COURBURE DES IMAGES (SUR LA

rizontale, et vice versâ ; c’est de là que vient la confusion irrégulière à laquelle on a donné le nom d' astigmation (275, III).

Qnand les deux courbes coïncident, il devient possible, en se servant d’un écran courbe, comme dans la chambre panoramique Sutton (121,111), de les déterminer parfaitement d’un bout à l’autre; mais si, comme c’est l’habitude, les courbes ne peuvent coïncider, la meilleure approximation que l’on puisse faire, c’est de donner à l’écran une courbure intermédiaire, ce qui est habituellement compris coihme plan ou surface de moindre confusion.

§ 15. Il est donc certain que l’accord entre les lignes H et Y est important pour la planimétrie générale du champ.

Les positions des points H et V peuvent être calculées dans tous les cas, mais quand les lentilles sont achromatiques (21) et combinées (1012), le calcul devient extrêmeiifent long et compliqué. Comme exemple de ce calcul, nous allons prendre le cas peut-être le plus simple, c’est-à-dire une lentille plan-convexe (876, § 5 B) d’un seul morceau de verre, mais supposée achromatique (21), avec un diaphragme (502) portant une très-petite ouverture, placé tout près de la face convexe, et avec lespinceaux .de lumière composée de rayons parallèles et tombant sur la face plate de la lentille.

Dans cet arrangement, les pinceaux, avant et après leur passage à travers la lentille, feront le même angle d’obliquité avec l’axe (121). Je m’efforcerai de donner ce calcul qui peut être compris par les personnes un peu habituées aux mathématiques.

Fig. 310.

§ 16. Calcul de la distance du point V à la lentille.

Soit CD (fig. 310) l’axe de la lentille et A a l’axe du pinceau de lumière, après la première réfraction (1265) à la surface plate de la lentille, soit B b un rayon extérieur du pinceau qui doit être parallèle à l’axe A G. •

Soit G V et. 6 Y' les rayons d’axe et d’extérieur après leur réfraction par la surface courbe h a. Alors Y' est approximativement le foyer primaire du pinceau, ou, pour mieux dire, le plus rapproché, et l’axe «6 se trouve ainsi décrit :

Soit V'aD=ô bca =9 bY'a=x

COURBURE DES IMAGES (sUR La).

et substituant, nous trouvons :

m sin (D O A' — ç) — sin (6 — 9 — y).

équation au moyen de laquelle nous pouvons calculer les valeurs de x* D’autre part, dans le triangle y b a, b a étant la corde, nous avons trigonométriquement :

Va ou longueur focale = — : . Sin

sin X

§ 17. Au moyen de cette formule, nous pouvons calculer \'a distance depuis le diaphragme à a au point d’intersection du rayon extérieur avec l’axe seul; mais cette distance V'a sera de plus grande en plus grande si nous prenons l’arc b a, de sorte que c’est seulement quand b a est infiniment petit que la position exacte de Y est absolument déterminée. De plus, si, au lieu du rayon externe choisi dans la figure 310, nous en avions pris un de l’autre côté des rayons d’axe du pinceau, nous aurions obtenu, en donnant des valeurs finies à l’angle 9, des valeurs de Y" a trop petites. Ces points, pris en dehors pour chaque pinceau oblique, forment l’aberration indiquée fig. 311.

Fig. 311.

§ 18. En prenant l’axe bk de plus en plus petit, les points Y' et Y" s’approchent graduellement, et quand bk devient infiniment petit. Y' et Y" se réunissent tous deux au foyer réel Y.

Nous allons obtenir maintenant une expression de la longueur focale exacte a Y.

Si 9 et X deviennent excessivement petits (comme il est évident en construisant l’épure des angles avec leurs sinus, etc.), nous pourrons écrire la formule (1) ainsi :

m sin D a A' = nicp cos DaA' = sin e — 9 cos 6 — x m sin DcïA' = sin e; en posant DaA' = iri, nous trouvons :

De même, la formule (2) devient, en remplaçant ç par b a et y par sin y :

Va — I cos 0 4- sin 6 9 + j

Comme 9 et y sont d’une excessive petitesse, nous pouvons négliger la dernière partie ; de sorte que

Ya=— cos 6 (4)

Substituant enfin dans (4) la valeur de y donnée par (3), nous avons l’équation polaire suivante pour la courbe V :

Ray. vect. ou longueur focale Y a en fonction des * — . . (^5)

rayons de courbure de la lentille \ 1

cos 6

§ 19. Nous annexons un tableau des valeurs de Va calculées avec m — 1,5, et en fonction de la principale longueur focale X

Fig. 312.

La courbe, telle qu’elle est obtenue parles valeurs de Va, est tracée fig. 312; elle’est ovale, avec la pointe aplatie au dehors. L’extrémité pointue touche la face convexe de la lentille. Cette courbe est une excellente représentation géométrique d’une section longitudinale d’un œuf de poule.

§ 20. Calcul de la distance du point E à la lentille. Supposons (fig. 313) que deux autres points existent a et a' à une courte distance au-dessous du plan du papier, et un autre a" à une égale distance au-dessus du plan de ce papier : de même, soient les points A' et A"

similaires de A. Alors le rayon A' a’ H- doit être contenu dans un plan passant par les lignes A! a', e a et C H ; et le rayon A" a" H doit être dans un plan passant par les lignes A" a", ea et CH. Maintenant, puisque

Fig. 313.

A' a' est parallèle à iVa% il est évident que CH, la ligne d’intersection des deux plans, doit être parallèle aux rayons avant leur réfraction finale, c’est-à-dire que Aa est parallèle à CH :

HG = aH sin 6, et G H est aussi = C H sin yj.

Sin 6 = sin y)

:msinyi.

Mais le lieu d’un point H, dont les distances de deux points fixes c et a sont en proportion fixe l’une de l’autre, comme m : 1, est (suivant la prop. XH de la Géométrie analytique de Leslie) un cercle comme on le voitfig. 312.

§ 21 . Quelques-unes des propriétés de ce cercle ou courbe H sont les suivantes :

■ . Soit R = le rayon du cercle,

V = le rayon de courbure de la lentille,

F = le foyer principal ou géométrique «F.

CH.'Ha )

d’où

Cf.ifa CF :Fa

Si aYÜ est perpendiculaire à l’axe, CH' est une tangente au cercle H. Si m = 1 ,5 ; F = 2 r et R = 1 ,2 f .

Si m = 1,618; F = 1,512 r et R = 2.

r sin y)

sm (0 — y)) a V —an cos^O.

§ 22. Dans la figure 312, quand m= 1.5, nous trouvons que les rayons de courbure sont pour le cercle ou pour la courbe H = O.C F ; et pour la courbe V, prise comme embrassant presque 35® de champ == 0,3 F, ou moitié de H; et que la courbe de moindre confusion doit

être égale environ à 0,4 de F. D’autre part, ces courbes sont très-différentes, ainsi que nous le voyons dans beaucoup d’ouvrages, surtout quand le rayon est presque égal à F. Ce qui est dit des lentilles dans la plupart des livres, s’applique surtout à des lentilles qui seraient parfaitement sphériques, pour lesquelles H ctV sont la même courbe décrite avec un rayon = F, le foyer étant mesuré du centre de la sphère.

Afin d’obtenir le calcul exact des courbes V et H, pour les autres lentilles et combinaisons ou arrangements, il faut se reporter au Traité de Coddington, part. F®, éd. 1829.

§ 23. Puisque nous avons parlé des rayons de courbure du champ donné par une lentille ordinaire, nous pouvons maintenant faire un contraste en plaçant le diaphragme à la même distance du côté plan de la lentille plan-convexe, notant toutefois que cette question change de nature quand la lentille est rendue achromatique.

Si le pinceau de lumière vient d"un paysage très-éloigné , la surface courbe de la lentille affecte seulement la longueur focale; par conséquent, si nous pouvons nous arranger de manière que les pinceaux arrivent dans la direction des rayons sur la face courbe, la longueur focale pour chaque sera égale à F, et les courbures Y et H coïncideront. Maintenant, si nous plaçons le diaphragme en S, de façon que CS soif environ 1/3 de c6, ou quelquefois moins du 1/3 de c6 quand le champ est resserré, nous pouvons remplir approximativement la condition ci-dessus, et, par conséquent, 6 F’ est presque = aF, et le champ F'FF" aura c presque pour son centre de courbure; de sorte que le rayon du champ devient égal à environ 1.5 F, ce qui contraste très-fortement avec le faible résultat 0.4 F obtenu pour des cas ayant le diaphragme en a.

§ 24. Cela ne peut pas toujours donner une idée juste de l’augmentation de planimétrie effective pour le champ donné par F'FF", qui peut être regardé comme un arc de cercle ayant son centre en c, représentant en réalité un plan de vue angulaire égal à bsd : c’està-dire accompagné, dans tous les cas, d"une forte distorsion.

Quand le diaphragme est placé plus près de la lentille, ou plus loin d'elle, de façon que les pinceaux tombent obliquement sur la face convexe, la longueur focale pour V devient plus courte que pour H, et toutes deux plus courtes que F, le foyer principal : mais, pour une lentille simple ordinaire, nous ne pouvons prendre, pour aucun pinceau, une distance focale plus longue que F.

§ 25. Nous pouvons donc énunîérer ici quelques principes qui servent à expliquer presque toutes les difficultés qui regardent la courbure du champ des lentilles ou des combinaisons de lentilles.

Trimipel^^. Si un pinceau de lumière traverse la surface courbe, qu’elle soit convexe ou concave, d’un corps réfringent (1265), ou la surface courbe séparant deux corps de densités différentes, la quantité de convergence ou de divergence produite sur le pinceau, ou comme le nomme sir J. Herschell, le changement de vergence, sera

COURBURE DES IMAGES (SUR La).

minimum si la direclion du pinceau est normale à la surface courbe, et augmentera avec raugmentatioii d'obliquité du pinceau.

Ce principe s'applique aussi bien aux surfaces planes, quand elles font partie de quelques autres courbées (V. Principe IV).

§ 26. Principe U. Si, par un pinceau arrivant oblique à la surface, la vergence produite sur le pinceau est augmentée, les points focaux primaires et secondaires V et H se séparent, et ce changement de longueur focale affecte la position de V beaucoup plus rapidement que celle de H'.

Principe 111. Si un pinceau de rayons parallèles passe à travers une surface courbe séparant deux milieux, les degrés de vergence produits, quand il passe dans ou hors du milieu le plus dense, sont trèsdifférents. Si les milieux sont verre et air, et l’indice de réfraction (818) du verre clans l’air pris comme d’habitude dans les recherches usuelles = 1.5, alors, pour des pinceaux petits et normaux, les vergences seront entre elles comme 2 : 3 ; mais si les pinceaux sont obliques, le rapport sera beaucoup plus élevé.

§ 27. Principe IV. La vergence d’un pinceau est augmentée en passant dans unuuiiieu plus rare par une surface plane, et elle est diminuée en passant dans un milieu plus dense à travers une surface plane.

Par exemple, si le pinceau est d’axe, les vergences ou longueurs de foyers réciproques avant et après le passage à travers la surface plane du verre dans l’air prenant m = 1 ,5, seront comme 2 : 3 dans le premier cas, et comme 3 : 2 dans le second; ou la vergence est augmentée de 50 O/o ou diminuée de 33 V2 O/q par l'action de la surface plane.

Si rn était = 2, le taux pour O/o pourrait devenir respectivement 100 et 50.

§ 28. Principe V. Les mêmes considérations qui affectent l'action vergente d’une surface plane, comme il est établi au principe IV, affectent également l’action d’une surface courlie sur un pinceau vergent.

Ainsi, par exemple, si nous prenons une lentille concavo-convexe ayant ses rayons de courbure comme 2 : 1,un pinceau parallèle, après être entré par la surface la plus courbée, passera à travers la seconde surface sans aucun changement d’écart dans la vergence, de sorte que la courbure de la seconde surface neutralisera l’augmentation qui pourrait d’ailleurs être produite par une surface plane.

§ 29. Nous arrivons maintenant à l’examen pratique des objectifs piano-convexes achromatiques, et à l’explication de la figure qui montre les courbes V et H obtenues au moyen de notre appareil.

On peut créer un grand nombre de figures, mais nous avons donné la préférence aux plus instructives. Le premier objectif employé était de fabrique française, distance focale environ 13 centimètres et demi,

le diamètre extrême 3 cent. rayon de courbure de la face con-

cave == 0^.06 pleins, épaisseur au bord =

COURBURE DES IMAGES (SUR LAj.

Les figures (314 à 320) ont été réduites à l’échelle d'après les figures originales, environ dans la proportion de : : 28 ; 10.

Fig. 314.

§ 30. La figure 314 montre, à une échelle réduite, les courbures obtenues avec le diaphragme et la lentille dans leurs positions ordinaires, c’est-à-dire avec le diaphragme en avant de la face plate et à une distance d’elle égale, respectivement à 3 cent. 1/2 et 0‘".028. Ces figures sont très -remarquables.

La première chose à noter, c’est que la courbure V, au lieu de ce qui est arrivé dans la figure 312, est devenue la plus plate et la plus extérieure des deux, révélant l’action négative oblique qui ressort de nos principes 1 et II. De plus, nous trouvons comme conséquence, que la surface intérieure bornant le flint (691) et le crown (437) a un pouvoir divergent en vertu du plus grand indice de réfraction (818) du flint-glass.

La dernière propriété qui nous frappe, enfin, c’est l’excès de cette action vers les extrémités des figures où les courbes V deviennent alors recourbées. Cela vient de l’extrême obliquité sous laquelle les pinceaux extérieurs frappaient sur la surface intérieure négative, comme nous avons pu le voir dans la figure 313.

Un autre elfet de la trop grande action de la surface négative sur les pinceaux très-obliques, sera de diminuer un peu la distorsion (282, 111) vers les marges de l’épreuve; ce résultat se présente sur la direction des pinceaux aussi bien que sur leurs vergences.

§ 31. Il faut remarquer, dans le cas qui nous occupe, que la première surface, la plate, n’a pas d’effet vergent, et que la seconde, la convexe, n’a pas son pouvoir exalté dans un endroit plus que l’autre

COURBURE DES IMAGES (SUR La).

par l’obliquité de l’action : c’est pourquoi la surface négative par son obliquité d’action sur les pinceaux courbés parallèlement, et parce qu’elle est l’occasion du passage d’un milieu plus dense à un milieu moins dense, doit être la cause d’une action très-intense. Cette remarque nous prépare à ce que nous trouvons dans la figure 317.

Fig. 317.

§ 32. La figure 317 présente les courbes obtenues quand la face convexe est tournée vers la vue et le diaphragme placé à 28““ . derrière la lentille. Il faut remarquer d’abord que la courbure V est revenue ici dans une position plus naturelle par rapport à la courbe H, devenant ainsi la plus intérieure, d’où nous concluons déjà que notre surface négative est toujours très-oblique aux pinceaux extrêmes. Voyons ce qui peut intervenir et quelle sera Tinfluence de cette position.

La surface convexe, qui est à présent la première, aura simplement les deux tiers du pouvoir vergent qu’elle exerçait avant (principe III), et puisqu’elle est presque à angle droit avec les pinceaux, elle pourra avoir peu à faire avec le changement, excepté en laissant le surplus de la convergence s’effectuer par la surface plane. La surface négative est d’un côté réduite dans son influence par l’action du principe III,

et de l’autre augmentée par suite du principe V. C’est alors à la surface postérieure ou plane que tombe le plus grand pouvoir sur l’aplatissement, particulièrement de la courbe V. La face plate agit comme une surface convexe du principe IV, et cette action est exaltée sur les pinceaux obliques d’après le principe 1.

§ 33. Les figures 318-319 montrent l’inverse de l’effet d’aplatissement produit sur le fond par le diaphragme quand il est placé à l’envers de l’objectif. Dans le cas de la figure 318, la face plane de la lentille est tournée vers la vue, et le diaphragme placé à 21““. devant la lentille.

Il est bon de faire attention au fort rapprochement des courbes dans les figures 319-320 faites pour les obtenir par le calcul dans la figure

COURBURE DES IMAGES (sUR LA).

312, pour un*tout autre cas. Les marques des deux cas opposés de distorsion sont évidentes dans les figures 319-320.

Fig. 320.

§ 34. La figure 320 montre les courbes obtenues par un douldet (objectif double) composé d’une lentille achromatique plan-convexe (876) de 18*c. de foyer, placée en avant, avec sa face convexe en face de la vue, et de notre lentille de 13 c. 1/2 de foyer placée derrière, la face courbe vers l’image, un diaphragme étant inséré entre les deux lentilles à une distance de 21 c. de chaque face plane. Les actions inverses indiquées par les figures 316-317 sont clairement démontrées par la figure 320.

§ 35. Un des meilleurs objectifs doubles pour stéréoscope, dont on ait pu se servir pour les vues et qui les produit remarquables, tant par leur netteté que par leur manque de déformation, était composé de surfaces suivantes, ayant les rayons de courbures ainsi calculés :

D concave = 0“.8300,* G = 0“.0800;

E = 0“.1700; Et H concave = 0“.2210.

Le diaphragme était placé à moitié chemin de la distance des surfaces D etE, et à0“.025 de chaque.

Soit a, représentant la distance du diaphragme à la lentille de devant ou surface D, et h la distance de la combinaison postérieure ou surface E, on arrivera aux résultats suivants :

§ 36. 1. Si la distance de O’^.OSO est maintenue entre les deux lentilles, nous trouvons que :

1® Si le diaphragme est au milieu en a — 0“.025 et 6 == 0“.025, le rayon de la courbe V est un peu plus petit que 0“.15 et celui de H = 0“.18, le champ moyen ou lieu de moindre confusion se trouvera avoir un rayon qui ne dépassera pas 0™.165.

2® Si nous rapprochons le diaphragme de 0’®. 006 en avant, de manière que a= 0“.018 et 6 = 0“.006, nous trouvons une grande amélioration, les deux couches coïncident presqu’eiitièrement et le rayon de la courbure est allongé environ à 0“.20.

3® En rapprochant encore le diaphragme de0“.006 en avant, de manière que a = 0“.0i3 et b = 0®“.038, les nombres sont identiques et le rayon commun est juste égal à 0“.20.

4® En rapprochant encore le diaphragme de 0®“.003 plus près, de sorte que a = 0'®.009 et 6 = 0“.041, il se produit peu d’effet, excepté que la courbe V devient un peu plus plate que H, et par conséquent, commence à s’en séparer de l’autre côté que celui qu’elle oç-

COURBURE DES IMAOp (SUR La).

cupait dans la première expérience. Il semble ainsi, que pour une distance de lentilles égale à 0“\050, nous arrivons au meilleur résultat, quand b est environ 3 fois la valeur a, point auquel on a la meilleure combinaison de V et de H, le fond général plan et la moindre distorsion.

§ 37. II. Nous pouvons combiner une série inverse d’expériences dans lesquelles b sera toujours 3 fois a, mais où la longueur totale a+6 variera.

1“ Nous avons vu que, avec a -f- 6 = 0“ .050, nous avions les rayons de V et H chacun à 0“.20.

2® Si a+6 sont (moindres) <0“.050, nous avons un champ plus courbé : par exemple, si a -1-6 = 1,15, les rayons sont: de V = 0“.082 environ, et de H = 0“.140.

3° Si a-(-6sont (plus grands) >0“. 050^ nous aurons un champ général plan ; mais V se sépare de H et devient convexe du côté de la lentille, de sorte que nous pouvons immédiatement l’appeler un champ presque plan de moindre confusion. Mais cette confusion est réellement si grande quand Y et H sont beaucoup plus séparés, qu’on doit maintenir la coïncidence des deux courbes, comme la chose la plus importante pour laplanimétrie du fond.

§ 38. 111. Le dernier pas sera de prendre d’autres valeurs pour «-|- 6, et de découvrir pour chaque, la meilleure position' du diaphragme ou la proportion de a : 6, et de faire accorder les résultats aussi bien qu’on peut l’atteindre.

11 est bon d’étudier en terminant, les expériences relatives à l’usage de moitié seulement de l’objectif double que nous examinons : 1« quand la lentille A-D de devant est enlevée, et le diaphragme mis à 0“.025 du devant de la combinaison postérieure E-H, il se produit un changement frappant si la lentille G-H est retournée. Dans la position ordinaire de G-H, nous avons trouvé les courbes V et H avec les rayons de 0“.17 et 0“.30 respectivement^ le foyer mesuré à partir de la lentille étant environ 0“.27. Mais quand nous retournons G-H de manière que la face G soit derrière, nous trouvons les deux courbes convexes vers la lentille et V au-delà do H; les rayons étant alors 0“.25 pour H et 0“.62 pour V.

§ 39. Avec l’autre demi-lentille ou celle de devant de l’objectif double tournée de l’autre côté, de manière que le diaphragme se trouve devant ou vers la vue, nous trouvons (1") que si le diaphragme est à environ 0“.033, H et V coïncideront; (2®) si la distance du diaphragme est plus petite que 0“.033, le rayon deV =0“ .27 et celui de H = 0“.58 (longueur du foyer principal environ 0“.22),* enfin (3°), si la distance du diaphragme est plus grande que 0“.033, nous trouvons que V est plus plat que H, par exemple, si la distance = 0“.034, le rayon de Y = 0“.75 et celui de H = 0“.50.