AA' , = A Î

? 2 B' 1 493ooo k «

Qi — 77325io u

Calcul des termes complémentaires de la valeur de Q donnée par la formule [1) du présent numéro [n° 40, formules (2.3), (24), (25) et (26)].

y/aa

»i = -p— [(1 -+- 4*') Ji — 4«'r*]i

** = - '- [tri -/« + *)•

3 a* si a û.q

d'épaisseur variable. 109

La valeur de la quantité 9 qui divise les quatre quantités précédentes dans la formule (2) est égale au nombre trouvé ci-dessus, 0,1 138, multiplié par le facteur commun

— — j dont nous avons fait abstraction dans les for-

« 8 *Ja I

mules (3). Supposons que la lettre S n représente dans les formules suivantes le nombre o, 1 138, c'est-à-dire la véritable valeur de la quantité $ divisée par le facteur .. — .

a % yal

Remplaçons I par sa valeur ( 3 ) ( n° 39 ) ; Q par sa valeur (22) (n° 40), d'où résulte — = ~> et les quatre formules précédentes deviendront

Quantité complémentaire du dénominateur :

Quantité complémentaire du numérateur :

8<?» ^ r« — Ji A/ 16** l^—j^Kn ETSÎn«

I IO CHAPITRE III. — STABILITÉ DES VOUTES BN ARC DE CERCLE. '* l //

i^Vi^; °>°7 5ï

f fl (r. — ri ) rij- o ,oo36

rf 0,0787

f«(r« — rO-ïj-A' 22700

VUrî-r.+j'i) o.23i

^(iy. 3 -r.+ri)^-B' 6840

. • Le terme relatif à la variation de température contient deux nombres qui n'ont été déterminés par aucune expérience, savoir le coefficient d'élasticité longitudinale E et le coefficient de dilatation de la matière de la voûte, dont t représente le produit par le nombre de degrés dont la température a varié dans le passage du premier état d'équilibre au second. Nous sommes donc obligé, quant à présent, de faire abstraction de ce terme, et la valeur complémentaire du numérateur de Q est

n z=z — 29540 ; il en résulte

d'épaisseur variable. m

En négligeant la valeur de n, on commet une erreur de moins de y^. En négligeant celle de d, Terreur commise serait un peu inférieure à -^.

Le rapport- est égal à 2,5a. Nous avons trouvé plus

haut, pour les limites de Q,

Q'=2,IlP.

Ainsi la valeur de Q est effectivement comprise entre Q' et Q" ; elle est d'ailleurs inférieure à leur moyenne arithmétique.

Remarquons que - =-3,39 est compris entre ^- et —-•

§ II. — Application de la formule d'intégration de Thomas Simpson (n° 49), au calcul des six quantités p , A, A', A", A',, A".

Les six fonctions désignées par j' dans le n° 49 sont les fonctions de w placées sous le signe/ dans les formules (i) du n° 39, savoir :

I — cosw

(i — COS&)) 3

2(1 — cosw) — w sinw 2(1 — cos w ) — w cosw

(1 — cosw).

Les valeurs de i — cosw sont les nombres m i de la Table II; celles de a(i — cosw) — w sinw sont les nombres ro 3 de la Table IV [voir les deux premières formules (b) du n° 41 ].

Ainsi les fonctions précédentes peuvent s'écrire

La valeur de I est donnée par la seconde formule (5) du n° 33, savoir

I = fLV,

la demi-épaisseur e de la voûte étant exprimée en fonction de w par la formule

[a) sz=z e[i -+- m[\ — cosw)],

dans laquelle m= 6 __ = ^— - (n° 39), formules (4) et (d).

Nous allons calculer les valeurs des fonctions y corres-

D'ÉPAISSEUl VARIABLE. I l3

pondant à des valeurs de w croissant de 3* en 3°, depuis zéro jusqu'à a ; mais, comme les cinq dernières de ces fonctions croissent rapidement à partir de zéro, nous intercalerons une ordonnée entre les deux premières en partageant en deux parties égales l'intervalle de 3° compris entre zéro et 3°. L'aire totale de chaque courbe se composera ainsi de trois parties, auxquelles on appliquera séparément la formule de Thomas Simpson. La première des trois comprendra trois ordonnées y*,jr\, y*, dont la distance h sera égale à l'arc de i°3o'; son aire sera

La seconde comprendra quatre parties formées par cinq ordonnées j 0j y iy y 2 j J^t J*9 dont la distance h sera égale à l'arc de 3° ou à o,o5a35. Son aire sera

s= 5 [rt + r4 + 4(ri+rt)+ Vil-

Enfin la troisième ne comprendra qu'une seule partie et deux ordonnées j > Jn dont l'intervalle h sera égal à Tare de i°54' ou à o,o33i6. Son aire, peu différente de celle du trapèze formé en joignant par une droite les extrémités des ordonnées, sera donnée par la formule

s=-(r +rt)-

Les calculs sont disposés dans le Tableau suivant. La quantité }L' étant diviseur commun de toutes les fonctions y, nous en avons fait abstraction, de même que

nous avons fait abstraction du facteur — dans le pa-

ragraphe I. Le moment d'inertie I de la section normale à la clef est égal à f L'e 3 ; ainsi le rapport de ces deux

facteurs est égal à — ^— = 0,0001 3. Tel devrait être le

rapport commun des valeurs que nous allons obtenir dans ce paragraphe et de celles que nous avons obtenues dans le paragraphe précédent pour les six quantités p , A, ùf, A" A' A"

d'ÉPàISSEC* Y1BUBLB.

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