RI
Rî +0,457
Calcul de tifpar la formule (6) du n° 61.
»J = ^(Mo/Wi-f-rDwj— rAm s - rBm 6 ) — ^ — /t??,t.
£il Jc*il
s n ................ ......... 2 545ooo
,7?îZ== ^ "288^' _____ a 6 112a 8
6 l44 4°320 (Foirla un du n° 57.)
ig? CHAPITRE V. — ARCS MÉTALLIQUES EX ARC DE CERCLK
/w 6 , o,ooooo8i3
E, coefficient d'élasticité longitudinale de la fonte. 6x 10 9
Kl 2568ooooo
Pour 18°, m % (Table II) 0,00120
Pour 44'» o,733Am 2 21
m 1 o,ooi4i
rD 4 1 7^oo
/w t rD 5896
m 5 rÀ 5o4»4
m 6 rB I24>2
Ê| Xl 7 2 7 o,o586
1 En '
Ce résultat se rapproche plus que le précédent, relatif à Tare parabolique , de celui qui a été obtenu par MM. Desplace et Colle t-Meygret sur Tare circulaire de Tarascon. ( Voir la fin du n° 61 . )
64. Arc de section variable, — Prenons pour exemple un arc métallique du pont d'Arcole, construit sur la Seine à Paris, par M. Oudry. Nous empruntons les données qui le concernent aux Nouvelles Annales de la construction de M. Oppermann, année i855. Ce pont est construit en fer laminé. Son ouverture est de 80™, et sa largeur entre
DE SECTION VARIABLE. ig3
garde-corps de ao m . Il se compose de douze fermes en fer, dont l'intrados est cintré suivant un arc de cercle de 8o m de corde et de 6 m ,ià de flèche. Dix fermes intermédiaires sont distantes de i m ,333 d'axe en axe. Les deux autres fermes, formant les têtes du pont, sont placées à 3 m ,oo de distance des fermes voisines.
Chaque ferme est formée d'un arc et d'un longeron supérieur qui est ancré dans la maçonnerie des culées [voir \difig- 16 à l'échelle de o m ,oi). Ces deux pièces sont reliées aussi bien que possible par un tympan, dont l'effet est d'assembler le tout en une seule pièce prismatique à section normale invariable.
La section d'un arc intermédiaire est une âme de o m ,oio d'épaisseur, découpée suivant la courbure de l'arc et rivée à deux lames horizontales inférieure et supérieure par
quatre cours de cornières de ô~^' ^ a l ar geur des
tables est de o m ,53o, leur épaisseur de o m ,o28, et elles sont formées de deux feuilles de o m ,oi4 réunies par les rivets des cornières et par deux autres cours de rivets placés à o m , 06 des bords.
La section à la clef a une hauteur de o m , 38o, et aux naissances cette hauteur est de i m ,3oo. La section des longerons est un T simple, formé d'une table horizontale de 3ooX i5 et une branche verticale de 3ooX 10, réunies par deux cours de cornières de r-2- .
Le longeron est prolongé dans la culée où il est ancré et peut être tendu par un système de calage disposé à cet effet dans l'intérieur des maçonneries. Du côté de la clef, la branche verticale du longeron est prolongée jusqu'à l'arc et est rivée sur ce dernier au moyen de deux cornières. Le plan de la face supérieure de la table horizon-
ig( CHAPITRE T. — ARCS MÉTALLIQUES EN ARC DE CERCLE
taie du longeron passe à o m ,oi5 seulement au-dessus de l'extrados de Tare à la clef. La section du longeron jusqu'à ce point ne pouvant avoir une hauteur supérieure à ce chiffre, on a formé ce prolongement d'une simple feuille de tôle de 6jo X i5. La hauteur totale de la section de la ferme à la clef est, par suite, de o m , 5g5. Le poids total des fers et fontes du pont est de 1 1 20 tonnes ou de 70o kg par mètre carré. Le ballast et l'empierrement pèsent 5oo kg , et la charge d'épreuve est de 6oo kg par mètre carré. Les fermes intermédiaires étant espacées de i m ,33, le poids appliqué par mètre courant de longueur horizontale est de 1 20o k * pour la charge permanente et de 6oo kg pour la charge d'épreuve. Le poids réparti par mètre courant de longueur horizontale va en croissant légèrement du milieu du pont aux extrémités, puisque le poids de l'arc et des tympans va lui-même en croissant entre les mêmes limites. Mots tiendrons compte de cet accroissement en supposant que la répartition de la charge est proportionnelle à la longueur de l'arc.
Traçons sur la/îg\ 16 la courbe de fibre moyenne. Pour cela, coupons la ferme par un plan perpendiculaire à l'arc d'intrados aux naissances et cherchons le centre de gravité de la section ainsi obtenue. Ce point sera situé au-dessus de la courbe cherchée. En effet, soient AB {Jig'[iy) le pl an normal à l'arc d'intrados CA, et M le point d'intersection de ce plan et de la courbe cherchée. Menons par le point M la normale FE à la courbe MN; le point M sera le centre de gravité de la section FE, ainsi que cela résulte de la définition de la courbe de fibre moyenne MN. Mais AM est plus pe tit que ME et MB plus grand que FM, et, comme les dimensions perpendiculaires au plan de la figure sont les mêmes dans les deux sections, qui ont toutes les deux la forme de double T surmonté d'un T simple, il est évident que le
DE SECTION VARIABLE. Iy5
moment de l'aire AM est plus petit que celui de Taire ME et que le moment de Taire MB est plus grand que celui de Taire MF. Mais, M étant le centre de gravité de FE, le moment de Taire ME est égal à celui de Taire MF; donc le moment de Taire AM est plus petit que celui de Taire MB, donc le centre de gravité de la section AB est entre le point M et le point B. Soit G ce point. Menons par le point G un plan vertical perpendiculaire au plan de la figure et cherchons le centre de gravité de Taire de la section de la ferme par ce plan. Ce centre de gravité G' sera situé audessous de la fibre moyenne MN, ainsi qu'on le reconnaît par un raisonnement semblable au précédent.
Or les deux points G et G', que Ton obtient en opérant ainsi dans le cas de la^/i£. 16, sont presque confondus en un seul. On peut donc les considérer comme situés sur la fibre moyenne. Cherchons encore le centre de gravité de la section normale de la ferme à la clef, et nous aurons le sommet de la courbe de fibre moyenne. Or, si Ton fait passer par ce sommet un arc de cercle passant par le point déterminé précédemment aux naissances et tangent à une horizontale menée par ce sommet, on trouve que cet arc traverse les sections de la ferme qui lui sont perpendiculaires en des points très-voisins de leur centre de gravité, en sorte qu'on peut la considérer comme répondant d'une manière très-satisfaisante à la définition de la fibre moyenne d'une pièce prismatique. Cette courbe est désignée par les lettres ABC sur la^/g-. 16.
Partageons-la en six parties égales et inscrivons dans les colonnes 2 et 3 du Tableau ci-après les valeurs des coordonnées des points de division. Nous inscrirons ensuite dans les colonnes 4, 5 et 6 la hauteur de la section de la ferme, la hauteur de la section de Tare seul et la distance de l'extrados de Tare à la fibre moyenne ABC. Les co-
ig6 CHAPITRE T. — ARCS MÉTALLIQUES EN ARC DE CERCLB
lonnes 7 et 8 contiennent les valeurs de Taire Q et du moment d'inertie I des sections normales de la ferme par rapport à la fibre moyenne. Dans les calculs des moments d'inertie, il faudra faire usage de la propriété suivante que nous rappelons ici.
Le moment d'inertie d'une surface ABCD (Jig. 18) par rapport à une droite EF ne passant pas par son centre de gravité est égal au produit de son aire par le carré de la distance de son centre de gravité G à cette droite, augmenté de son moment d'inertie par rapport à un axe 1J, mené par son centre de gravité parallèlement à la droite EF. Dans le cas d'un rectangle dont la base AB = b est parallèle à la droite EF dont la hauteur BG = h et dont le centre de gravité est placé à une distance r de Ja droite EF, on a, pour la valeur I de son moment d'inertie par rapport à la droite EF,
Toutes les sections de la ferme pouvant être décomposées en rectangles situés comme celui de la fig. 18 par rapport à l'axe d'inertie, cette formule servira à calculer tous les moments d'inertie des sections normales de la ferme du pont d'Arcole. 11 conviendra de tracer, le croquis de chacune des sections et d'y inscrire toutes les cotes qui doivent entrer dans les calculs.
Pour tous les rectangles dont la hauteur est une épais-
//* seur de tôles, la hauteur h est petite et la quantité — négligeable devant r 2 . La colonne 9 représente les valeurs de la résultante TJ' correspondant à chaque point de division : c'est la résultante des forces appliquées à la pièce depuis le sommet jusqu'à la section normale en ce point. La colonne 10 contient les différences des valeurs de Z", qui sont
DE SECTION VARIABLE. I97
constantes dans le cas actuel, puisque les charges sont réparties uniformément sur la longueur de Tare que nous avons divisé en parties égales.
La colonne 1 i contient les bras de levier des forces AZ". Ce sont les distances des milieux des arcs partiels à la verticale du sommet ou autrement dit les abscisses de ces milieux. Les produits de AZ" par ces bras de levier sont les différences AM" des valeurs de M", moment de la résultante 71 par rapport au sommet de Tare ou de l'origine des coordonnées. Les colonnes suivantes jusqu'à la colonne 26 contiennent les valeurs nécessaires pour déterminer les nombres z , z K , z 2 > f*o? p>i et zra, qui entrent dans l'expression de la poussée Q, formule (i) du n° 60, ainsi que dans celle du moment M à la clef, formule (h) du
On
trouve Q =
ainsi
— a2QOO k8 " 1 .
Calcul de l'effort normal à la clef.
Les deux valeurs qui précèdent permettent d'obtenir la
valeur de w = ~ et celle de l'effort normal R, tant à
l'intrados qu'à l'extrados, donné par la formule
On obtient ainsi
w = — 0,081 44* Les valeurs de v, désignées par vi à l'intrados et v e à i'ex-
ig8 CHAPITRE ▼. — ARCS MÉTALLIQUES EN ARC DE CERCLE
trados, sont:
et Ton obtient
R» — i8i5ooo k «
RJ — 8o6oooo kf
Calcul de l'effort normal aux naissances.
X = Q cosa — n sin a.
1 — cosa = m l 0,02794
sin a o,2346
L= [Tl'x — M" + Q*)« + M .
( Cette quantité L est le dernier nombre de la colonne 28 ) .
L = 578ioo k « m .
"/ ^Sgo
DE SECTION VARIABLE. 1 99
— — 4665ooo
En prenant pour unité de surface le millimètre carré, les efforts normaux précédents sont exprimés par les nombres suivants :
R« =r-lH,8l5,
RS = — 8 k «,o6o, R£ = -8 k ' v *56 v R< = 4 ki ,49o.
Le dernier effort normal est une traction; les trois autres sont des pressions.
Calcul de la flèche.
La valeur de la flèche est donnée par l'équation
Les colonnes 28, 29, 30 et 31 renferment les éléments du calcul de cette expression. Le premier terme est petit par rapport au second, et nous y avons supposé £2 constant et égal à la demi-somme o m ,o577 des valeurs extrêmes. On trouve ainsi :
— ds — 0,00117
Eli '
jj<fr 0,1173
Le coefficient E d'élasticité longitudinale a été pris égal à 2 X io*°. La valeur de Sfest donc
La flèche produite par la charge d'épreuve, qui est la moitié de la charge permanente et est égale à 8oo kg , est le tiers, par conséquent, du nombre précédent ; c'est donc
60. Cherchons maintenant quelle serait la valeur de l'effort normal R et de la flèche 5/* dans le cas où, le longeron et l'arc cessant d'être solidaires, l'arc supporterait seul les charges appliquées.
Traçons la nouvelle fibre moyenne (*) sur la Jig. 16. C'est un arc de cercle également distant des arcs d'intrados et d'extrados. Formons un nouveau Tableau analogue au précédent, mais ne renfermant que les quantités dont les valeurs diffèrent de celles de ce Tableau. Ainsi les quantités Z", M' 7 , par exemple, qui restent les mêmes, n'y figureront pas; on en prendra les valeurs dans le premier Tableau. Les nouvelles valeurs des intégrales z , z i9 z 2 , Ho et /*i conduisent aux valeurs suivantes de Q et M :
Q = — 3348oo k ', M = --i38oo k « m .
Ainsi la poussée est plus forte et elle passe plus près du centre de la section normale à la clef.
Calcul de l'effort normal à la clef.
(') Cette courbe est celle qui a été désignée par erreur sur \*fig* 16 par les mots courbe des pressions.
DE SECTION TARIABLE. 201
— — 6456ooo
r- 2 620 OOO
R< — 4 i36ooo k «
R* — 8776ooo v «
Calcul de V effort normal aux naissances.
- = tang - = 7 = •
I — COSar^/Wj . 0,03891
sina 0,2762
X == Q cosa — Z"sina,
iv = — — 0,141
Pi o , 65o
Rï — 7387000^
R* — 3 5g3 ooo k *
En prenant pour unité de surface le millimètre carré, les efforts normaux qui précèdent sont :
R« = -8 k «,7 7 6; Ri = 7 K,38 7 , R,< = -.3 k «,5 9 3.
La valeur de la flèche Sf s'obtient à l'aide des colonnes 17, 18, 19, 20 et 21. On trouve ainsi :
=- dz — o , 00098
Y[ ds o>o9 31
La flèche produite par la charge d'épreuve, égale au tiers
de ce chiffre, est
Il paraît surprenant, ainsi que l'a fait observer M. Darcel dans un Mémoire publié en 1862 dans les annales des Ponts et Chaussées, que la ferme à longeron solidaire, qui constitue une pièce d'une grande raideur, éprouve une flèche plus grande que l'arc. La raison en est dans la valeur plus grande du moment M, qui entre au numérateur de l'expression de $f. Dans la ferme, la quantité I qui entre au dénominateur est plus grande que dans l'arc ; mais le moment M est plus grand d'une quantité suffisante pour compenser et au delà la raideur de la pièce mesurée par la grandeur du moment d'inertie I.
DE SECTION VARIABLE
Il o
*n in m in m in m
Cl Cl Cl Cl Cl Cl Cl
O m o m o io o c ci m r» o « m
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