CO». X
Soit » la valeur de l’arc dont le cosinus est exprimé par cette formule : on aura respectivement aux points où la vitesse est la plus petite et la plus grande qu’il soit possible r 0 ii'i
j^S r2 Dm H (A’-f- fb o)J = eonsl. — P a sin. l + Wt + fpIP + fl + MUB,
r 0 -ir">
I S r1 D m -t (A1 fb t) I = cnnst. + Po sin. 0 — [0 A + f o (P + C + M)]8,
et par conséquent r O a r”1 - r'1
j^S r1 D m -I — (A1 -f- / A p)J = 1 P a sin. 8 - [<J A •+■ Tp (P 0 -4- SI )128,
équation au moyen de laquelle on résoudra la question proposée en opérant comme on l’a fait n° 96.
101. L’emploi des volants n’est pas le seul moyen de maintenir la vitesse d’une machine entre des limites données. Toute disposition dont l’effet sera de s’opposer à l’accroissement de la vitesse pourra produire le même résultat. On emploie à cet effet des ailes adaptées à un axe vertical que la machine fait mouvoir dans l’air, ce qui donne lieu à une résistance croissant rapidement avec la vitesse; un frein qu’on fait presser contre une roue, pour en modérer le mouvement, etc. L’emploi de ces derniers moyens devient indispensable quand il s’agit, non seulement de prévenir de trop grandes variations périodiques dans la vitesse , mais encore d’cmpêcher que la vitesse ne s’accroisse indéfiniment. Parmi les dispositions de ce genre, celles qui tendent à faire consommer inutilement une partie de la quantité d’action fournie par le moteur doivent en général être rejetées; et on doit employer de préférence celles qui modèrent la vitesse de la machine en économisant l’action du moteur. C’est ainsi qu’on prévient l’accroissement de la vitesse dans un moulin à eau, en diminuant l’orifice qui donne l’eau à la roue, dans un moulin à vent en pliant la toile qui couvre les ailes ; dans une machine à vapeur, en ouvrant moins les soupapes qui donnent passage à la vapeur, etc. Les régulateurs de ce genre emploient divers mécanismes , dont le plus remarquable est connu sous le nom de pendule conique.
Un axe vertical AB, fig. AO, que le mouvement d’une machine fait tourner, supporte les verges AD, chargées à leurs extrémités inférieures des poids C. D’autres verges DB sont articulées avec les premières, et supportent une boite B, au travers de laquelle passe AB. Les verges peuvent tourner librement on AD B, dans le plan vertical où elles sont placées, mais sont entraînées par le mouvement de rotation communiqué à l’axe. Par l’effet de la force centrifuge, ce mouvement élève le point C, et par suite la bolle B, à une hauteur d’autant plus grande que le mouvement est plus rapide. Le mouve-
SIO
meut de celle boite esl ensuitccommuniquéaux pièces par le moyen desquelles l'action du moteur est réglée. Nommant b la distance verticale AE des poids C au point de suspension A; u l’angle E AC: ‘ m la masse des corps C :
l le temps employé par l’axe A B à faire une révolution:
Sr = 0»8«8*,ic = 3. 1410.
2 tr /> lang. u
On aura C E = b tang. « : vitesse des corps C = — ; force centrifuge
b tang. w
de ees corps = . Le poids des corps C est m. a. En négligeant
la considération du poids des verges, observant que la résultante du poids des corps C et de leur force centrifuge, doit être dirigée suivant AC, et que ees forces doivent conséquemment être entre elles comme les lignes AE, EC, on aura
, d’où l = St\ / — .
m . tir’i lang. a b tang. u V <7
Celte relation entre la hauteur à laquelle se tiennent les poids C et Iq durée d’une révolution de l’axe, donne le moyen de régler le mécanisme auquel la botte B doit transmettre le mouvement. La distance b , est la longueur du pendule simple qui ferait deux oscillations pendant que l’axe fait un tour. Ce qui précède suppose d’ailleurs que l’efl'ort qui doit être exercé en B est trèspetit par rapport aux poids C, et peut être négligé.
TITRE XI
MKSCnE UE LA QUANTITÉ DICTION EXEHCÉE DANS UNE MACHINE.
102. L’action du moteur est ordinairement transmise à la résistance, dans les grandes machines, par des axes de rotation. On a employé pour la mesure de cette action, divers procédés dont le plus simple est le frein dont s’est servi M. de Prony dans ses expériences sur la machine à vapeur du Gros- Caillou. A (Fig. 41 ) est l’axe qui transmet l’action qu’il s’agit de mesurer, et sur lequel on place un frein formé de deux parties en équilibre autourde cet axe, et serré par des boulons. La communication de l’axe A avec les parties de la machine comprises entre cet axe et la résistance est interrompue. Un poids additionnel Q est placé sur le frein, et on règle ce poids et la pression du frein sur l’arbre, de manière que le poids Q demeurant immobile, l’action
DE LA MÉCANIQUE, 3"' PARTIE. lil 1
du moteur imprime à l'axe A la mime vitesse qui a lieu dans le travail habituel de la machine. Nommant
n le nombre de tours faits par l’axe dans l'unité de temps; a le rayon de l'axe A ;
b la distance horizontale de l’axe A au centre de gravité du poids Q;
F la résistance provenant du frottement quia lieu entre le frein et l’axe: on a pour la condition de l’équilibre entre le poids et la résistance F,
et pour l’expression de la quantité d'action dépensée dans l'unité de temps.
« . 2 1 a F , ou bien n . 2 * b . Q.
10.". L'usage de cet appareil présente quelques difficultés auxquelles on remédie en partie en substituant au poids Q un dynamomètre attaché à un point fixe (Fig. 42). Peut-on pourrait-on aussi employer une bande de télé passant sur la circonférence d’une roue montée sur l’axe, dont une extrémité serait attachée à un dynamomètre fixe, et l’autre porterait un poids q. Ce dernier poids serait réglé de manière à obtenir la vitesse de rotation qui a lieu quand la machine travaille. Nommant Q la tension marquée par le dynamomètre, b le rayon de la roue, n le nombre de tours faits dans l'unité de temps, la quantité d'action dépensce dans l’unité de temps est ici n. 2 * b (Q- q).
TITRE XII
CONSIDER AI IOXS GENERALES 81ÎR 1/ ACTION DES NI OTEURS.
104. Le travail effectué par une machine est toujours relatif à la quantité d’action exercée par le moteur, et augmente avec cette quantité. lTn moteur étant donné, on doit tâcher d’en obtenir la plus grande quantité d’action qu’il est possible. Nommons généralement
P l’effort exercé par le moteur à son point d'application;
V l’espace que ce point parcourt dans l'unité de temps, dans le sens de l’effort P;
t la durée du travail journalier, quand le moteur est un animal qui ne peut travailler continuellement.
Considérons en premier lieu un moteur dont l'action peut être continue, tel qu’un courant d’eau : la quantité d’action qu'il fournira dans l'unité de temps sera exprimée par PV.II s’agit de rendre cette quantité la plus grande possible. L’examen de la nature des moteurs apprend qu’on ne peut jamais
augmenter un des fadeurs sans diminuer l’autre. Les lois connues de la mécanique, ou des observations immédiates, établissent entre ces facteurs une relation au moyen de laquelle on peut déterminer les valeurs respectives de P et de V de manière à rendre le produit P V un maximum. C’est dans la recherche de ces valeurs que consiste la question du meilleur emploi d’un moteur.
105. Considérons ensuite un moteur, tel qu’un animal, dont l’action ne peut durer qu’une portion de la journée. On aura PVf pour l’expression de sa quantité d’action journalière. L’observation apprend encore ici qu’on ne peut augmenter un des fadeurs de ce produit sans faire diminuer les autres. Ces facteurs ont entre eux des relations qu’on peut découvrir par l’expérience. On doit chercher à régler l’action de l’animal de manière que les valeurs respectives P, V, t, donnent à leur produit la plus grande valeur.
TITRE XIII
de i/action de l’iiomme et du cheval.
106. Les lois auxquelles est soumise l'action des animaux ne peuvent être connues que par l’observation. Cette action est sujette à varier d’après beaucoup de circonstances. Les observations connues ne sont ni assez suivies, ni assez multipliées, pour établir exactement les relations des fadeurs du produit qui en donne l'expression [voyez le n° précédent).
Ces observations établissent toutefois un fait général, qui consiste en ce que la quantité d’action journalière que peut fournir un animal, varie avec la nature du travail. Des travaux différents peuvent, la quantité d’action journalière demeurant la même, ne pas causer le même degré de fatigue.
Le rapprochement des faits observés dans l’exécution des grands ouvrages ou obtenus par des expériences spéciales, a permis d’établir l’expression numérique des quantités d’actions journalières produites par l’homme et par le cheval, dans divers travaux. Ces résultats sont contenus dans le tableau suivant. Ils ne doivent être considérés que comme offrant des termes moyens, à partir desquelsdiverses circonstances, et surtout les inégalités que l'on observe dans les forces de divers hommes ou de divers animaux, peuvent causer d’assez grands écarts. Les éléments de la quantité .d’action journalière, tels que ce tableau les offre, paraissent être d'ailleurs ceux qu'il convient d’adopter pour obtenir la valeur maximum de cette action.
107. On a cherché, par des considérations hypothétiques, à déduire les valeurs des éléments qui sont propres à remplir cette condition de l’obser-
vation des efforts et des vitesses extrêmes que pouvaient prendre les animaux. Nommant
v la vitesse que l’homme peut prendre quand il n’exerce aucun effort ;
V la vitesse avec laquelle il travaille ;
p l’effort qu'il peut exercer quand il ne prend aucune vitesse ;
P l’effort qu’il exerce en travaillant; on suppose qu’on a toujours la relation
. - iy, d’on pv=„(,-:Yv.
La valeur maximum de P V répondrait alors aux valeurs
v=i p, p=Vp>
et serait
Coulomb a aussi supposé que, pour l’homme marchant horizontalement, ou montant chargé d’un fardeau, la quantité d’action journalière subissait une diminution proportionnelle au fardeau dont il était chargé. La relation entre P et V à laquelle conduit cette hypothèse donne des résultats qui diffèrent peu de ceux de la formule précédente. On peut voir sur ce sujet le Mémoire de Coulomb inséré dans le tome IIe des Mémoires de la première classe de l’Institut; et le Plan raisonné de l’enseignement de l’école Polytechnique qui a pour objet l’équilibre et le mouvement des corps, par M. de Prony. pages 188 et suivantes.
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108. Tableau des quantités d'action que peuvent fournir moyennement T homme et le cheval, dam divers genres de travaux.
POIDS
