FROTTUUNT D'UNE CORDE QUI 8* ENROULE SUR UN CYLINDRE IMMOBILE

56. Considérant la puissance P ( Fig. 29), qui doit soutenir ou soulever le poids Q, au moyen d'une corde qui s'enroule sur un cylindre immobile, et nommant:

s l'arc embrassé par la corde , compté depuis B jusqu'en un point quelconque m;

S l'arc total B A ;

p la tension de la corde en m ;

r le rayon du cylindre immobile :

f le rapport du frottement à la pression :

e la base des logarithmes népériens = 2, 718282.

La pression normale exercée en m, rapportée à l'unité de longueur de

p est — , et par conséquent la résistance provenant du frottement sur Téiét

p de l'are en ce point sera f— ds, quantité qui est égale à dp. Donc :

p d'où

±1ob.P = /" — hcowt.

On a en B p=Q. 1=0; et en" A p— P, «=S : donc

±iob. — = r—, d'OÛ P=0«

La force P augmente ou diminue très-rapidement avec S, suivar cette force doit élever le poids Q ou l'empêcher de descendre.

tQOIUmB M LA vn.

57. Considérons une vis verticale, tournant dans un écrou fixe, au i de laquelle le poids Q est élevé par la puissance horizontale P ( Fig. 30 mettons d'abord que le filet de la vis soit qnarré, et nommons

a l'angle que l'hélice moyenne du filet forme avec un plan horizontal

r le rayon de la surface cylindrique sur laquelle est tracée cette moyenne ;

r' le rayon de la circonférence décrite par la puissance P ;

f le rapport du frottement à la pression.

r tang. a •+• /

r' 1— /* tang. a

4fe équation suppose la puissance P distribuée symétriquement autour de Se de la vis. S'il en était autrement, cet axe tendrait à être déplacé par ■te puissance, et il en résulterait contre la surface cylindrique de l'écrou fc frottement dont on tiendrait compte d'après les règles établies n° 33. 4S8. Admettons maintenant que le filet de la vis soit triangulaire, et nompins 5 l'angle formé avec l'horizon par la génératrice de la surface hélicofde lr laquelle porte le poids Q (Fig. 31). En conservant les dénominations pré-

Mentes, on aura également P — cos. a et Q sin. a pour les composantes des

irœs P — et Q dans le sens de la tangente à l'hélice décrite par ce poids. 11

Kte à trouver les pressions que ces forces exercent perpendiculairement à f surface hélicolde. Pour cela, considérons le point M de cette surface, au- Ml on suppose appliquées les forces dont il s'agit, et faisons passer par ce tint trois axes rectangulaires, savoir : l'axe vertical M z, suivant lequel est Irigée la force Q; l'axe horizontal M y, tangent à la surface cylindrique sur

Agnelle est tracée l'hélice moyenne, et suivant lequel est dirigée la force

— ; et l'axe également horizontal M#, perpendiculaire à la même surface,

t qui coupera l'axe de la vis au point À. La tangente à l'hélice MT sera comrtee dans le plan des y z, et la génératrice H R de la surface hélicolde sera Hnprise dans le plan des xz. Or la normale menée à la surface hélicolde n point M, devra être perpendiculaire aux deux lignes MTet MR: d'où conclut qu'en désignant par a, b, c les angles de cette normale avec les des xy y, z, on aura pour déterminer ces angles les trois équations

lang. 6 O = cos. a . cos. 6 -4- cos. c . sin. 6 , d OÙ cos. a =

0 = cos. b . cos. a -+- cos. c . sin. a cos. b =

1 = cos.3 a + cos. 26-*- cos. 7c cos. c =

|/1 -+-tang. *a -4- tang.3 6

tang. a {/\ -4- tang. 3a -h tang. 36'

|/l -+• tang. 3 a -+- tang. 3€

Les pressions normales dues aux forces P — et Q étant respectivement

476 LEÇONS SDR L' APPLICATION

P — cos. b et Q cos. e, l'équation de l'équilibre est donc

r" P — lang. a + 0.

d'où

|/l -t- lang. '« + taoB.* S

r tos. a l/l-+-tang ' a + lang. 'S — /'lang. a On doit appliquer ici la remarque qui a été faite à la fin du n* préo-ilent \t\. I

li] En décomposant le* Force* et 0 suivant la tangente a Mb etlaperptmlioilirt

i celle langente, la somme Je* premières composantes est

cl la tomme de* secondes eil

f P — lin. a -4- Q «m. *.= f.

Celle force F est dan* le même plan que le rayon r et la normale à la Mirhce licllwi*. I parce <( lie ces trois lignes sont perpendiculaires à l'Iielice au point M. De plus, P' cil lit dans le plan tangent ou cylindre du rayon r, et par conséquent perpendiculaire à ce mi* I

, Si l'on opérait l'ascension du poids Q en faisant tourner l'écrou (Fig.32), te P , outre le frottement évalué ci-dessus , devrait surmonter encore

tuant les valeurs de N et 4e «in. a, on trouve :

f* I tang. a -H /*cos. a J/l -t- tang. 'a-t- tang. 26 |

r L 1 — ^sin.al/l-4-tang.'a-t-tang.*6J

Formule est la même que celle donnée par M. Poncelet dans son Cours de Mécanique. Y parvient encore assez simplement de la manière suivante : sque la force P fait tourner la vis d'un angle infiniment petit d<p, le poids Q monte de t le filet hélicoïde, le long duquel s'exerce le frottement F, glisse de ds. Ainsi l'équa- 'équilibre est

P r* dy — Q d s — F ds = o.

r' i conçoit un point sollicité par les forces P —, 0 et F , et assujetti à demeurer sur le

élicorde, Téquation de l'équilibre entre ces forces sera la même que celle ci-dessus, le problème se réduit à l'équilibre d'un point situé sur une surface, piation de la surface hélicoïde entre les variables s , r et <p est

« = r tang. 6 -*- r 9 tang. a -*- 7,

et, l'ordonnée d'un point quelconque delà génératrice, dans sa position initiale, est r G -+-f ; et lorsque le plan de cette génératrice a tourné d'un angle 9, ce point s'est de rç tang. a. D faut observer que, bien que r et a soient variables d'une hélice à e sur la surface, cependant r tang. a est constant , parce que 3* r tang. a représente le ; la vis, qui est commun à toutes les hélices, si, les conditions du système seront exprimées par les équations

dz — tang. 6. dr — r tang. a. d ? = o dr=o,

faudra multiplier chacune par un coefficient , savoir la première par X et la seconde ; pour ensuite les ajouter à l'équation d'équilibre, et égaler séparément à zéro les focde d*> dr et d<p. En remarquant que l'on a

ds = r dy. cos. a -+- dz. sin a,

ition d'équilibre se partage dans ces trois autres :

P F cos. a — X tang. a = 0.

Q-*-Fsin. a — X=o.

(i — X tang. 6 = 0.

rois éléments différentiels d*,dr, rdy étant rectangulaires entre eux , on sait que, si > représente l'équation de la surface hélicoïde, la pression normale à cette surface sera née par

OU par X }/l •+• tang. 2 a -♦- tang. 2 6 ,

riW> —

le frottement résultant du glissement de l'écrou sur le plan horizonttl c lequel il exerce une pression égale à Q. Ce dernier frottement s'en! conformément au n" 55.

FtOTTOIST DE l'kSBMSAGI DI Li VIS SAM FIH ( FIB.Sl).

f>0. Considérons une vis à filet rectangulaire conduisant une roue i Soit ce l'axe de la vis supposé vertical , c' le centre de la roue , dont I contient l'axe de la vis. On peut faire abstraction de l'épaisseur de la n ne considérer qu'une section transversale faite au milieu de cette épi La section m »' de la courbe des dents, conformément au n" 15. se portion de la développante du cercle primitif de la roue dont le rayon e et cette courbe sera conduite par les éléments mn du filet de la v sont des droites horizontales. AC est le rayon primitif de la vis et t de contact m, par lequel le mouvement se transmet, demeure touj nue distance de l'axe de la vis égale à ce rayon. Nons désignerons par S rayons primitifs ACet AC, para l'angle que forme l'hélice décrite point m avec un plan horizontal , et par n la distance variable Am.

La force horizontale P agissant de manière à faire tourner la vis à slanccR de l'axe de celte vis.il s'agit de trouver de combien il faut au ter cette force pour tenir compte de la résistance provenant du frotl de l'engrenage. Pour cela, on remarquera que la pression qui s'étal point de contact m entre le filet de la vis et la dent de la roue est un normale à la surface du filet, dont la composante horizontale doit étw

p h P : la valeur de cette pression est donc . La composante vert le

et cette dernière force i

fP

an ce provenant du frottement est donc ici : cette résistance est

sin.a

ie dans le plan tangent à la surface hélicoide mené par le point de conm. Considérons d'abord le point m comme appartenant à la vis , et vant l'hélice du filet, le frottement opposera au mouvement de ce point,

istance , dirigée suivant la tangente à cette hélice, et dont la cornun. a

ite horizontale . cos. a, ou , tend à faire tourner la vis en

sin. a tang. a

contraire de l'action de la force P. Donc il faut en premier lieu , pour

fP lire cet effet, ajouter à P la quantité . Considérons ensuite le

tang. a

. m comme appartenant à la roue : le frottement opposera au mouvede ce point la résistance , dirigée suivant la tangente horizon-

sin. a

m n à la courbe de la dent , et qui tend à faire tourner la roue en sens *aire de son mouvement, en agissant à la distance À m, ou n, du centre

f? n ftte roue, en sorte que cette résistance équivaut à une force qui

sin.a R'

it à la distance AC, ou R', de ce même centre. Mais pour faire équili-

f? n i une force qui agirait à la circonférence du cercle primitif de

sin.a R'

ae, il faudrait appliquer à l'extrémité du rayon primitif de la vis une

fv n f? n f égale à . tang. a, ou . Donc it faut eu second lieu ajou-

sin.a R' cos. a R'

P cette dernière quantité pour tenir compte de l'obstacle que le frotte- ; oppose au mouvement de la roue. On a donc

fV[ -f- ),

V tang. a cos. a R' /

l'expression de la résistance due au frottement de l'engrenage , cette tance étant considérée comme une force agissant, aussi bien que la ; P, à l'extrémité du rayon primitif de la vis.

. On peut encore, d'après la considération employée n° 45, parvenir au \e résultat de la manière suivante. Soit n la force appliquée à la dise R de l'axe de la vis, qui détruit la résistance due au frottement de renage , et supposons que la vis tourne d'un angle infiniment petit «• : le lent virtuel de la force n sera n. R». II est visible d'ailleurs qu'en même

R*. tang. a

>s que la vis décrit l'angle «», la roue décrit sur son axe l'angle — .

Le moment virtuel de la résistance due an frottement se prendra ici en nui-

tipliant cette résistance, qui est ,

î°Par l'espace parcouru par le point m dans le sens de l'hélice lorsque»

point se déplace horizontalement de la quantité R», espace qui est IU eût.

2° Par l'espace parcouru par le même point dans le sens de la courbem*

Rulanfj. a.

lorsque la roue tourne de l'angle espace qui est n -

R' aura donc pour l'équation qui doit donner n ,

/"P ! R-tang.a^ !I.Ro= Id.cm.s-hi ,

qui s'accorde avec le résultat précédent.

62. L'expression de la résislance due au frottement qui tient d'être trouTrï, varie avec la quantité n. Ou doit employer dans les applications la valeur moyenne de cette résistance , qui sera évidemment

Vtang. b c«.aJR'y

a désignant l'espace occupé par une dent sur le cercle primitif de la roue iu

[i] La vis sans fin s'emploie d'ordinaire lorsqu'on veut transmettre un BMBWBi M lenl el vaincre une résislance considérable. Celle résistance, en agissant par l'inii-rwèfain dos origines de la machine, produit à la circonférence de la roue C une pression P «uivant A ni. parallèlement a l'axe de la vis, et i|uc nous supposerons

' 63. Quand on voudra établir les conditions de l'équilibre de cet appareil , H connaître les frottements qui auront lieu sur les tourillons des axes de la

Vis et de la roue , il faudra remarquer que, par l'effet de la pression normale

■■ Soient m le nombre des dents de la roue, et <p' l'angle A C n', on aura d'abord n = R' ?', puisque la courbe de la dent est la développante du cercle dont R' est le rayon ; ensuite, les

rHettes angulaires de la vis et de la roue étant entre eUes dans le rapport de 2* à —, on

■Ion *f f = — m rf V et par conséquent

Rrfç / R'*cos.*a

cos. a V *»* R2

H, en observant que = 51 « R tang. a

rf«= |/H-?'*.sin.*a,

cos. a

ibaUtuant la valeur de Tds dans l'équation d'équilibre, on trouve

[tang. a + f\/ 1 -*-?'* sin.2 a n • 1 —/"tang. a|/ 1+fJ sin.2 a J

voit que P varie avec l'angle ?', qui varie lui-même , dans chaque tour de la vis , depuis

- Jusqu'à zéro. La plus grande valeur de P répond à <p' = — , et la plus peUte à 9' = 0. *» m

Dans les cas ordinaires des applications, le terme y'2 sin2 a sera une très-petite quantité,

alfale à peine à un ou deux millièmes , et la différence entre les valeurs extrêmes de P sera

fout à fait négligeable, en sorte qu'on pourra poser

r tang. a -*- / t

L 1 — /"tang. aj

En général, la valeur moyenne de la force P s'obtiendra en divisant le travail de cette force /P Rtf<p, par le chemin parcouru 2*R, ce qui donne :

— / Pd9.

Or, on a , en se rappelant que dy = — mdy'

[f\S\ -*-çi sin.2a .+. tang. a -1 /,teng.al/H-9'asin.»a-l J 40I se transforme, en opérant la division, en

Pd<P = delcos, a h — I.

sin. a L /"sin. a J/ 1-4- 9' * sin.2 a— cos. aj

« fi

ÎWt LEÇONS SUR L'APPLICA'P

Le moment virtuel de In résistance duc au Cntlf-

fV tiplinnt cette résistance, qui est — — . •in. a 1" Par l'espace parcouru par le point in point se déplace horizontalement de la i|i> 2" Par l'espace parcouru par le im'-i

lorsque la roue tourne de l'anclc ■

aura donc pour l'équation qui dm1

fV

qui s'accorde avec le résultai

62. L'expression de la t ■ varie avec la quantité ». "■'■ moyenne de celle n'sM i

•nntre le filet i

rit parla force t

Horizontale P+ -

zt variable x, en posnni

.- i longueur des calculs, il e

•iur transformer en fonction r

-..'twedeç'tin. a, on peut |>o«

, naanl q = -t-. On aura ainsi :

— lOg.t/lin.ad-l-ïv'iilt. a;— t

a désignant l'opai'-'

[i] La vis mhi lent et vaincre i::> dei organe* il»- :

-, i i y' --0 , ce qui donne '«D. o| l+q —Un. a I

t— PARTIE. 483

"»r une autre force paiement que

+/P agissant de

crpendiculairement

nfin par la force hori-

iit dans le sens mn. Ces

Piquées à la circonférence

ttTcés sur les tourillons : les

ni la position des forces dont

: vis et de la roue supportent

' aient à ces axes.

: vi.

i IOX DES MOTEURS, ET DU TRAVAIL \ Il LES MACHIKE8.

• ions que l'on exécute au moyen des machines

*>airc qu'on puisse avoir une idée exacte du

i qu'on soit à même de rapporter à une unité

.Mil effectuée par diverses machines employées à

vamen attentif de cette matière a appris que le

: le plus convenable d'adopter pour terme de com-

< verticale des corps pesants.

•ire d'une machine, le travail qu'elle exécute pourrait

ut transformé en l'élévation d'un poids. On y parvien-

< lïort de la résistance, et attachant au point d'applica-

• clion de cet effort une corde passant sur une poulie de

il<* laquelle on suspendrait un poids égal à l'effort que la

. L'élévation de ce poids remplacerait le travail de la ma-

■■ W moteur exerce est de la même nature que celle de la

.iclion consiste également dans une pression exercée contre

meut. Elle peut être remplacée par la descente d'un poids

: tWWUTIOH

• «me le moteur produisit, agissant suivis ut une ci.nle tout*

r pottrHcwr rertiealeiiient un corps puant

ça* le poids du coq» el la hauteur ù laquelle on l'éttw

feuuil *st proportionnel ati produit de ces déni

mi fr *} . et la hauteur par?, l'en pression numi

l ij./. il riiM-i-sonl* nu nombre d'Unités dont rhnMnc r«wtrvl«n'r l'uniu* de poids à l'unité de bailleur.

«■nsidrrant une machine en mi)Uiernenl,« .. supposés comlanU, cm'eé.s re>{ieclivemeolin pflki du mwtenr i*t de la résistance • m» pocouriifi rfiprrliu'iiHTil dans DD temps donne pu ii n laus le mui* des efforts PetQï les <) <

i :nla resUlanee dans le même temps dM g^aMMM par lt» produits

pp ft Qq.

ni om>Uuils. on les considérera commr

■•!> dans la dirccMim : ■

nprliice» par le moteur et In réslsteao ,i | -n-'-

1 /"<>«>, b du- hautes correspondant au* instant* mt e

'commence à se mouvoir en partant du repos , on remarque qu'il arrive toujours que l'effort du moteur est plus grand , et celui de la résistance plus î^plil qu'ils ne seront quand la machine travaillera. Le mouvement se produit, jgft la vitesse augmente progressivement, comme pour un corps soumis à Jfcetion de deux forces accélératrices agissant en sens contraire , dont Tune $facnporte sur l'autre. A mesure que la vitesse augmente , l'effort de la résistance croit, celui du moteur diminue ; et il arrive bientôt un terme où ces Jftflbrts ont respectivement les valeurs qu'il faudrait leur donner pour mettre Mi machine en équilibre. Désignons, comme dans l'article précédent, par P Pt.Q les efforts qui sont exercés respectivement aux points d'application du Moteur de la résistance ; par p et q les espaces parcourus par ces points à la £11 d'un temps donné, dans la direction de ces efforts. Considérons de plus les résistances au mouvement qui résultent de la constitution de la machine , Celles que les frottements , la roideur des cordes, la résistance des milieux, etc. ; ^èt nommons en général F l'effort qu'il faut surmonter pour vaincre une de tes résistances, et/* l'espace qui a été parcouru à la fin du même temps dans la direction de l'effort F par le point où cette résistance s'exerce. Les moments virtuels des actions du moteur et de la résistance seront respectivement P dp *t Q dq; et on pourra représenter par 2 F df la somme des moments virtuels 1 -dtus aux résistances résultant de la constitution de la machine. On exprimera donc, en vertu du principe des vitesses virtuelles, la condition de l'équilibre, le moteur étant regardé comme surmontant toutes les résistances, en posant l'équation

Vdp—ZYdf — Qdq=o, ou V dp = Z>Y d f+Q d y.

' Or , cette équation exprime que la quantité d'action imprimée au système est nulle : donc, conformément au principe de la conservation des forces vives, la force vive de ce système doit cesser d'augmenter; c'est-à-dire que la Vitesse de la machine cesse de croître , et qu'elle continue indéfiniment à se mouvoir avec une vitesse uniforme tant que les efforts P et Q conservent des valeurs telles que l'équation précédente soit satisfaite. On voit d'après cela que la nature du mouvement de la machine, dans le cas dont il s'agit,

consiste :

1° En ce que, après un certain temps ( ordinairement très-court, et à peine appréciable) , ce mouvement devient uniforme;

2° En ce que le moteur et la résistance exercent à leurs points d'application respectifs des efforts dont les valeurs sont telles que ces efforts se feraient mutuellement équilibre au moyen de la machine, conformément aux lois de la statique ;

9 En ce que les quantités d'action exercées respectivement et en même temps par le moteur et la résistance à leurs points d'application seraient alors

ton- 1

égales entre elles, si (ce qui est impossible) les résistances inhérentes à la constitution de la machine étaient nulles.

67. Nous avons supposé que , quand le mouvement de la machi réglé, les efforts exercés aui points d'application du moteur et de la réitslance étaient constants. Si l'on supposait ces efforts arbitrairement variable*, la machine prendrait un mouvement irrégulier qui ne pourrait être soumis utilement au calcul. Lorsque dans les machines les efforts dont il s'agit n'ont point des valeurs constantes, les variations de ces valeurs, aussi bien que In variations correspondantes des vitesses de leurs points d'application , sott ordinairement périodiques , comprises entre des limites fixes , et les période* des variations se correspondent exactement pour le moteur et la résistants. Considérons une machine dans cet état, qui consiste essentiellement en ce que l'effort P du moteur est alternativement plus grand et plus petit qu'il devrait être, pour faire équilibre, conformément aux lois de la statique, i l'effort Q delà résistance ( en regardant toujours l'effort du moteur comme surmontant les obstacles inhérents à la machine). Nommons

Dm un élément de la masse de la machine ;

v la vitesse de cet élément au bout d'un temps donné ; (D et Sélant des lignes de différentiation et d'inlégration qui se rapportent aux éléments de la masse des parties mobiles de la machine; d le signe de différentiation qui se rapporte au temps.)

Supposons d'abord qu'on se trouve à l'instant où il y a équilibre entre T etO, et qu'a partir de cet instant, l'effort P devient plus grand, ou l'etfortQ plus petit qu'ils ne devraient être respectivement pour que cet équilibre conti-

partir de sa valeur moyenne, sont d'autant plus grands, que l'excès du Mment virtuel du moteur sur celui de la résistance est moins grand, que t masse et la vitesse des parties mobiles de la machine sont plus petites. En pgmentant la masse et la vitesse des parties de la machine, on diminue les ^nations que subit la vitesse par suite des variations dans les actions du IDtour ou de la résistance.

68. Quand la vitesse d'une machine augmente et diminue alternativement, M roues qui reçoivent l'action du moteur conduisent les autres et sont con- Ipites par elles alternativement, quoique le mouvement se fosse toujours dans p même sens.

. 69. Considérant un intervalle de temps entre deux nuixima, ou entre lenx minima quelconques de la vitesse, il arrive nécessairement, par jjUite du principe des forces vives, que la quantité d'action fournie par le poteur pendant ce temps est égale à la quantité d'action qui a été consommée ptr les résistances. Car si ces quantités d'action n'étaient pas égales, la machine aurait acquis ou perdu au bout de l'intervalle de temps une quantité le force vive égale au double de leur différence. La vitesse aurait donc augmenté ou diminué, ce qui est contre la supposition.

Il résulte de ce qui précède , qu'en n'ayant point égard à l'effet des résistances intérieures qui tiennent à la constitution de la machine, on peut dire que, dans une machine où le mouvement varie ainsi, il ne se perd point de quantité d'action par le seul effet de cette variation , puisque la quantité d'action fournie en excès par le moteur pendant l'accélération du mouvement, est fournie en moins pendant sa retardation. Mais si l'on a égard aux résistances intérieures telles que les frottements, cette proposition n'est plus exacte, parce que les pressions que les diverses parties de la machine exercent les unes contre les autres et contre les appuis fixes, pressions dont dépend principalement l'intensité des frottements, varient généralement par suite des accroissements et des décaissements alternatifs de la vitesse. Il peut arriver, d'après cela , que de trop grands écarts de la vitesse , au delà ou en deçà d'un terme moyen, produisent une consommation de quantité d'action qui serait épargnée si cette vitesse était constante ou à très-peu près constante.

TITRE VIII

DO MOUVEMENT DES MACHINES DANS LE CAS OU IL Y A DES CHOCS ET OU LES VITESSES VARIENT D'UNE QUANTITÉ FINIE DANS UN TEMPS TRÈS-COU HT.

70. Considérons en premier lieu le choc de deux corps solides. Supposons que ces corps se meuvent dans le même sens, suivant une ligne droite passant

488 LEÇONS SUR I/APPLICATIOS

par leurs centres de gravité, et perpendiculairement à leur surface an toi de contact. Nous admettrons que l'effet du choc est de déplacer les moUcé des deux corps au point de contact et dans le point voisin, en sorte qtfli formera à leur surface un enfoncement ou impretsion. Les molécules rà stant à ce déplacement, il s'établit entre les deux corps une force de répulâ qui tend à les écarter l'un de l'autre, et en altère les mouvements. Il s'agit rechercher les lois de ces effets. Nommons m, m' les masses des deux corps ;

V , V les vitesses des centres de gravité des deux corps à l'instant où

choc commence (ces vitesses sont supposées dirigées dans le mft

sens, T étant > que V. Si les vitesses étaient dirigées en sens contra

on donnerait à V le signe — dans les formules J ;

v, v" les vitesses des centres de gravité des deux corps au bout du temps

compté à partir du commencement du choc ; e, e' les espaces qui ont été parcourus par les centres de gravité des de

corps au bout du temps t; x, af les profondeurs des impressions faites dans les deux corps aube

du temps t; N la valeur de la force de la répulsion qui existe entre les deux corps i bout du temps t (celte force est variable et dépend principalement, si vant des lois inconnues, des quantités x et x'). Nous avons d'abord évidemment

e = e'-t-x-t-x' Le principe de la conservation du mouvement du centre de gravité donne

fpQflifoiLS augmentent, et les signes inférieurs pendant que les impressions luent. Ces formules feraient connaître les changements que subissent Teffet du choc les mouvements des deux corps, si la valeur de la force de ion N était donnée en fonction des profondeurs x,x' des impressions. 1. Quoique la valeur de la force de répulsion demeure inconnue, les finales des deux corps sont cependant déterminées dans les deux cas tafrants.

. 1° Si la nature des corps est telle que leurs parties, après avoir cédé à une •ression, ne tendent nullement à revenir à leurs positions primitives ( ce Ton exprime ordinairement en disant que les corps ne sont point étastii), à partir de l'instant où l'impression aura atteint son maximum, et où vitesses des deux corps seront devenues égales entre elles, on aura con- ■temment N = o ; on voit d'après cela que la limite de la valeur de l'intégrale fV (dx + dxt) est ici

X m m' îr, (V-V')a.

g£t que l'effet du choc est de donner aux deux corps une vitesse commune (exprimée par la formule

^*" wV + w'V

On peut remarquer que l'on parvient au même résultat en supposant que

le changement de vitesse des deux corps s'opère instantanément, et que,

-conformément au principe de d'Alembert, les quantités de mouvement per-

. dues par les deux corps à cet instant, sont telles, qu'elles pourraient se faire

réciproquement équilibre.

On remarquera de plus que la somme des forces vives des deux corps avant le choc, moins la somme des mêmes forces vives après le choc, est

(wV + m'V)2 m V2 -4- 1»' V'a — (m t?2-H m' tf2), OU m \* -t- m' V* :

or cette quantité est la même chose que

on

/ mV-f-m'V'V / mV + m'V'V [V ) -f-m'[ -V + ) ;

donc l'effet du choc est de foire perdre au système des deux corps la force vive qui serait due à la vitesse que l'un des corps a perdue et à la vitesse que foutre a acquise.

72. 2° Si la nature des corps est telle, que lorsqu'une impression a été formée elle tend à se détruire complètement, en sorte qu'à profondeur égale

de l'impression , la force de répulsion est II même , soit que Vm\ ■oit croissante ou décroissante (ce que l'on exprime ordinaireaienU que les corps sont parfaitement élastiques ) ; et si de pins il arrifl deux impressions soient totalement détruites à l'instant où les corpi d'être en contact, l'intégrale /"H [dx + dx) a pour cet instant an nulle , puisqu'elle se compose de deux parties égales, l'une positive i négative, qui se détruisent réciproquement. Les formules du n* 70 alors pour les vitesses des deux corps à la fin du choc, [m-m'IT+ImT

Si au moyen de ces valeurs on forme la somme des forces vives m du système des deux corps à la Fin du choc, on trouve mV'+m'V dire la valeur de cette somme qui avait lieu avant le choc. Ainsi, da des corps parfaitement élastiques, la somme des forces vives ne si changement, pourvu que les conditions énoncées ci-dessus soient Mais un examen spécial a appris qu'il n'arrivait pas, en général, q pressions fussent totalement détruites à l'instant où les deux corp d'être en contact. Il en résulte que les formules précédentes ne pe considérées comme donnant toujours les vitesses des corps à la fil et que l'on ne peut admettre que, lors du choc des corps parfaite tiques, il n'y ait jamais aucune perte de force vive.

73. Dans le cas où les corps sont imparfaitement élastiques, e* lorsque l'impression qui a été formée ne tend pas à se détruire eni ii bien lorsque, les c

tituent les machines, et admettons que, dans le mouvement de ce sysdeux ou plusieurs de ces corps Tiennent à se choquer. Nous supposes d'abord que les corps du système en mouvement ne sont soumis à Tacà d'aucune force. A l'instant où le choc commencera, il s'établira entre corps qui se sont choqués des forces de répulsion, dirigées suivant la nor- « commune aux surfaces de chaque corps menée au point de contact Ces ces agiront pendant toute la durée du choc, et le mouvement du système ** modifié en conséquence. En supposant, conformément à ce qui vient tre dit, qu'il s'agit de corps non élastiques, le choc est fini lorsque les im~ fissions étant parvenues à leur maximum, les points en contact des deux tys ont pris des vitesses égales, en sorte que ces points ont un mouvement Rnmun, sans exercer l'un contre l'autre aucun effort. Nous désignerons par

*>y> z> les coordonnées rectangulaires d'un point quelconque appartenant aux corps du système , au bout du temps t, compté à partir du commencement du choc ;

Dm l'élément de masse qui est placé dans ce point (S sera le signe d'intégration correspondant au signe de différentiation D) ;

D, Y, W les vitesses du point dont il s'agit, dans le sens des axes rectangulaires des x, des y et des z, à l'instant où le choc commence ;

UyVyW les vitesses du même point qui ont eu lieu au bout du temps t;

IV la force de répulsion qui existe au bout du temps t entre les deux points en contact des deux corps qui se choquent ;

ft la longueur de la normale commune menée en ce point aux surfaces des deux corps, suivant la direction de laquelle agit la force N.

D'après le principe général auquel est assujetti le mouvement d'un sysme quelconque de points matériels , on a l'équation

f du dv dw \

SDmf 3#H &rH ** =EN$».

V dt dt dt J

>> ty> *z représentent les espaces qui seraient décrits respectivement dans sens de chaque axe par un point quelconque du système, si, considérant ( système dans l'état où il se trouve au bout du temps t, on lui faisait prenne un mouvement quelconque infiniment petit, sans violer les conditions de liaison des éléments matériels; s n représente l'espace qui serait décrit en ême temps par le point de contact de deux corps qui se choquent, dans la reetion de la normale n. Le signe z indique que l'on a fait la somme des untités Nsn qui appartiennent aux points en contact des corps qui se choient; et il faut remarquer que le choc de deux corps introduit dans la aune £ deux quantités de cette espèce, l'une relative au point du premier irps, l'autre relative au point du second corps repoussé par le premier, dans quelles la quantité N a b même valeur, mais des signes contraires.

Vii LEÇONS SUR L'APPLICATION

On remarquera maintenant que, la durée d'un choc étant genénln très-courte, les positions et les conditions de la liaison des élément! d riels ne subissent pas, pendant cette durée, de changements semais. I aura donc Ires-peu d'erreur à considérer les variations tx, iy, ïz, m m des quantités constantes pendant l'intervalle de temps dont il s'agit. SI intègre alors par rapport au temps l'équation précédente, il viendra SD«i[(i-C)»i+(r- V)Sr-i-(» — W) Ss] = Zfffl.TtK. Or le dernier membre de cette équation peut toujours être supposé b zéro ; puisque, pourvu que le mouvement virtuel imprimé au svsttm tel que les surraces en contact des corps qui se choquent ne se sép point, les forces de répulsion donneront toujours des moments virtuels* deux à deux et de signes contraires. Nous avons donc ici

SDw[(w — V)tx + (v-V)*r+{w~ W)rfa] = 0.

75. Considérons maintenant le système à l'instant où le choc finit, d'après ce qui a été dit ci-dessus, les points en contact sont suppôt meurcr appliqués les uns contre les autres sans se repousser, et animi mouvement commun. A cet instant le mouvement effectif des points teme peut être pris pour un des mouvements virtuels : on peut doi poser $x =udl,$y = vdt,sz = irdt. Alors l'équation précédente!

S D jm [ »' + f>* + w» — («t'+cV-4-w W)] = o . dans laquelle «, v, tr. représentent les vitesses qui ont lieu à la fin di

70. Le résultat auquel on vient de parvenir conduit à une expressio simple du changement que subit la somme des forces vives d'un systê l'effet des chocs. La différence entre les sommes des forces vives qui c respectivement avant et après le choc est

7. Quant à l'application des résultats précédents au mouvement des mates, on doit foire les remarques suivantes :

• Les parties des machines sont toujours supportées par des appuis, et il fre en général, quand il survient un choc, que ces appuis supportent des «ions instantanées, soit qu'il y ait un choc direct contre l'appui, soit par ht d'un choc exercé contre une pièce qui porte sur cet appui. Si les appuis it regardés comme des corps fixes, dont les parties ne sont susceptibles prendre aucun mouvement, l'expression qui vient d'être trouvée de la rte de force vive résultant d'un choc demeure la même, soit que l'on conlère ou non ces corps comme faisant partie du système ; puisque avant et rès le choc, la force vive des parties de chaque appui est également nulle. lis, . dans la réalité, les corps servant d'appui ne sont jamais absolument es, et un choc imprime toujours à leurs parties un certain mouvement. La •ce vive que ces parties acquièrent ainsi doit être considérée comme augntant la perte de force vive que ce choc occasionne dans le système, et qui . exprimée par la formule précédente.

2° On a supposé n° 74 que les parties du système en mouvement n'étaient unifies à l'action d'aucune force, si ce n'est les forces intérieures dévelopes momentanément pendant la durée du choc, et cela a permis de regarder nme nul le second membre de l'équation intégrale obtenue dans ce nuto. Les parties des machines sont soumises à l'action de la gravité , aux ions du moteur, de la résistance provenant du travail effectué et des résinées intérieures, telles que les frottements. Il est permis cependant d'applier aux machines le résultat précédent, parce que la considération des forces rmanentes dont il s'agit n'introduirait dans le second membre de l'équation

n° 74 que des termes extrêmement petits par rapport aux termes dus aux rces développées pendant la durée très-courte des chocs, et qui seraient ut à fait à négliger à l'égard de ces derniers. Il faut remarquer seulement e, par l'effet des forces mêmes développées par les chocs, il peut s'établir

nouveaux frottements, soit entre les surfaces qui se choquent, si ces surces glissent l'une sur l'autre pendant la durée du choc, soit sur les points ippui des axes ou autres pièces, contre lesquels les corps peuvent réagir l'instant du choc. Les résistances dues à ces derniers frottements sont du Soie ordre que les forces développées par la percussion, et ne doivent pas, i général , être négligées : elles ne pourraient l'être qu'autant que les «esses virtuelles de leurs points d'application seraient très-petites par rapport x vitesses virtuelles des points d'application des forces qui ont été désiléei par N. L'évaluation de l'effet des résistances dont il s'agit présente d'ailirs, dans les applications, beaucoup d'incertitude, parce que l'on n'est point sure que les rapports du frottement à la pression qui ont été déterminés r des expériences faites sur des mouvements permanents, conviennent éga-

lement au eu d'une action instantanée. Si l'on veut néanmoins tenir m de ces résistances, on pourra le faire d'après les considérations «m 78. En conservant les dénominations du n° 74, et désignant toujoon le rapport du frottement a la pression, la résistance due au frotteront duit par la pression N, qui est exercée l'un contre l'autre par deux ton. se choquent, sera exprimée par fîi. Par conséquent, appelant générait s la longueur de la ligne décrite par chacun des points en contact, on en tenant compte de ces résistances, au lieu de l'équation posée dansi

méro.

/du dv dw \

SU ml — S-r-t- — Sr+ S *) = ZN *»-*-£/■!¥« t.

\dt dt dl J

t» indiquant l'espace parcouru par un point de contact des corps qui s quent sur la surface à laquelle appartient ce point, par l'effet d'un moiir virtuel quelconque infiniment petit du système.

Eu intégrant cette équation par rapport au temps, conformément à a été dit dans le numéro cité, il vient

SD«[(*-C)ï*-»-(t>— V)8/-»-(w — V)d*] — Zfdl.Stn-*-Zfdl.fn équation dans laquelle u, v, w représenteront les vitesses qui ont lieu î du choc, pourvu que les intégrales du second membre soient prises toute la durée du choc. Or cette équation est précisément celle que l't tiendrait si, supposant une altération finie du mouvement des corps, i pliquait le principe de d'Àlemnert, en exprimant qu'il y a équilibre eni quantités de mouvement perdues par les corps, et les forces appliqtn système ; ces forces étant ainsi représentées par les intégrales fd t. 5 les pressions exercées aux points de contact des corps qui se choqot par les intégrales correspondantes fdt.fTH pour les résistances ducs au:

Mtriquement égale à la moitié de la force rive perdue par ce choc, en sus Ë~k quantité d'action qui est consommée par les résistances permanentes, ^foe l'on calculerait d'après la considération de l'équilibre statique de la phine. Les exemples suivants suffiront pour mettre à même de déterminer (Bernent, dans les divers cas qui pourront se présenter, les altérations ftm choc produit dans les vitesses de chaque partie, et la consommation de pntité d'action qu'il occasionne.

DU CHOC D'UJfB CÀHMS COKTRJE UN PILON.

80. Considérons nn arbre tournant horizontal, dont Taxe este (Fig. 34), pi reçoit immédiatement Faction du moteur, et qui porte des cammes par tnoyen desquelles il agit suivant la verticale AD sur le mentonnet ED d'un Ion vertical, contenu dans les prisons F, G. Nous supposerons que les camm et les roues portées par l'arbre tournant sont disposés symétriquement jtfour de Taxe G; et nous nommerons

' R le rayon primitif A G de la roue qui porte les cammes ;

t le rayon des tourillons de l'arbre qui porte cette roue;

M la hauteur AD du point de contact de la camme et du mentonnet au-dessus du plan horizontal A G, à l'instant du choc ;

p k longueur DE du mentonnet;

je la largeur du manche du pilon, ou la distance horizontale des arêtes F, 6, contre lesquels il s'appuie;

i k distance verticale des mêmes arêtes F, G ;

Dm l'élément différentiel de la masse de l'arbre, des roues et cammes qu'il supporte ;

T k distai^ce de l'élément D m à l'axe C de cet arbre ;

m la masse du pilon;

V k vitesse des points de l'arbre situés à l'unité de distance de l'axe G, à Tinstant où le choc commence ;

9 k même vitesse à la An du choc;

a, P, v les valeurs respectives des pressions qui se développent à l'instant du choc dans les points de contact D, F, G (ces quantités sont considérées comme représentant les valeurs des intégrales fdt. N du n° 78);

ft te rapport du frottement à la pression pour le frottement qui a lieu sur les tourillons de l'arbre ;

f% te même rapport pour le frottement entre la camme et le mentonnet au point D;

f% k même rapport pour le frottement contre les prisons en F et G.

H s'agit d'exprimer, conformément à ce qu'on a vu n° 78, qu'il y a équihredans k système des deux corps entre les quantités de mouvement perm par l'effet du choc et les forces développées par ce choc, en tenant

4M LEÇONS SUR L'APWJCATIOISJ

compte des résistances dues aux frottements. Les conditions de cet équilSn peuvent élre établies en considérant successivement les deus parties dosjv terne.

En considérant d'abord l'arbre, on voit que les quantités de mouvement Dm(V-f)r perdues par chaque élément, et agissant avec le bras de levier r. doivent faire équilibre à la force verticale i agissant en D avec lebm de levier R. L'action de celte force est d'ailleurs augmentée par le frotleiwil qui a lieu sur les tourillons de l'arbre, frottement qui équivaut à la forte /\\ agissant au bout du rayon p. En effet, les éléments de masse étant dis-' tribuès symétriquement autour de l'arbre, ses appuis ne supportent l ttfJM («r l'effet de l'altération subite du mouvement de ces éléments, et swl seulement chargés de l'effort % ; il est permis de négliger, pour l'évaluât!» du frottement sur les tourillons, la force horizontale ft\ qui est développa en U par l'effet du frottement de la ennuie contre le mentonnet. Mais il fui leuir compte de cette force, qui agit avec le bras de levier h, lorsque Toi c\j>rime les conditions de l'équilibre autour de l'axe. Ces conditions sénat <k»uc r\primécs par l'équation

(V-c)SDH.f tY- t|SM.f* = H + ftl.p + /,ll. h, d'Où X =

dans laquelle S 1) m . r* est le moment d'inertie de l'arbre et des roues qu'il

fcn twatètaMt ensuite le pilon, on voit que la quantité de moiiveraot m, i'K,3ei|uiM' par ce corps, doit également faire équilibre à la force' H» *uUr>Y comme agissant de bas en haut au point D, et dont l'action est

$1, Égalant ces deux valeurs de i, on trouve, pour l'expression de la

angulaire de la roue après le choc,

m. Kl R + frp + hh 1 H

t valeur de la force de percussion x est

S Dm. r*

Dw.r» 1 JH-mRWi-H-il — If — 1

l X = m.VR.-

fe-#Xes termes affectés des facteurs fl9ft}fz seront toujours fort petits : en Mitant pour abréger

il R

L /l(a+*rt

rempression précédente de la vitesse angulaire après le choc s'écrira

mR* SDm.r»

jft étant une petite fraction dont on peut négliger le quatre.

82. Les forces vives du système, avant et après le choc, sont respectivejnent V'SDm. r*ett^SDm. rï+mRî»2. Par conséquent la perte de force Vive résultant du choc est ici

f SDw.fî + wR1 (V* — «*)SDm. r» — mRlrJ=V3 SDrn.f^

V SDm.r» /

=-wRaV»/ 1 H

mR' 1 H

SDrn.f^

81 le moment d'inertie S D m. r3 de la roue est grand par rapport au produit mR3 de la masse du pilon par le quarré du rayon des cammes, la Vitesse de rotation de la roue n'est pas sensiblement altérée par l'effet du choc. L'expression précédente de la perte de force vive devient à fort peu près

mR*V»(l 4- air) ;

et en négligeant les frottements , mRJV% c'est-à-dire, la force vive communiquée au pilon, ce dernier prenant une vitesse égale à celle du point de la qui rencontre le mentonnet.

Si un choc semblable a lien au bout de chaque intervalle rie temps égil î«, il sera nécessaire que le moteur fournisse, dans chaque unité de temps. a mis de la quantité d'action nécessaire pour surmonter les résistances permnenles, une quantité d'action égale au double de la perte de force rite qui vient d'être calculée , divisée par e. On remarquera d'ailleurs , conformemnl à ce qui tf été dit u° 77 , que l'expression précédente de la perte de fora vite ue tient pas compte de celle qui résulte des secousses imprimées ans appui! do tourillon» de l'axe, et aux prisons du pilon.

S.", t AHiwderon» un arbre tournant horizontal dont l'axe est C ( Fig. S;, qui recuit immédiatement l'action du moteur, et qui porte des cantines qii rencontre nt en M le manche d'un marteau dont Taxe également horiionUl cl i" Nous supposons, comme dans le n° 80. que les cammes et les roua portées [un l'arbre loiirnaut sont disposées symétriquement autour de I »\<- C; et de plus qu'un plan vertical passant par le point de contact M. et pwpeudiculnir* aux deux axes C, C. partage le marteau en deux parties syroé- Irique*. Lwt kgmr* BMB et DD'M. tracées dans ce plan, sont respectif "..■;,■ i •'.■■..■■'.■ .i !.< i),ij ..|.i!t* communes aux conrbes de contact de lac et du HMtH-h#. Ou nommera

K K li s i 1> nos C H, C M. menés des deux centres au point de ronlael i 1 notant du choc;

• , « h> m,; il-, C M B , C M B' que ces rayons forment respectivement avtt ta um,;c«tc commune B M B . des courbes de la camme et du marlein:

CD=R cos. 8, et que le frottement fo dirigé suivant BM agit avec le Ifeade levier CB=R sin. ^ on aura comme dans le n° 80 pour la condition || cet équilibre

r* (V — t>)S Dtn.r*=z\ .Rco8. 8 -*-/i X . p -*-/*, X. R sin. 0, m

*. (V-p)SDm.r2

» Rco».e-4-/ip-*-/,2R8in. 0

*-Sn considérant ensuite l'équilibre qui doit s'établir autour de Taxe C, on marquera que la masse du marteau n'étant pas en général distribuée syméraient des deux côtés de cet axe , la pression exercée par les tourillons (tant du choc , n'est pas seulement due à la force x. A l'action de cette réunit celle du mouvement qui est imprimé instantanément au raarl Pour déterminer la pression dont il s'agit, considérons la ligne CD' \ un axe des abscisses comptées à partir de C, les ordonnées étant compen dessous et à partir de cette ligne. Nommons ' la distance de l'élément D m de la masse du marteau au centre C, cette Y distance étant mesurée parallèlement à la ligne CD'; tfjf'la distance du même élément à la ligne CD', cette distance étant comptée ; de haut en bas:

quantité de mouvement D m\vf r acquise par cet élément à la fin du choc, Jtat se décomposer en deux autres, l'une parallèle à CD", exprimée par

Hrf.vV. — = Dni'. v' y', l'autre perpendiculaire à CD', exprimée par

af

|«'. t?V — =Dm'.rV. On aura donc pour la résultante des pressions mrcées sur l'axe C à l'instant du choc

l/(X -i/SDm'.j)> + (t;'SD m' .y)9'.

m remarquant d'ailleurs que le frottement /ï* agit suivant B M avec le bras m levier CB'=R'sin.8', on aura, pour exprimer l'équilibre autour de l'axeC,

if>) t/SDm'.r'*

sr X . R' co«. 8' — f\ ?' V/( X - i/ S D m' . y)* -+- (r S D m' .r')a — h x . R' *in. •'.

■fin, comme après le choc, les surfaces de la camme et du manche du marin demeurent en contact , les vitesses de rotation v , v' doivent être telles Ile la vitesse du point M considéré comme appartenant à l'un ou à l'autre païème, décomposée dans le sens de la normale MB, ait la même valeur : Mdition qui donne

R' cas. 0'

fp) r B COS. 8 = f/ R' cos. 8'. d'Où v' = v .

Rcos.0

3 M. Les trois équations (a), (6), (c) détermineront les valeurs des vitesses r, v ont lieu à la fin du choc, et de la force de percussion *.

Si le centre de gravité du marteau était place sur l'axe C, on i SDm'. a? — «, S Dm', y' =--o. S'il ie trouvait à une petite diitaneedecet ces quantités pourraient être négligées, et l'équation (c) se réduirait i

e'SDM'.r'»=i.B'«». V — ^x.p' — /'ji.R'ito.e'j d'où

tr'.SDw'.r'*

ft'cos. 6' — f, p'-/îR'*iû.e' On trouve alors, en égalant cette valeur de* à la valeur (a), ; angulaire de la roue après le choc

SDtn'.r" /Rcu.ty

i + /i H iin. »

Hco». a

p'-t-AB'slii.l'

et pour la valeur de la force de percussion RcoM SDw'.r'i SDM.r*.SDm'.r'*

R'CM.I' R'coi.d'

V R'cn..»' / \VtM.Vj\ 1

En posant pour abréger

/lf + />H«n.«

mrra souvent réduire cette expression à

SDm'.r'Ml + 3*);

V R' cos. ¥ y

'on négligeait les frottements, la perte de force vive serait exprimée îment par

[ V S Dm'.

V R' cos. ¥]

-dire la force vive communiquée au marteau, ce dernier prenant une ; angulaire telle que les points en contact de la camme et du manche une même vitesse absolue dans le sens de la normale MD. te expression de la force vive perdue par l'effet du choc , doit être em- ; dans les calculs de l'établissement de la machine conformément à ce été dit à la fin du n° 81.

On a supposé n° 84 que l'on pouvait négliger dans le radical du second re de l'équation (6) les quantités v'SDnï.xetv'SI) m', r/. Dans la plues cas le centre de gravité de la masse du marteau sera effectivement à une fort petite distance de la ligne G' D', et l'on pourra négliger, sans r sensible, le terme v'SJ) ?n'.r/. Mais il peut arriver qu'il n'en soit pas Ime du terme v'SDm'.af. En conservant ce terme , on pourra encore isage des formules des n°* 84 et 85 , pourvu que l'on pose

/ /",' p' S D m'. x>\ \ SDm'.r'î J

RcOf. 6

AY-*-AR'«ta ••' 1