CHAPITRE V

APPLICATION DU CALCUt INFINITÉSIMAL A LA DÉTERMINATION DES CENTRES DE GRAVITÉ ET DES MOMENTS DINERTIE.

§ I. DÊFINITIOn PU GXNTRS DE fiRAYITÉ d'uNE LIGNE, d'uNE SURFACE OU b'uN CORPS GÉOMÉTRIQUE.

327. Si Ton partage une ligne, une surface ou un corps géométrique, en éléments infiniment petits, éga^ux ou inégaux, la somme des produits de ces éléments par leurs distances respectives à un plan (c'est-à-dire la limite des valeurs que prend cette somme à mesure que les éléments sont de plus en plus petits) s* appelle le moment de la Ugne, de la surface ou du corps par rapport à ce plan. Celle dénomination dérive de considérations mécaniques dont on ne doit pas s'occuper ici.

Les produits relatifs aux éléments sont, les moments de ces éléments. Les moments de deux éléments par rapport à un plan qui passe entre eux sont de signes contraires. La somme qui forme le moment total est une somme algébrique.

328. Théorème. Quel que soit un système d'éléments (ligne, surface, ou corps), il existe un point géométrique tellement situé, que le produit de la somme totale de ces éléments multipliée par la distance de ce point à un plan quelconque est égal au moment du système, cest^à-direà la sommé des moments élémentaires par rapport au même plan.

Ce point s'appelle le cetïtre de gras^ité du système.

Dêmonsthatiou. Soient deax âéments dont les grau-* deurs sont m\ in^, occupant les positions M\ M^ (fig, y6),

]t ^« Leur centre de gravité ne ,peat être que sur la droite M'M^, car autrement le moment du système de ces deux élânepts pourrait être nul sans cplela somme des momoits élémentaires le fût.

Q^^r Soit G^ le centré de gravité encore iDCOiina«r Si on abaisse sur un plan quelconque les perpendiculaires M ^6', a^FB", G^C, désignées para/, jC', X^ il faut démontrer que le poi^t G^ peut être choisi de manière que l'on ait '

(ffi'-h m*) JX'*= m'x'-j- m'a:*,

Si l'on toèie N'IN'" parallèle à B'B*, on a

A"'— x'=M'N', X*— JT" = M'N». .

Ainsi, pour que le point G"' jouisse de la propriété énoncée, il faut et il suffit- que l'on ait

TO':m«::M*N'';M'JN',

ce qui revient à

c'est-à-dîre que le centre de gna^ité de deux éléments est mr la droite qui joint ces deux étémenïs, et la partage en deux parties réciproquement proportionnelles aux grandeurs dès deux éléments^

Le point G^' étant ainsi déterminé, l'équation

a lieu, quelle que soit la situation du plan de comparaison,

pourvu qu'on ait égard aux signes des ordonnées x\ x"^ X^.

Cette première partie' de la démonstration s'applique

U64 ■ CBUTRES

exactement à deux systèmes dont les grandeurs seraient m'j m^\ et dont les centres de gravité seraient en A1^•M^^ Le point G'^ déterminé comme on vient de le dire, c'està^-dire situé sur la droite qui joint le& deux centres de gravité M') M.'\ et la partageant en deux parties réciproque* ment proportionnelles aux grandeurs des deux systèmes, serait le centre de gravité de Fensemble de ces deux systèmes.

Soient trois éléments m', m^\ m'^, occupant les positions M') M^^y Mf . On peut parl;ager Tensanble dé ces trois éléments en deux parties, dont Pune soit formée du système des deux éléments m\ m", l'autre sera Félément m^". Donc, ' d'après la remarque qui précède, le centre de gravité du système total est sur la droite qpi joint le centre de gravité G^Me Fensenible des deux premiers éléments à la position M ''"^ du troisième, et il partage cette droite en deux parties réciproquement proportionnelles aux grandeurs m' 4- m" et w"^

Cette démonstration, qui s'étend facilement à un nombre quelconque de points, prouve l'existence du centre de gravité tel qu*il a été défini, et indique le procédé graphique

pour le trouver.

329. Si x%y^ z\ x"^y"^ z", . . .^ sont les coordonnées rectangulaires des éléments dun système dont les grandeurs sont m', m"^ . . • , et si X, Y^ Z, sont, les coordonnées du centre de gravité, en désignant par Z tnx la somme des moments m'x*-{-m"x"-{- . . . , par ^mj et Dmz les sommes analogues, enfin par Dm, la somme des éléments, on a, en yertu du théorème précédent,

2m Im im ^ '

(^) Si tous les éléracnls hi\ m",. . ., du âyslènic étaient supposits égaux et que leur nombre fût'n/lcB équations deviendraient, par la suppression d'un

330. Les dernières équa lions sobsislerâient égaleuieni pour des coordonnées obliques : car dans ce cas les coordonnées x' ^ x', ... 7 X, par exemple, sont proportionnelles aux distances des points du système et du centre de gravité au plan des zy.

331. Ces mêmes équations s'appliquent au centi^ de gravité d'un système total composé de systèmes partiels dont les «;randeurs seraient tn' ^ m'^, . . . , et dont les centres de gravité auraieint les coordonnées x\ y\ z!^ x", y"^ z!\ ... ; c'est une, conséquence facile à déduire du théorème du JiP 328. En général, la position du centre de gravité du sysiit^me total ne dépend que de celles des centres de gravité des systèmes partiels et des rapports de leurs grandeiirs. Elle peut se conclure de ces données par le même procédé graphique indiqué au n^ 328.

'§ II. nfiTERMlNATlON DES CENTRES DE GRAVITÉ CBS LlGNEt^.

332. On voit aisément que toute ligue courbe ou brisée ayant un centre de figure (c'est-à-dire un point qui se trouve le milieu de toute, coi*de ou diagonale passant par ce point) a. son centre de gravité en ce même point. Le centre de gravité d'une ligne droite est évidemment son milieu.

333. Lq centre de gravité d'un système quelconque de lignes droites se trouve par la propriété indiquée au n" 331 .

334. Le centre de gravité G dû contour d*un triangle ABC {Jig> 77) est le centre du cercle inscrit au triangle foEF

facteur commun,

V Sx

Ain: ,

C'est pourquoi le rentre de {jr^vile s'appelle aussi centre des distance^ fnoxcnnes. ,

^66 GEHT&BS

formé par les droites qai joignent les milieux des trois côtés. Car le centre de gravité des disux côtés AB, AC, est sur la droite EF au point H qui divise cette droite en parties. EH, H F, proportionnelles aux côtés AG, AB^ ou àr leurs .moitiés ED, FO ; donc la droite DH qui contient G est bissectrice de l'angle EDF. De même G est sut la bissectrice FI de l'angle DJFE. Donc