).

Pour les mêmes états limites^ cette quantité ne sera pas la même, car elle variera avec la nature de la fonction/? = f {y).

Pour le fluide idéal on admet que c, c\ par suite 4 = m,

sont constants à toutes les températures et sous toutes les pressions; on peut donc écrire

Me' /'' Q= ^jHp + mpdç). (i3)

Discutons quelques cas particuliers de la fonction /? =f (y)* Cherchons d'abord la courbe qu'il faudt*a suivre pour qu'on n'ait à faire aucune dépense de chaleur pour faire passer le gaz de l'état (/?, i^) à l'état (/?', p'). Ce sera évidemment celle pour laquelle l'intégrale sera nulle. Mais cela ne peut avoir lieu que si l'on a

vdp 4- mpdv^= o; • (14)

c'est donc réquation différentielle de la courbe cherchée ; son intégrale est

yjp" = const»! (i5)

équation d'une courbe hyperbolique ayant pour asymptotes les axes coordonnés.

Considérons deux états (/?, v) et {p\ v') sur cette courbe , nous aurons

par suite

d'où

c'est précisément la formule de Poisson, sur laquelle nous

nous sommes appuyé dans notre calcul pour la vitesse du son (pages 9 et 1 2).

Ainsi la formule de Poisson ne s'applique qu'au fluide idéal, qui suit rigoureusement la loi de Mariottej qui a un coefficient de dilatation constant sous toutes les pressions,

enfin pour lequel les quantités c, c et m = Tsont comptantes sous toutes les pressions et à toutes les températures.

En suivant la courbe depuis le point (/?, i^) jusqu'au point (p\ v') on n'a ^aucune chaleur à communiquer au gaz. Si l'on suit cette même courbe en sens inverse, c'est-à-dire du point {p\ i/) au point (/?, p) le gaz n'abandonnera aucune chaleur. C'est donc la courbe suivant laquelle le gaz peut être comprimé ou dilaté sans qu'on ait à lui fournir ou à lui enlever de la chaleur, le gaz prenant sur lui-même la température qui lui convient. On lui donne, à cause de cela, le nom de courbe de la détente à chaleur constante.

Reprenons maintenant la courbe de détente et de compression du gaz, dans le cas où l'on maintient sa température constante par addition ou soustraction de chaleur (page 56 1). Cette courbe est une hyperbole équilatère, dont 1 équation rapportée à ses asymptotes est

pif=:U (l-4-«^) = C0DSt.

La quantité de chaleur qu'il faut donner au gaz pour le faire passer du volumes au volume p' est

^ Me' /^' . ,

Q = jj^y (pdp + mpdi^).

Mais de

/7fr=C0DSt.y

ÔJO CONCLUSIONS.

on tire

pdç + vdp z=. -o,

d'où

dp=—p—1

par suite

=î:i(rl).„,.«>r.f

Mais

^' Hcx

donc

O=flog^ (17)

le logarithme étant pris dans le système Népérien

On déduit de cette valeur de Q plusieurs lois importantes^ auxquelles \es gaz parfaits satisfont nécessairement. Ce sont les suivantes :

I® Les quantités de chaleur absorbées par la dilatation, ou dégagées par la compression, de l'un de ces gaz, dont la température est maintenue constante, varient en progression arithmétique , lorsque les volumes varient en progression géométrique ;

â® Des volumes égaux de tous ces gaz, pris à la même température et sous la même pression, étant comprimés ou dilatés d'une même fraction , dégagent ou absorbent la même quantité de chaleur ;

3^ Des volumes égaux de tous les gaz parfaits, pris à la même température, étant comprimés ou dilatés d'une même

fraction, dégagent ou absorbent des quantités ^ de chaleur proportionnelles à leur pression primitive.

Jusqu'à quel point nos gaz ordinaires satisfont-ils à ces lois ; c'est ce que je cherche depuis longtemps à décider par l'expérience, comme on le reconnaîtra dans le mémoire suivant; mais j'ai rencontré beaucoup de difficultés, dont la principale est toujours de réaliser les conditions statiques, initiales et finales, que la théorie exige.

La série des raisonnements que nous avons suivie page 562, pour déterminer théoriquement les quantités de chaleur qu'il faut donner ou enlever à un gaz parfait ^ dont on dirige les états physiques suivant un rectangle fermé, peut être appliquée, d après la méthode différentielle, au cas où Ton ferait suivre à ces états une courbe fermée dont l'équation est donnée, et même un polygone à côtés curvilignes. Il suffi ra^ en effet, de prendre pour la chaleur dépensée suivant chaque arc de courbe la valeur de l'intégrale qui lui correspond. Ce calcul conduit à des lois générales qui comprennent, comme cas particulier, celles que nous avons trouvées pour le circuit rectangulaire fermé. Ces lois sont les suivantes :

1^ Lorsque les états physiques successifs (^, ç) d'un gaz parfait peuvent être représentés graphiquement par un circuit fermé quelconque; il y a toujours absorption ou dégagement d'une quantité de chaleur proportionnelle à l'aire du circuit.

tP Le travail moteur ou résistant que le gaz développe pendant ces divers états est alors représenté par l'aire du circuit.

3® Il en résulte que la quantité de chaleur absorbée ou dégagée est proportionnelle au travail, moteur où résistant,

développé par le gaz. Pour les gaz parfaits, ce rapport de la proportion reste le même, quelles que soient les valeurs absolues des quantités (/?, ^); il constitue notre équivalent mécanique de la chaleur.

D'après cette définition, l'équivalent mécanique Ë de la chaleur est nécessairement une constante théorique. Pour obtenir sa valeur exacte par la méthode expérimentale, il faut opérer sur un gaz parfait^ obéissant rigoureusement à toutes les lois que nous avons admises pour le fluide idéal. Mais si Ton opère sur l'air atmosphérique, ou sur l'un quelconque des gaz 9i^^e\és permanents j on obtiendra une valeur e s'écartant plus ou moins de l'équivalent théorique E, lors même que l'expérience s'appliquerait à un phénomène où les états successifs du gaz constitueraient un circuit fermé, reprenant exactement leurs vs^leurs initiales à la fin du parcours ; lors même que le travail effectué par le gaz pendant le circuit serait donné immédiatement par la théorie, sans exiger une détermination expérimentale qui présente toujours de Tincertitude.

En tous cas on peut poser

9 (/?, Vj t) étant une fonction dont les paramètres varient pour les différents gaz. On peut la regarder comme représentant la quantité de travail dépensée à l'intérieur du gaz matériel pour y opérer les mouvements des molécules, travail qui est nul dans le fluide idéal. Mais comme, dans la

théorie, on ne peut pas définir la nature de ces mouvements moléculaires, et par suite calculer la dépense du travail nécessaire' pour les effectuer, on est réduit à déterminer leurs effets par expérience directe, et rort ne fait pas autre chose^ en définitive, qu'une interpolation.

£n résumé, l'équivalent théorique £ est une limite; les valeurs e que nous déduirons des gaz réels s'en approcheront d'autant plus que nos expériences réaliseront mieux les conditions dans lesquelles le gaz s'écarte le moins du fluide idéal.

Mes expériences sur la vitesse de propagation du son ne pourront être utiles pour fixer l'équivalent mécanique £ de la chaleur que si elles donnent une valeur incontestable pour la quantité m, et si l'on peut poser, avec certitude, pour l'air atmosphérique

Hoc

en admettant que a et m ne varient pas avec la pression. Mes expériences prouvent que a varie avec la pression, mais cette variation est négligeable quand les pressions changent peu, comme cela arrive pour les ondes qui se propagent dans notre atmosphère. Mes recherches sur la vitesse de propagation de l'air sous diverses pressions prouvent également que m ne subit pas de variation sensible entre les limites de pression

où j'ai opéré.

Si l'on n'admet pas la constance de a et de m, il faut poser

la valeur de e serait un équivalent spécial pour Tair atmosphérique, lequel varierait avec la pression et la température. La vitesse de propagation du son varie avec Tintensîté de Tonde; notre formule générale (page 555) ne donnera la valeur de m d'après la vitesse V'o donnée par rexpérience que

si l'on introduit la valeur -^ de l'intensité de Tonde , ou bien

si Ton se borne aux vitesses limites pour lesquelles on peut

admettre — = o, ce qui réduit la formule générale à la for-

mule simple de Laplace. On a dans ce cas (psige 557) :

d'où

On a d'ailleurs

On en tire

H=io333k

a ::= o,oo367

Hoc

Me

Telle est la valeur de l'équivalent mécanique de la chaleur que je déduis de mes vitesses limites de propagation des ondes dans Tair atmosphérique. Pour qu'elle diffère de Téquivalent théorique , il suffit que la vitesse limite soit influencée par les parois dans mes tuyaux du diamètre de i™io, ou par cette viscosité de Tair que je ne peux pas définir, et dont Teffet doit être surtout sensible pour les ondes trèsfaibles.

Enfin je ferai remarquer qu'en admettant a = 0,00367, qui est le coefBcient de dilatation que j'ai trouvé pour l'air atmosphérique sous la pression de o°^76o, j'introduis une valeur sensiblement plus grande que celle qui appartient à l'air infiniment raréfié et qui doit être la même que celle du gaz parfait